ویژگی‌ های ضرب داخلی دو بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

ویژگی اول) ضرب داخلی دو بردار صفر است، اگر اندازه یکی از آنها صفر باشد یا دو بردار بر هم عمود باشند. 

v1v2=v1v2cosαif  v1=0        v2=0v1v2=0if  α=π2cosα=0v1v2=0

و برعکس، اگر دو بردار برهم عمود باشند، حاصل‌ضرب داخلی آنها صفراست:

if  α=π2cosα=0v1v2=0v1v2

اگر دو بردار با هم موازی باشند، داریم:

دو بردار هم‌راستا و هم‌جهت هستند.

ifα=0cosα=1v1v2=v1v2v1v2

دو بردار هم‌راستا و غیر هم‌جهت هستند.

ifα=πcosα=1v1v2=v1v2v1v2

ویژگی دوم) ضرب داخلی دو بردار دارای خاصیت جابه‌جایی است:

v1v2=v2v1

ویژگی سوم) ضرب داخلی دو بردار نسبت به‌عمل جمع دارای خاصیت پخشی است:

v1v2±v3=v1v2±v1v3

ویژگی چهارم) برای هر عدد حقیقی داریم:

av1v2=av1v2=v1av2λv1av2=λav1v2

ویژگی پنجم) برای هر بردار v داریم:

vv=vvcos0=v2

ویژگی ششم) ضرب داخلی دو بردار عددی است مثبت یا منفی یا صفر بر حسب آن‌که زاویه بین دو بردار حاده یا منفرجه یا قائمه باشد.

v1v2=v1v2cosαif     0<α<90cosα>0v1v2>0if     α=90cosα=0v1v2=0  if  90<α<180cosα<0v1v2<0

ضرب داخلی دو بردار - پیمان گردلو

ویژگی هفتم) ضرب داخلی دارای خاصیت (بسته بودن) نمی‌باشد یعنی uv بردار نیست بلکه یک عدد حقیقی است.

ویژگی هشتم) ضرب داخلی خاصیت شرکت‌پذیری ندارد:

uvwuvw

اما عبارتی مانند uvw دارای معنی است: 

uvw=u.m=mu    ;    m

تمرین

a و b دو بردار می‌باشند و θ زاويه بين آن دو است، كدام همواره صحيح است؟

ab0  (1

(2 همواره bcosθ0

π2<θπab<0(3

aba  (4 يک عدد حقيقی است.

گزينه 3 صحيح است.

ab=a  bcosθπ2<θπcosθ<0ab<0

تمرین

u و v دو بردار ناصفر می‌باشند و uv=uv در اين صورت كدام همواره صحيح است؟

                                uv  (1

                                u=v  (2

v=λu  ,  λR0  (3

                 u+vuv  (4

گزينه 3 صحيح است.

uv=uvcosθif   θ=0cosθ=1uv=uv


زاويه بين دو بردار u و v همواره 0 است يعنی دو بردار با هم موازيند.

if    uvv=λu   ,    λR0

تمرین

اگر a ناصفر و b و c مساوی نباشند، اگر ab=ac كدام همواره صحيح است.

b=c (1

a,b,c (2 دو به دو بر هم عموداند.

a (3  بر b-c عمود است.

a (4 بر b+c عمود است.  

گزينه 3 صحيح است.

ab=acabac=0abc=0abc

تمرین

اگر O و A دو نقطه ثابت فضا و M نقطه متغيری باشد و OA=a و OM=v باشد، مکان M در صورتی كه vaa=0 كدام است؟

 (1خطی موازی a

 (2صفحه ای موازی a

 (3صفحه ای عمود بر a

 (4صفحه ای عمود بر v

گزينه 3 صحيح است.

vaa=0OMOAOA=0AMOA=0AMOA


مكان صفحه ای عمود بر OA است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید