محاسبه تصاویر قائم

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

تجزیه یک بردار به‌صورت مجموع دو بردار مفروض، از اهمیت خاصی برخوردار است.

محاسبه تصاویر قائم - پیمان گردلو

فرض کنیم v=OM برداری مفروض در 3 باشد، هم‌چنین u و w دو بردار در صفحه شامل بردار v باشند. 

از M دو خط به موازات دو بردار u و w رسم می‌کنیم تا خط‌های شامل این دو بردار را در A و B قطع کنند.

مشاهده می‌کنیم که در حالت کلی OAMB یک متوازی‌الاضلاع است در نتیجه:

v=OM=OA+OB

اما OA برداری در راستای u، پس عدد حقیقی α وجود دارد به‌طوری‌که:

OA=αu

و OB برداری در راستای w، پس عدد حقیقی β وجود دارد به‌طوری‌که:

OB=βw

بنابراین:

v=OA+OB=αu+βw

در این حالت گوییم بردار v ترکیب‌خطی از دو بردار u و w است، OA و OB را مولفه‌های برداری یا تصاویر بردار v در راستای u و w می‌نامیم.

می‌گوییم بردار v در راستاهای دو بردار  u و w به دو بردار OA و OB تجزیه شده است.            

تمرین

بردار v=4,6,2 را به‌صورت ترکیب‌خطی از دو بردار v1=1,3,4 و v2=2,0,2 بنویسید.

باید اعداد حقیقی α و β را طوری پیدا نماییم که داشته باشیم:

v=αv1+βv2

4,6,2=α1,3,4+β2,0,24,6,2=2βα,3α,4α2β2βα=43α=64α2β=2α=2β=3


چون جواب‌های به‌دست آمده از دو معادله اول در معادله سوم صدق می‌کند یعنی دستگاه سازگار است پس ترکیب خطی زیر وجود دارد: 


4,6,2=21,3,4+32,0,2

نحوه محاسبه تصاویر قائم

برای محاسبه تصاویر قائم Projection به‌کمک ضرب داخلی، داریم:

اگر u و a بردارهایی در 3 باشند و a0 باشد،آن‌گاه:

v1=projau=uaa2a

اثبات

برای یافتن مولفه برداری u روی a فرض می‌کنیم v1=λa کافی است λ را پیدا کنیم:

u=v1+v2u=λa+v2     ;    v1=λaua=λa+v2aua=λa2+v2a    ;   v2av2a=0ua=λa2λ=uaa2     ;    v1=λav1a=uaa2v1=uaa2aprojau=uaa2a

نکته

1- مولفه برداری u عمود بر راستای a عبارت است از:     

v2=uprogau=uuaa2a

تمرین

تصویر بردار i=1,0,0 برامتدا بردار j=0,1,0 را به‌دست آورید.

i=ijj2ji=1,0,0j=0,1,0ij=10+01+00=0j=02+12+02=1j2=1i=ijj2j=010,1,0=0,0,0=0

تصویر بردار a=2,3,1 برامتدا بردار b=3,2,1 را به‌دست آورید.

a=2,3,1b=3,2,1a=abb2b=23+32+1132+22+1223,2,1=13143,2,1=3914,2614,1314

نکته

2- اگر بردار a یک بردار یکه باشد، یعنی a=1 بنابراین:  

v1=projauv1=uaa2a  v1=ua1av1=uaav2+v1=uv2=uv1v2=uuaa


3- از تساوی v1=projau نتیجه می‌گیریم: 

if   v1=projauv1=projauv1=uaa2a

v1=uaa2av1=uacosθa2av1=ucosθ

ua=u  acosθcosθ=uau  acosθ=uau  a

v1=ucosθcosθ=uaua   v1=uuauav1=uaa

نکته

4- اگر دو بردار a و b برهم عمود باشند، آن‌گاه تصویر یکی بر امتداد دیگری، بردار صفر می‌شود.

ab=abcosα     ;      if  α=π2cosα=0ab=0

اگر دو بردار a و b برهم عمود باشند، حاصل‌ضرب درونی آنها صفراست:

a=abb2b=0b2b=0


5- اگر دو بردار a و b در یک راستا باشند، آن‌گاه تصویر a و b برابر خود a می‌شود.    

دو بردار a و b در یک راستا باشند، آن‌گاه a=kb می‌شود:

a=abb2b=kbbb2b=kb2b2b=kb=a

تمرین

اگر a=4ij+5k و b=6i+3j2k باشد، تصوير a روی b را به‌دست آورید.

projba=abb2b=4,1,56,3,236+9+426,3,2=24310496,3,2=11496,3,2

اگر u=2,1,3 و a=4,1,2 باشد، تصوير برداری u در راستای a چه مضربی از a است.

v1=projau=uaa2a=8+1+621a=1521a=57a

بردار u=3,1,2 مفروض است، تصوير برداری u در راستای عمود بر بردار j را به‌دست آورید. 

v2=uprojjuv2=uujj2jv2=u30+11+20j2j    ;     j=0,1,0v2=u11jv2=3,1,210,1,0v2=3,0,2

اگر u=2,3,4 و a=1,2,1 مفروض باشند، تصوير برداری u را در راستای a و هم‌چنين تصوير برداری u را در راستای عمود بر a محاسبه كنيد.

v1=projau=uaa2a=21+32+411+4+12a=126a=2a=21,2,1=2,4,2


تصوير برداری u را در راستای عمود بر a:

v2=uv1=2,3,42,4,2=0,1,2

طول تصوير بردار u=3,2,1 در راستای بردار a=1,2,2 چقدر است؟

projau=uaa=3+421+4+4=13

برای ارسال نظر وارد سایت شوید