اندازه مجموع و تفاضل دو بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 24 مرتبه

اگر u و v دو بردار مفروض باشند:

if  R=u+vR2=u2+v2+2uvcosθ

اثبات

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

R=u+vR2=u+v2R2=u+v.u+vR2=u.u+2u.v+v.v     ;     uu=uucos0=u2R2=u2+v2+2uvR2=u2+v2+2uvcosθ

دریافت مثال

r=uvr2=u2+v22uvcosθ

اثبات

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

r=uvr2=uv2r2=uvuvr2=uuuvvu+vvr2=u2+v22uvr2=u2+v22uvcosθ

if   u=vu+v=2ucosθ2

اثبات

u+v2=u2+v2+2u  vcosθu+v2=u2+u2+2uucosθ   ;   u=v     u+v2=2u2+2u2cosθ

u+v2=2u21+cosθ     u+v2=2u22cos2θ2     u+v2=4u2cos2θ2     u+v=2ucosθ2

if   u=vuv=2usinθ2

اثبات

uv2=u2+v22uvcosθuv2=u2+u22uucosθ   ;   u=vuv2=2u22u2cosθ

uv2=2u21cosθuv2=2u22sin2θ2uv2=4u2sin2θ2uv=2usinθ2

u+v2+uv2=2u2+v2

اثبات

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

u+v2+uv2=u2+v2+2u  vcosθ+u2+v22u   vcosθ=2u2+2v2=2u2+v2

در هر متوازی‌الاضلاع مجموع مربعات اندازه‌های دو قطر برابر است با مجموع مربعات اندازه‌های چهار ضلع.

u+v2uv2=4uv

اثبات

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

u+v2uv2=u2+v2+2u  vcosθu2+v22u   vcosθ=4uvcosθ=4uv

در هر متوازی‌الاضلاع تفاضل مربعات اندازه‌های دو قطر برابر است با چهار برابر حاصل ضرب درونی دو بردار.

دریافت مثال

if u=vu+vuv

اثبات

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

if   u=vu+v=uvu+vuv=0u+vuv

u+v نیمساز زاویه بین v و u است.

اگر u=v و دو بردار هم راستا نباشند، آن‌گاه متوازی‌الاضلاع ساخته شده روی دو بردار به (لوزی) تبدیل می‌شود. 

دریافت مثال

تذکر

 اگر v و u دو بردار باشند، آن‌گاه uv+vu برداری است که زاویه بین  v و u را نصف می‌کند.

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

uv و vu دارای طول‌های مساوی هستند.

uv=vu=u  v

و هم‌چنین  اگر v و u بردارهایی ناصفر و یا غیر هم‌راستا باشند، آن‌گاه uu و vv بردارهایی یکه می‌باشند.

با توجه به تعریف بردار یکه طول‌های آنها با هم برابرند. بنابراین uu+vv زاویه بین v و u را نصف می‌کند.  

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

دریافت مثال

تذکر

اگر v و u دو بردار ناصفر عمود برهم باشند واضح است که متوازی‌الاضلاع حاصل به مستطیل تبدیل شده بنابراین روابط معادل زیر به‌سادگی ثابت می‌شوند:  

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار - پیمان گردلو

uvuv=0u+v=uvu+v2=uv2=u2+v2

دریافت مثال

تذکر

می‌توان تعیین اندازه مجموع دو بردار را به سه یا تعداد بیش‌تر بردارها تعمیم داد:

اگر v و u و w سه بردار باشند، آن‌گاه رابطه زیر برقرار است:

u+v+w2=u+v+wu+v+w=uu+vv+ww+2uv+uw+vw

اگر زاویه بین v و u را α بگیریم.

اگر زاویه بین v و w را β بگیریم.

اگر زاویه بین u و w را γ بگیریم.

u+v+w2=u  ucos0+v   vcos0+w   wcos0+2u  vcosα+u  wcosγ+v    wcosβ

u+v+w2=u2+v2+w2+2u   vcosα+v   wcosβ+w  ucosγ

اگر α=β=γ و u=v=w باشد، آن‌گاه:

u+v+w2=3u2+23u2cosα

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اندازه مجموع و تفاضل دو بردار

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید