ضرب خارجی دو بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

تعریف ضرب خارجی (برونی) دو بردار

ضرب خارجی دو بردار v1 و v2 برداری است مانند v به‌طوری‌که:

ضرب خارجی دو بردار - پیمان گردلو 

  • بر  v1 و v2 در نتیجه بر صفحه آنها عمود باشد.
  • جهت آن طوری است که کنج v1,v2,v مستقیم است.
  • اندازه آن عدد مساحت متوازی‌الاضلاعی است که روی دو بردار ساخته می‌شود یعنی:

v1v2=v    ;     v=v1v2sinα

اثبات

ارتفاع متوازی‌الاضلاع:

h=v1sinα

اندازه قاعده آن:

v2

S=v2h=v2v1sinα

تذکر

علامت ضرب خارجی علاوه بر  ممکن است به‌صورت × استفاده شود:

v1×v2=v1v2=v

نکته

1- در مثلث ABC داریم:

ضرب خارجی دو بردار - پیمان گردلو

S=12ABAC=12BABC=12CACB

if    S=12ABACS=12ABACsinAif    S=12BABCS=12BABCsinBif    S=12CACBS=12CACBsinC


2- اگر A و B و C سه نقطه متمایز باشند، شرط لازم و کافی برای آن‌که این سه نقطه هم‌خط باشند آن است که:

ABAC=0


3- اگر سه بردار v1,v2,v3 چنان باشند که v1+v2+v3=0 آن‌گاه:

v1v2=v2v3=v3v1

به‌کمک قانون سینوس‌ها در مثلث داریم:

v1+v2+v3=0v1v1+v2+v3=v10v1v1+v1v2+v1v3=0v1v2=v3v1v1+v2+v3=0v2v1+v2+v3=v20v2v1+v2v2+v2v3=0v2v3=v1v2


4- اگر در مثلث ABC داشته باشیم AB+BC+CA=0 آن‌گاه:  

ABBC=BCCA=CAABABBC=BCCA=CAABABBCsinB=BCCAsinC=CAABsinAABBCsinBABBCCA=BCCAsinCABBCCA=CAABsinAABBCCAsinBAC=sinCAB=sinABC

تمرین

اگر O نقطه‌ای درون مثلث ABC به مساحت S باشد، عبارت زیر را محاسبه کنید:

OAOB+OBOC+OCOA

ضرب خارجی دو بردار - پیمان گردلو

S1=12OAOB2S1=OAOBS2=12OAOC2S2=OAOCS3=12OBOC2S3=OBOC

OAOB+OAOC+OBOC=2S1+2S2+2S3=2S1+S2+S3=2S

برای ارسال نظر وارد سایت شوید