ضرب خارجی دو بردار به‌ وسیله مختصات

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

قضیه

اگر v1=x1,y1,z1 و v2=x2,y2,z2 دو بردار باشند، ضرب خارجی دو بردار به‌صورت زیر قابل محاسبه است. 

v1v2=vX=y1z2z1y2Y=z1x2x1z2Z=x1y2y1x2

اثبات

روش اول-

v1=x1,y1,z1v1=x1i+y1j+z1kv2=x2,y2,z2v2=x2i+y2j+z2k

ضرب خارجی دو بردار - پیمان گردلو

v1v2=x1i+y1j+z1kx2i+y2j+z2k=x1x2ii+x1y2ij+x1z2ik+y1x2ji+y1y2jj                          +y1z2jk+z1x2ki+z1y2kj+z1z2kk

=0+x1y2k+x1zj+y1x2k+0+y1z2i+z1x2j+z1y2i+0=y1z2z1y2Xi+z1x2x1z2Yj+x1y2y1x2Zk

روش دوم-

v1=x1,y1,z1v2=x2,y2,z2

بردار v=x,y,z را چنان تعیین می‌کنیم که بر هر دو بردار v1 و v2 عمود باشد. 

یادآوری می‌کنیم که:

v1v2=v1v2cosα

v1vx1x+y1y+z1z=0z2x1x+y1y+z1z=z20z2x1x+z2y1y+z2z1z=0v2vx2x+y2y+z2z=0z1x2x+y2y+z2z=z10z1x2x+z1y2y+z1z2z=0

z2x1x+z2y1y+z2z1zz1x2x+z1y2y+z1z2z=0z2x1x+z2y1y+z2z1zz1x2xz1y2yz1z2z=0z2x1xz1x2x=z1y2yz2y1yxz2x1z1x2=yz1y2z2y1xz1y2z2y1=yz2x1z1x2

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود که:

xz1y2z2y1=yz2x1z1x2=zy1x2x1y21xz1y2z2y1=1yz2x1z1x2=1zy1x2x1y2xz2y1z1y2=yz1x2z2x1=zx1y2y1x2=λx=λz2y1z1y2y=λz1x2z2x1z=λx1y2y1x2

v1v2=v=z2y1z1y2i+z1x2z2x1j+x1y2y1x2k     ;   v=xi+yj+zkλ=1

نکته

1- ضرب خارجی دو بردار را می‌توانیم بر اساس دترمینان حل نماییم:

v1=x1,y1,z1v2=x2,y2,z2v1v2=v=y1z1y2z2x1z1x2z2+x1y1x2y2


2- ضرب خارجی بردارهای یکه محورها توسط دترمینان:

i=1,0,0j=0,1,0   ij=0,0,1=kij=k

قضیه

با استفاده از ضرب خارجی دو بردار به‌وسیله مختصات فرمول زیر را ثابت می‌کنیم:

ab=absinα

اثبات

فرض کنیم a=a1,a2,a3 و b=b1,b2,b3 دو بردار باشند:

ab2=abab=a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1

=a2b3a3b22+a3b1a1b32+a1b2a2b12=a22b322a2a3b2b3+a32b22+a32b122a1a3b1b3+a12b32+a12b222a1a2b1b2+a22b12

=a12b12+a22b22+a32b32a12b12+a22b22+a32b32+2a2a3b2b3+2a1a3b1b32a1a2b1b2     +a22b32+a32b22+a32b12+a12b32+a12b22+a22b12

=a12b12+a12b22+a12b32+a22b12+a22b22+a22b32+a32b12+a32b22+a32b32      a12b12+a22b22+a32b32+2a1b1a2b2+2a1b1a3b3+2a2b2a3b3=a12b12+b22+b32+a22b12+b22+b32+a32b12+b22+b32a1b1+a2b2+a3b32

=a12+a22+a32b12+b22+b32a1b1+a2b2+a3b32=a2b2ab2

=a2b2abcosα2=a2b2a2b2cos2α=a2b21cos2α=a2b2sin2α

if   ab2=a2b2sin2αab=absinα

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ضرب خارجی دو بردار به‌وسیله مختصات

500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید