حجم متوازی‌ السطوح

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

قضیه

حجم متوازی‌السطوح به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

V=a.b×c

اثبات

اگر a و b و c سه بردار غیر واقع در یک صفحه باشند، آن‌گاه می‌توان به‌کمک آنها متوازی‌السطوحی همانند شکل زیر تولید کرد.  

حجم متوازی‌السطوح - پیمان گردلو

همان طور که در شکل مشخص است ارتفاع این متوازی‌السطوح برابر است با اندازه تصویر قائم بردار a بر روی بردار b×c یعنی:  

a.b×cb×c2b×c

با توجه به این‌که قاعده این متوازی‌السطوح توسط بردارهای b و c تولید شده است، پس مساحت آن برابر است با: 

b×c

با استفاده از دترمینان می‌توان مساحت متوازی‌الاضلاع پدید آمده توسط دو بردار a=a1,a2,a3 و b=b1,b2,b3 به‌صورت زیر  را به‌دست آورد:

a×b=ijka1a2a3b1b2b3S=a×b

بنابراین حجم متوازی‌السطوح برابر است با مساحت قاعده در اندازه ارتفاع:

b×ca.b×cb×c2b×c=a.b×c

تمرین

حجم متوازی‌السطوحی که توسط بردارهای a=1,1,0 و b=0,1,1 و c=1,0,1 تولید می‌شود را محاسبه کنید.

b=0,1,1c=1,0,1b×c=1,1,1V=a.b×c=1,1,0.1,1,1=11+11+01=1+1+0=2

نکته

1- حجم متوازی‌السطوح پدید آمده توسط سه بردار a=a1,a2,a3 و b=b1,b2,b3 c=c1,c2,c3 با استفاده از دترمینان به‌صورت زیر به‌دست می‌آید: 

V=ab×c=a1a2a3b1b2b3c1c2c3


2- اگر a و b و c سه بردار هم مبدا، یال‌های یک متوازی‌السطوح باشند، داریم: 

حجم متوازی‌السطوح - پیمان گردلو

ab×c=av=avcosφ=vh=Sh=V

توجه شود که بردار v را با مفهوم فیزیکی حجم V اشتباه نکنید. 

ارتفاع h و مساحت قاعده S به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

h=acosφS=v=b×c=bcsinθ


3- اگر داشته باشیم:

ab×c=a1a2a3b1b2b3c1c2c3=0

آن‌گاه سه بردار در یک صفحه هستند در واقع شرط لازم و کافی برای آن‌که سه بردار در یک صفحه باشند آن است که:

ab×c=0

تمرین

آیا بردارهای a=1,4,1 و b=1,1,3 و c=1,9,1 در یک صفحه‌اند؟

کافی است ab×c را به‌دست آوریم:


اگر مقدار آن صفر باشد یعنی حجم متوازی‌السطوح ِتولید شده صفر است و این به آن معناست که سه بردار در یک صفحه هستند:

b=1,1,3c=1,9,1b×c=26,4,10ab×c=1,4,1.26,4,10=126+44+110=0

نکته

4- اگر a و b و c سه بردار سه بردار ناصفر باشد (ابتدای هر سه بردار مبدا است) آن‌گاه از رابطه زیر:

abc=abccosφ=abcsinθcosφ


حجم متوازی‌السطوح - پیمان گردلو

که در آن α زاویه بین b و c و φ زاویه بین a و bc است که نتایج زیر گرفته می‌شود:   

abc=0sinθ=0    cosφ=π2bc    abc

در این‌صورت a و b و c در یک صفحه هستند.


4- شرط لازم و کافی برای آن‌که چهار نقطه متمایز D,C,B,A در یک صفحه باشند، آن است که:

ABACAD=0

تمرین

اگر a=i2j+k و b=2i+3j+2k و c=i+3j2k سه يال گذرنده از يک راس متوازی السطوح باشند، حجم آن  را به‌دست آورید.

V=abc=121232132=11222+19=7=7

ثابت كنيد:

abca  b  c

بنا بر تعریف داریم:

abc=abcabc=abcabc=abccosαabc=abcsinαcosθabcabc

تمرین

بردارهای a=1,0,1 و b=2,1,1 و c=3,0,4 مفروضند:

اندازه جبری تصوير بردار a+b را بر بردار c به‌دست آوريد.

a+b=v=3,1,0vc=cOH9+0+0=9+16OHOH=95

حجم متوازی السطوحی را پيدا كنيد كه سه يال هم راس آن بردارهای a,b,c باشند.

V=abc=101211304=4+3=1

تمرین

A,B,C سه نقطه ثابت و M نقطه ای است به طوری كه AMABAC=k که k>0 عددی ثابت است، مكان M كدام است؟ 

(1 يک صفحه گذرنده از A,B,C 

(2 دو خط موازی BC

(3 دو صفحه موازی صفحه ABC

(4 دو صفحه عمود بر صفحه ABC

گزينه 3 صحيح است.

متوازی السطوحی كه حجم آن ثابت و مساحت قاعده نيز ثابت است، پس ارتفاع ثابت است، لذا مكان M دو صفحه موازی صفحه قاعده است يا با محاسبه معادله به‌دست می‌آيد.

xxAyyAzzAxBxAyByAzBzAxCxAyCyAzCzA=k

برای ارسال نظر وارد سایت شوید