حاصل‌ ضرب دکارتی دو‌ مجموعه

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

اگر A و B دو مجموعه باشند، حاصل‌ضرب دکارتی A در B را که با نماد A×B نشان می‌دهند، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

A×B=(x,y)|xAyB

به‌همین ترتیب حاصل‌ضرب دکارتی B در A را که با نماد B×A نشان می‌دهند، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

B×A=(x,y)|xByA

برای دو حالت دیگر داریم:

A2=A×A=(x,y)|xAyAB2=B×B=(x,y)|xByB

دریافت مثال

تعداد اعضای مجموعهA×B

فرض کنید A مجموعه‌ای m عضوی است که به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

A=n(A)=m

و هم‌چنین B مجموعه‌ای n عضوی است که به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

B=n(B)=n

برای تعیین تعداد اعضای مجموعه A×B یعنی تعداد زوج‌های مرتب حاصل‌ضرب دکارتی A در B داریم:

n(A×B)=n(A)×n(B)=m×n

در واقع برای هر زوج مرتب x,y در A×B :

  • برای x به تعداد nA انتخاب موجود است.
  • برای y به تعداد nB انتخاب موجود است.

دریافت مثال

نکته

1- اگر A و B دو مجموعه باشند، تعداد عضوهای A×B با تعداد عضوهای B×A برابر می‌باشند:  

n(A×B)=n(B×A)=m×n


2-  اگر A و B هر یک مجموعه اعداد حقیقی یعنی  باشد، A×B به‌صورت × در می‌آید، که بنابر قرارداد آن‌را با 2 نشان می‌دهیم و لذا خواهیم داشت:    

2=×=(x,y)|xy

مجموعه 2 مجموعه کلیه نقاط صفحه مختصات دکارتی است و با یک دستگاه دو‌بعدی می‌توان سطح را نشان داد. 

هر نقطه در صفحه دارای دو مختص طول و عرض می‌باشد که این دو مختص با توجه به تعریف می‌توانند یک زوج مرتب تشکیل دهند، یعنی نقطه Ax,y می‌تواند با زوج مرتب x,y متناظر باشد. 

واضح است که x,yy,x می‌باشد، زیرا دو نقطه متمایز در صفحه می‌باشند.  


3- برای تعیین عناصر A×B برای سهولت از نموداری موسوم به نمودار درختی استفاده کنیم:

یک نمودار درختی (ریشه دار) وسیله‌ای مفید برای شمارش تمام امکان‌های منطقی یک دنباله از پیشامدها است که در آن هر پیشامد می‌تواند با تعداد راه‌های با پایان اتفاق بیفتد.

تمرین

دو مجموعه زیر مفروض است:

A=1,1,2,2B=0,3,4

نمودار مختصاتی هر یک از مجموعه‌های زیر را رسم کنید.

A×B

A×B=1,0,1,3,1,4,1,0,1,3,1,4,2,0,2,3,2,4,2,0,2,3,2,4


حاصل‌ضرب دکارتی دو‌مجموعه - پیمان گردلو

B×A

B×A=0,1,0,1,0,2,0,2,3,1,3,1,3,2,3,2,4,1,4,1,4,2,4,2


حاصل‌ضرب دکارتی دو‌مجموعه - پیمان گردلو

تمرین

نمودارهای  مختصاتی زیر مفروض است:

حاصل‌ضرب دکارتی دو‌مجموعه - پیمان گردلو

مجموعه‌های A و B را به‌دست آورید. 

A=2,3B=2,3,4

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حاصل‌ضرب دکارتی دو‌مجموعه

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید