سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

اتحادهای مثلثاتی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 47 مرتبه

تعریف اتحاد مثلثاتی

هر تساوی که در آن نسبت‌های مثلثاتی به‌کار رفته باشد و به‌ازای جمیع مقادیر زاویه به‌کار رفته شده، برقرار باشد، یک اتحاد مثلثاتی نام دارد.

ابتدا اتحادهای پایه و اصلی مثلثاتی را معرفی می‌کنیم و سپس به اثبات آنها می‌پردازیم.

sin2θ+cos2θ=1sin2θ=1cos2θsinθ=±1cos2θcos2θ=1sin2θcosθ=±1sin2θ

اثبات

فرض کنیم M نقطه‌ای روی دایره مثلثاتی واقع در ربع اول باشد.

اتحادهای مثلثاتی - پیمان گردلو

sinθ=HM¯cosθ=OH¯HM2+OH2=OM2sin2θ+cos2θ=1

تمرین

اگر cosθ=25 باشد، دو مقدار ممکن برای sinθ بدست آورید.

sin2θ+cos2θ=1sin2θ+252=1    ;    cosθ=25sin2θ=1425sin2θ=2125sinθ=±215

مختصات نقاط به‌دست آمده را روی دایره مثلثاتی نشان دهید.

cosθ در ربع اول و چهارم مثبت است و مقدار آن 25 است. 


sinθ در ربع اول مثبت است و مقدار آن 215 است اما در ربع چهارم منفی است و مقدار آن -215 است.


اتحادهای مثلثاتی - پیمان گردلو  

دریافت مثال

tanθ=sinθcosθtannθ=sinnθcosnθ    ;    θ2k+12π  ,  kZ

اثبات

در شکل زیر فرض کنیم M در نقاط B یا B' واقع نباشد، یعنی θ2k+12π باشد، در این‌صورت در مثلث قائم الزاویه OMH داریم:  

اتحادهای مثلثاتی - پیمان گردلو

تانژانت θ مساوی با ضلع مقابل بر ضلع مجاور است:

ΔOMH:tanθ=HM¯OH¯=sinθcosθ

cotθ=cosθsinθcotnθ=cosnθsinnθ    ;    θkπ  ,  kZ

اثبات

در شکل زیر فرض کنیم M در نقاط A یا A' واقع نباشد، یعنی θkπ باشد، در این‌صورت در مثلث قائم الزاویه OMH داریم:  

اتحادهای مثلثاتی - پیمان گردلو

کتانژانت θ مساوی با ضلع مجاور بر ضلع مقابل است:

ΔOMH:cotθ=OH¯HM¯=cosθsinθ

تمرین

درستی اتحادهای زير را بررسی کنيد. 

1cos6x3tan2xcos2x=1+tan6x

1cos6x3tan2xcos2x=13tan2x.cos4xcos6x=13sin2x.cos2xcos6x=sin6x+cos6xcos6x=sin6xcos6x+cos6xcos6x=tan6x+1

sinα.tan2α.cot3α=cosα

sinαtan2αcot3α=sinαsin2αcos2αcos3αsin3α=cosα

دریافت مثال

tanθ.cotθ=1tanθ=1cotgθcotθ=1tanθ     ;    θkπ2  ,  kZ

اثبات

tanθ=sinθcosθcotθ=cosθsinθtanθcotθ=sinθcosθcosθsinθ=1

تمرین

درستی اتحاد زير را بررسی کنيد. 

tanAtanBcotBcotA=tanAcotB

tanAtanBcotBcotA=tanAtanB1tanB1tanA=tanAtanB tanAtanBtanB.tanA=tanB.tanA=tanAcotB

دریافت مثال

1+tan2θ=1cos2θcos2θ=11+tan2θ=cot2θ1+cot2θ

اثبات

1+tan2θ=1+sin2θcos2θ=cos2θ+sin2θcos2θ=1cos2θ

1+cot2θ=1sin2θsin2θ=11+cot2θ=tan2θ1+tan2θ

اثبات

1+cot2θ=1+cos2θsin2θ=sin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θ

دریافت مثال

sin4θ+cos4θ=12sin2θ.cos2θ

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

a+b2=a2+2ab+b2a2+b2=a+b22ab

sin4θ+cos4θ=sin2θ2+cos2θ2=sin2θ+cos2θ22sin2θ.cos2θ=12sin2θ.cos2θ

تمرین

درستی اتحاد زیر را بررسی کنید:

sin8x+cos8x+4sin2x.cos2x=1+2sin4x.cos4x

یادآوری می‌کنیم که:

a2+b2=a+b22ab

sin8x+cos8x+4sin2x.cos2x=sin4x2+cos4x2+4sin2x.cos2x                                                                    =sin4x+cos4x22sin4x.cos4x+4sin2x.cos2x                                                                    =12sin2xcos2x22sin4cos4x+4sin2x.cos2x

=1+4sin4xcos4x4sin2xcos2x2sin4xcos4x+4sin2x.cos2x

=1+2sin4x.cos4x4sin2xcos2x+4sin2x.cos2x=1+2sin4x.cos4x

sin6θ+cos6θ=13sin2θ.cos2θ

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a3+b3=a+b33aba+b

sin6θ+cos6θ=sin2θ3+cos2θ3=sin2θ+cos2θ33sin2θ.cos2θsin2θ+cos2θ=13sin2θ.cos2θ

دریافت مثال

secθ=1cosθ   ,    cscθ=1sinθ

اثبات

اگر θ2k+1π2 باشد، وارون cosθ را سکانت θ نامیده و با نماد secθ نشان می‌دهند، پس: 

secθ=1cosθsecnθ=1cosnθ

اگر θkπ باشد، وارون sinθ را کسکانت θ نامیده و با نماد cscθ نشان می‌دهند، پس: 

cscθ=1sinθcscnθ=1sinnθ

دریافت مثال

tanθ+cotθ=1sinθ.cosθ

اثبات

tanθ+cotθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θcosθ.sinθ=1sinθ.cosθ

تمرین

درستی اتحاد زیر را بررسی کنید:

tan2α+cot2α+2=1sinα.cosα    ;    π2<α<π

tan2α+cot2α+2=tan2α+cotg2α+2tanα.cotα1=tanα+cotα2=tanα+cotα    ;     Ι=tanα+cotα=1sinα.cosα

Ι   :if  π2<α<πtanα<0cotα<0tanα+cotα<0tanα+cotα=tanα+cotα

sinθ1+cosθ=1cosθsinθ

اثبات

sinθ1+cosθ=sinθ1+cosθ.1cosθ1cosθ=sinθ1cosθ1cos2θ=sinθ1cosθsin2θ=1cosθsinθ

دریافت مثال

if   tanθ=absinθ=±aa2+b2cosθ=±ba2+b2

اثبات

a و b دو عدد حقیقی دلخواه و b0 است.

1+tan2θ=1cos2θ1+ab2=1cos2θa2+b2b2=1cos2θcos2θ=b2a2+b2cosθ=±ba2+b2


1+cot2θ=1sin2θ1+ba2=1sin2θa2+b2a2=1sin2θsin2θ=a2a2+b2sinθ=±aa2+b2

تمرین

اگر tanθ=34 و θ در ربع چهارم باشد، مقدار سایر نسبت‌های مثلثاتی این زاویه را به‌دست آورید. 

if   tanθ=absinθ=±aa2+b2cosθ=±ba2+b2   if   tanθ=34sinθ=±39+16=±35cosθ=±49+16=±45


چون θ در ربع چهارم است، پس sinθ<0cosθ>0 است:

sinθ=35        ,    cosθ=45        ,       cotθ=43

مثال‌ها و جواب‌ها

اتحادهای مثلثاتی

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید