ضرب داخلی دو بردار به‌ وسیله مختصات

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

قضیه

اگر v1x1,y1,z1v2x2,y2,z2 دو بردار باشند، حاصل‌ضرب داخلی این دو بردار به‌صورت زیر قابل محاسبه است:  

v1v2=x1x2+y1y2+z1z2

اثبات

v1=x1i+y1j+z1kv2=x2i+y2j+z2k

v1v2=x1i+y1j+z1kx2i+y2j+z2k=x1x2ii+y1y2jj+z1z2kk+x1y2ij+...=x1x21+y1y21+z1z1+x1y2ij+...=x1x2+y1y2+z1z2+x1y20+...=x1x2+y1y2+z1z2

ii=iicos0=i2×1=i2=1       ;    i=1,0,0i=1jj=jjcos0=j2×1=j2=1    ;    j=0,1,0j=1kk=kkcos0=k2×1=k2=1    ;    k=0,0,1k=1  

ij=ijcosπ2=0j.i=jicosπ2=0


ik=ikcosπ2=0k.i=kicosπ2=0


kj=kjcosπ2=0j.k=jkcosπ2=0

نکته

1- برای یافتن زاویه بین دو بردار می‌توان از دو تعریفی که در مورد حاصل‌ضرب دو بردار شد، استفاده نمود و به رابطه زیر رسید:

v1v2=v1v2cosαv1v2=x1x2+y1y2+z1z2

v1v2cosα=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22cosα=x1x2+y1y2+z1z2cosα=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22


2- زاویه بین دو بردار از دو دیدگاه مورد بررسی قرار می‌گیرد:

دیدگاه اول) زاویه بین دو بردار را جهت‌دار تعریف کنیم، در این صورت اندازه زاویه بین دو بردار هر عدد حقیقی می‌تواند باشد. 

دیدگاه دوم) زاویه بین دو بردار را جهت‌دار در نظر نگیریم. (در این درس دیدگاه دوم در نظر گرفته شده) در این دیدگاه اگر دو بردار موازی و هم‌جهت باشند زاویه بین آن دو را صفر و اگر موازی و غیر هم‌جهت باشند برابر π تعریف می‌کنیم.  


3- اگر O,A,B,C چهار نقطه دل‌خواه در فضا باشند، آن‌گاه:              

OABC+OBCA+OCAB=0OAOCOB+OBOAOC+OCOBOA=0OAOCOAOB+OBOAOBOC+OCOBOCOA=0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ضرب داخلی دو بردار به‌وسیله مختصات

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید