سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو کمان

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 54 مرتبه

نسبت‌های مثلثاتی دو کمان قرینهα,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه -α (زاویه‌ای که در خلاف جهت مثلثاتی طی شده) باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMH به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند و HM¯=HP¯.

sinα=HM¯OM¯=HM¯1=HP¯=sinαcosα=OH¯OM¯=OH¯=cosαtanα=sinαcosα=sinαcosα=tanαcotα=cosαsinα=cosαsinα=cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinα=sinαcosα=cosαtanα=tanαcotα=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

60

sin60=sin60=32cos60=cos60=12tan60=tan60=3cot60=cot60=33

تمرین

مقادیر هر یک از عبارات زیر را به ازای x=π6 به‌دست آورید.

y=1+34cos2xπ2

y=1+34cos2×π6π2y=1+34cosπ3π2y=1+34cosπ6   ;   cosθ=cosθy=1+34cosπ6y=1+34×32y=1+338

y=423sin3xπ

y=423sin3π6πy=423sinπ2πy=423sinπ2    ;    sinθ=sinθy=423sinsinπ2y=4+23sinπ2y=4+231=4+23=143

تمرین

دو مقدار از θ بین π2 و -π2 پیدا کنید به‌طوری که cosθ=12 باشد.

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

cosπ3=cosπ3=12


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

تمرین

با استفاده از دایره مثلثاتی، درستی تساوی زیر را بررسی می‌کنیم. (زوایا بر حسب رادیان هستند.)

cos4=cos4

ابتدا محاسبه می‌کنیم که هر یک رادیان، حدودا چند درجه می‌باشد:

D180=RπD180=1πD=180πD1803/14D57/3


یعنی 1 ran57/3° می‌باشد.

cos4rad=cos4×57/8cos229°cos4rad=cos4×57/3cos229°


در cos229° به اندازه 229° از نقطه A در جهت منفیِ حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع سوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌


  در cos-229° به اندازه -229° از نقطه A در جهت مثبت حرکت عقربه‌های ساعت، دوران می‌کنیم تا انتهای کمان در ربع دوم مثلثاتی قرار می‌گیرد.‌


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

تصویر cos229° و cos-229° روی محور کسینوس‌ ها بر هم منطبق است، یعنی تساوی ‌های زیر همواره درست است:

cos229°=cos229°cos4rad=cos4rad

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπα,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π-α دو زاویه باشند و 0<α<π2.

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π-α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

NM¯=HP¯  ,  ON¯=OH¯sinπα=NM¯=HP¯=sinαcosπα=ON¯=OH¯=cosαtanπα=sinπαcosπα=sinαcosα=tanαcotπα=cosπαsinπα=cosαsinα=cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπα=sinαcosπα=cosαtanπα=tanαcotπα=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را محاسبه کنید:

135

sin135=sinπ45=sin45=22cos135=cosπ45=cos45=22tan135=tanπ45=tan45=1cot135=cotπ45=cot45=1

3π4

sin3π4=sin3π4=sinππ4=sinπ4=22cos3π4=cos3π4=cosππ4=cosπ4=22tan3π4=tan3π4=tanππ4=tanπ4=tanπ4=1cot3π4=cot3π4=cotππ4=cotπ4=cotπ4=1

تمرین

اگر تساوی‌های زیر درست است دلیل درستی و اگر نادرست است با استفاده از دایره مثلثاتی دلیل نادرستی آنها را بیان کنید. 

sin2π3=sin2π3

sin2π3=sinππ3=sinπ3=32sin23π=sin2π3=32sin2π3sin2π3


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

cosπ6=cos5π6

cosπ6=32cos5π6=cosππ6=cosπ6=32cosπ6cos5π6


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

تمرین

با انتخاب یک زاویه دل‌خواه، نشان دهید تساوی زیر نادرست است:

sinπθ=sinπsinθ

if   θ=π6   :   sinπθ=sinππ6=sinπ6=12sinπsinθ=sinπsinπ6=0sinπ6=12sinπθsinπsinθ

تمرین

نسبت مثلثاتی sin3π4 را محاسبه کنید و روی شکل نشان دهید.

  sin3π4=sin41π4=sin4ππ4=sin4π4π4=sinππ4=sinπ4=22


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو


در شکل فوق و در sinππ4 کمان از A به اندازه π دوران می‌کند و در موقعیت B قرار می‌گیرد،  سپس کمان به اندازه π4 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد. در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار sinππ4 و sinπ4 برابر با 22 است.     

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π+α دو زاویه باشند و 0<α<π2.

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π+α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

NM¯=HP¯   ,  ON¯=OH¯sinπ+α=NM¯=HP¯=sinαcosπ+α=ON¯=OH¯=cosαtanπ+α=sinπ+αcosπ+α=sinαcosα=tanαcotπ+α=cosπ+αsinπ+α=cosαsinα=cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ+α=sinαcosπ+α=cosαtanπ+α=tanαcotπ+α=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

240

sin240=sinπ+60=sin60=32cos240=cosπ+60=cos60=12tan240=tanπ+60=tan60=3cotg240=cotπ+60=cot60=33

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های2πα,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

2πα=π+πα

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی π+x و π-x خواهیم داشت:  

sin2πα=sinπ+πα=sinπα=sinαcos2πα=cosπ+πα=cosπα=cosα=cosαtan2πα=sin2παcos2πα=sinαcosα=tanαcot2πα=cos2παsin2πα=cosαsinα=cotα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin2πα=sinαcos2πα=cosαtan2πα=tanαcot2πα=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زاویه زیر را محاسبه کنید:

330

sin330=sin2π30=sin30=12cos330=cos2π30=cos30=32tan330=tan2π30=tan30=33cot330=cotg2π30=cot30=3

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

cos2ππ6

cos2ππ6=cosπ6=32


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در cos2ππ6 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد،  سپس کمان به اندازه π6 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد. در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار cos2ππ6 و cosπ6 برابر با 32 است.     

tan11π6

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

tan11π6=tan121π6=tan12ππ6=tan12π6π6=tan2ππ6=33


در tan2ππ6 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد،  سپس کمان به اندازه π6 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد. در این ربع علامت تانژانت منفی است.

cos7π4

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو


cos7π4=cos81π4=cos8ππ4=cos8π4π4=cos2ππ4=cosπ4=22


در cos2ππ4 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد،  سپس کمان به اندازه π4 موافقِ حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد. در این ربع علامت کسینوس مثبت است و مقدار cos2ππ4 و cosπ4 برابر با 22 است.     

تمرین

فرض کنید sinθ=12

دو مقدار از θ بین 0 تا 2π پیدا کنید به طوری که رابطه فوق درست باشد.



sin210°=sin330°=12


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

دو مقدار منفی از θ مشخص کنید که معادله فوق درست باشد. 

برای یافتن مقادیر منفی از θ در شکل فوق کمان از نقطه‌ A به اندازه‌ 30° حرکت کرده تا انتهای کمان در ربع چهارم قرار می‌گیرد:

sin30°=12

انتهای کمان در ربع سوم به اندازه‌ 150° از A دوران ایجاد شد، بنابراین:


sin30°=sin150°=12

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های2π+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

می‌دانیم:

2π+α=π+π+α

با توجه به مفاهیم گذشته و استفاده از نسبت‌های مثلثاتی π+x خواهیم داشت:  

sin2π+α=sinπ+π+α=sinπ+α=sinα=sinαcos2π+α=cosπ+π+α=cosπ+α=cosα=cosαtan2π+α=sin2π+αcos2π+α=sinαcosα=tanαcotg2π+α=cos2π+αsin2π+α=cosαsinα=cotgα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin2π+α=sinαcos2π+α=cosαtan2π+α=tanαcot2π+α=cotα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را مشاهده کنید:

sin390=sin360+30=sin30=12cos405=cos360+45=cos45=22tan420=tan360+60=tan60=3

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زیر را روی شکل نشان دهید.

sin2π+π3

sin2π+π3=sinπ3=32


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در sin2π+π3 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد،  سپس کمان به اندازه π3 مخالف حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع اول قرار می‌گیرد. در این ربع علامت سینوس مثبت است و مقدار sin2π+π3 و sinπ3 برابر با 32 است.     

cos2π+2π3

cos2π+2π3=cos2π3=cosππ3=cosπ3=12


نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در cos2π+2π3 کمان از A به اندازه 2π دوران می‌کند و مجددا در موقعیت A قرار می‌گیرد، سپس کمان به اندازه 2π3 موافق حرکت عقربه‌‌های ساعت دوران می‌کند، تا انتهای کمان در ربع دوم قرار می‌گیرد. در این ربع علامت کسینوس منفی است و مقدار cos2π+2π3 و -cosπ3 برابر با -12 است.     

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ2-α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π2-α دو زاویه باشند و 0<α<π2.

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π2-α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

OH=ON   ,   HP¯=NM¯sinπ2α=ON¯=OH¯=cosαcosπ2α=NM¯=PH¯=sinαtanπ2α=sinπ2αcosπ2α=cosαsinα=cotαcotπ2α=cosπ2αsinπ2α=sinαcosα=tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ2α=cosαcosπ2α=sinαtanπ2α=cotαcotπ2α=tanα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را مشاهده کنید:

sin15=sin9075=cos75sin30=sin9060=cos60=12cos45=cos9045=sin45=22

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌هایπ2+α,α 

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

فرض کنیم α و π2+α دو زاویه باشند و 0<α<π2.

فرض کنیم P انتهای کمان مقابل به زاویه α و M انتهای کمان مقابل به زاویه π2+α باشد.

دو مثلث قائم الزاویه OPH و OMN به حالت وتر و یک زاویه حاده برابرند.

ON¯=OH¯  ,    NM¯=HP¯sinπ2+α=ON¯=OH¯=cosαcosπ2+α=NM¯=HP¯=sinαtanπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cosαsinα=cotαcotπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=sinαcosα=tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sinπ2+α=cosαcosπ2+α=sinαtanπ2+α=cotαcotπ2+α=tanα

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را مشاهده کنید:

sin120=sin90+30=cos30=32cos135=cos90+45=sin45=22tan120=tan90+30=cot30=3cot150=cotg90+60=tan60=3

نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های3π2-α,α

3π2α=π+π2αsin3π2α=sinπ+π2α=sinπ2α=cosα=cosαcos3π2α=cosπ+π2α=cosπ2α=sinα=sinαtan3π2α=sin3π2αcos3π2α=cosαsinα=cotαcot3π2α=cos3π2αsin3π2α=sinαcosα=tanα

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم:

sin3π2α=cosαcos3π2α=sinαtan3π2α=cotαcot3π2α=tanα

 نسبت‌های مثلثاتی کمان‌های3π2+α,α

3π2+α=π+π2+αsin3π2+α=sinπ+π2+α=sinπ2+α=cosα=cosαcos3π2+α=cosπ+π2+α=cosπ2+α=sinα=sinαtan3π2+α=sin3π2+αcos3π2+α=cosαsinα=cotαcot3π2+α=cos3π2+αsin3π2+α=sinαcosα=tanα

یادآوری

sin3π2+α=cosαcos3π2+α=sinαtan3π2+α=cotαcot3π2+α=tanα

 خلاصه فرمول‌های نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

نسبت های مثلثاتی دو کمان - پیمان گردلو

در جدول فوق:

  • برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی kπ±α و 2kπ±α کافی است انتهای کمان را مشخص کرده و علامت نسبت مثلثاتی را مشخص کنیم و سپس از kπ و 2kπ صرف نظر کنیم.
  • برای تعیین نسبت‌های مثلثاتی 2k+1π2±α کافی است سینوس به کسینوس و نیز تانژانت به کتانژانت تبدیل ‌شود و برعکس. 

تمرین

نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را به‌دست آورید:

sin170

سینوس در ربع دوم مثبت است:

=sin18010=+sin10

cos170

کسینوس در ربع دوم منفی است:

=cos18010=cos10

sin85

سینوس در ربع اول مثبت است:

=sin905=+cos5

sin750

سینوس در ربع اول است:

=sin4π+30=sin30

نکته

در موقع محاسبه مقدار نسبت مثلثاتی یک زاویه:

1- مضرب های زوج π را می‌توان حذف کرد.

sin73π3=sin72+1π3=sin72π3+π3=sin24π+π3=sinπ3=32

cot11π6=cot121π6=cot12π6π6=cot2ππ6=cotπ6=cotπ6

sin32π+θ=sinθ

2- به جای مضرب های فرد π می‌توان عدد π را قرار داد. 

tan7π6=tan7π6=tan6+1π6=tan6π6+π6=tanπ+π6=+tanπ6=tanπ6

cos51π4=cos521π4=cos13ππ4=cosππ4=cosπ4

cos53π3=cos52+1π4=cos13π+π4=cosπ+π4=cosπ4

cos43π+θ=cosπ+θ=cosθsin21π+θ=sinπ+θ=sinθ

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نسبت‌های مثلثاتی دو کمان

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید