نامساوی كوشی‌ شوارتز

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

قضیه

اگر u و v دو بردار در 3 باشند، آن‌گاه:

uvu  v

توجه داشته باشید که در طرف چپ، منظور قدرمطلق است.

اثبات

در فضای 3 اثبات به‌کمک cosθ ساده‌تر است: 

uv=u  vcosθuvu  v

نکته

اگر u=a1,a2,a3 و v=b1,b2,b3 دو بردار باشند، آن‌گاه نامساوی جبری زیر برقرار است:

uvu  vuv2u2  v2a1b1+a2b2+a3b32a12+a22+a32b12+b22+b32

تمرین

اگر v=x,y,z و u=1,1,2 و u.v=6 باشد،كم‌ترين مقدار v چقدر است. 

u  vuvvuvux2+y2+z266x2+y2+z26minv=minx2+y2+z2minv=6

اگر a1,a2,a3 اعداد حقيقی باشند با استفاده از نامساوی كوشی - شوارتز نامساوی زير را ثابت كنيد.

a1+a2+a332a12+a22+a323

فرض كنيم u=a1,a2,a3 و v=13,13,13 بنابر نامساوی كوشی – شوارتز داريم:

uvuvuv2u2v2a13+a23+a332a12+a22+a3219+19+19a1+a2+a33213a12+a22+a32

اگر 2x+y+2z=6 باشد، minx2+y2+z2 چقدر است؟

اگر v=a,b,c و u=x,y,z دو بردار ناصفر باشند، بنابر نامساوی كوشی – شوارتز:

uvuvu2v2uv2x2+y2+z2a2+b2+c2ax+by+cz2


 اگر ax+by+cz=k و k ثابت باشد، آن‌گاه:

x2+y2+z2a2+b2+c2k2x2+y2+z2k2a2+b2+c2minx2+y2+z2=k2a2+b2+c2minx2+y2+z2=364+1+4=369=4minx2+y2+z2=4=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید