حل معادله در حالات خاص

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: معادلات درجه سوم
امتیاز:
بازدید: 55 مرتبه

فرم كلی هر معادله درجه سوم به‌صورت زیر است كه در آن d  ,  c  ,  b  ,  a اعداد حقیقی است:

ax3+bx2+cx+d=0

در معادله فوق a0 است زیرا در غیر این‌صورت معادله درجه سوم به معادله درجه دوم تبدیل می‌شود.

روش‌هایی كلی برای حل معادله درجه سوم وجود دارد كه به‌علت مفصل بودن فرمول‌های آن عملا از آنها استفاده نمی‌شود.

حل معادله درجه سوم را در حالت‌های خاص زیر بررسی می‌كنیم: 

حالت خاص اول

قضیه

اگر در معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 مجموع ضرایب صفر باشد، آن‌گاه معادله بر x-1 بخش پذیر است. 

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر x-1 تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است. 

مجموعه ضرایب معادله صفر است:

a+b+c+d=0d=abc

ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+abc=0ax3a+bx2b+cxc=0ax31+bx21+cx1=0ax1x2+x+1+bx1x+1+cx1=0x1ax2+x+1+bx+1+c=0x1ax2+a+bx+a+b+c=0

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

ax2+a+bx+a+b+c=0

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x36x2+11x6=0

مجموع ضرایب صفر است: 

1+6+11+6=0


یعنی معادله بر x-1 بخش پذیر است. معادله را بر x-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x36x2+11x6     x1         x3±x2¯                      x25x+65x2+11x                                       ±5x25x¯6x66x±6         ¯           0

x36x2+11x6=0x1x25x+6=0x1=0x=1x25x+6=0x2x3=0x=2  ,  x=3

x34x2+5x2=0

مجموع ضرایب صفر است: 

1+4+5+2=0


یعنی معادله بر x-1 بخش پذیر است. معادله را بر x-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:


x34x2+5x2            x1                          ¯                           x23x+2           0



x34x2+5x2=0x1x23x+2=0x1=0x=1x23x+2=0x=1  ,  x=2

حالت خاص دوم

قضیه

اگر در معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 داشته باشیم:

a+c=b+d

آن‌گاه معادله بر x+1 بخش پذیر است. 

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر x+1 تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است. 

a+c=b+dd=a+cb

ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+a+cb=0ax3+a+bx2b+cx+c=0ax3+1+bx21+cx+1=0ax+1x2x+1+bx1x+1+cx+1=0x+1ax2x+1+bx1+c=0x+1ax2+bax+ab+c=0

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

ax2+bax+ab+c=0

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x36x2+5x+12=0

a+c=b+d1+5=6+12


یعنی معادله بر x+1 بخش پذیر است. معادله را بر x+1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x36x2+5x+12                x+1       x3x2¯                            x27x+127x2+5x±7x2±7x¯12x+1212x12¯         0



x36x2+5x+12=0x+1x27x+12=0x+1=0x=1x27x+12=0x3x4=0x=3  ,  x=4

x33x2+2x+6=0

1+2=(3)+(6)


یعنی معادله بر x+1 بخش پذیر است. معادله را بر x+1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

x33x2+2x+6           x+1                                 ¯                      x24x+6            0



x33x2+2x+6=0(x+1)(x24x+6)=0x+1=0x=1               x24x+6=0


معادله x24x+6=0 ریشه حقیقی ندارد. 

حالت خاص سوم

بعضی از معادلات درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 از راه فاکتورگیری و دسته‌بندی قابل حل می‌باشند.

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x33x24x+12=0

(x33x2)4(x3)=0x2(x3)4(x3)=0(x3)(x24)=0x3=0x=3x24=0x2=4x=±2

x32x2+2x4=0

x32x2+2x4=0x2x2+2x2=0x2x2+2=0x2=0x=2x2+2=0


معادله x2+2=0 ریشه حقیقی ندارد. 

حالت خاص چهارم

قضیه

اگر x=λ یکی از ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه معادله بر x-λ بخش پذیر است. 

اثبات

اگر x=λ یکی از ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه در معادله صادق است:

ax3+bx2+cx+d=0aλ3+bλ2+cλ+d=0

دو معادله فوق را نظیربه‌نظیر از هم کم می‌کنیم:

(ax3aλ3)+(bx2bλ2)+(cxcλ)+(dd)=0a(x3λ3)+b(x2λ2)+c(xλ)=0a(xλ)(x2+xλ+λ2)+b(xλ)(x+λ)+c(xλ)=0(xλ)a(x2+xλ+λ2)+b(x+λ)+c=0(xλ)ax2+(aλ+b)x+aλ2+bλ+c=0

تمرین

اگر x=2 یکی از ریشه های معادله زیر باشد، باشد، معادله را حل کنید.

x3+mx22x+4=0

اگر x=2 ریشه معادله درجه سوم فوق باشد، در معادله صادق است:

if   x=2(2)3+m222(2)+4=08+4m4+4=04m=8m=2


if   x3+mx22x+4=0m=2x32x22x+4=0


معادله را بر x-2 تقسیم کرده تا تجزیه شود:

    x32x22x+4            x2         x3±2x2             ¯                x22    2x+4   ±2x4¯         0



x32x22x+4=0(x2)(x22)=0x2=0x=2x22=0x2=2x=±2

حالت خاص پنجم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله ax3+bx2+cx+d=0 عضو  باشند، عدد ثابت معادله یعنی d بر هر یک از ریشه های معادله بخش پذیر است. a=1      

به‌عبارت دیگر، ریشه های معادله عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت d هستند.

اثبات

اگر x3  ,  x2  ,  x1 ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشند، بعدا خواهیم دید که:  

x1.x2.x3=da

چون x3  ,  x2  ,  x1 عضو  و a=1 است پس داریم:

if    a=1x1x2x3=d

یعنی عدد d بر هر یک از اعداد x3  ,  x2  ,  x1 بخش پذیر است، بنابراین x3  ,  x2  ,  x1 عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد d هستند.   

تمرین

اگر ریشه های معادلات زیر عضو  باشند، معادلات را حل کنید. 

x35x24x+20=0

عدد ثابت معادله 20 است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

±1,±2,±4,±5,±10,±20


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=2 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-2 تقسیم می‌کنیم:

     x35x24x+20           x2                x3±2x2                        x23x10   3x24x¯   ±3x26x¯   10x+20   ±10x20¯               0                



x35x24x+20=0(x2)(x23x10)=0x2=0x=2x23x10=0(x+2)(x5)=0x=2  ,  x=5

x33x24x+12=0

عدد ثابت معادله 12 است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

±1,±2,±3,±4,±6,±12


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=2 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-2 تقسیم می‌کنیم:

x33x24x+12              x2                                 ¯                      x2x6          0



x33x24x+12=0(x2)(x2x6)=0x2=0x=2x2x6=0(x3)(x+2)=0x=3,x=2

حالت خاص ششم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله ax3+bx2+cx+d=0 به‌صورت کسرهایی گویا به‌فرم pq باشد و p,q، آن‌گاه: 

p عدد d را می‌شمارد و q عدد a را می‌شمارد.  

به‌عبارت دیگر، عدد p عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت d و عدد q عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد a خواهد بود. 

اثبات

اگر x3  ,  x2  ,  x1 ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشند، بعدا خواهیم دید که:  

x1.x2.x3=da

اگر x3  ,  x2  ,  x1 به‌فرم کسرهایی نظیر p''q''  ,  p'q'  ,  pq باشند، آن‌گاه pp'p''qq'q''=da بنابراین d بر p  ,  p'  ,  p'' و a بر q''  ,  q'  ,  q بخش پذیر است.    

تمرین

اگر ریشه های معادله زیر به‌صورت کسرهایی گویا مانند pq باشد و p,q، آن‌گاه:  باشند، معادله را حل کنید. 

16x360x2+56x15=0

x1=pqp±1,±3,±5,±15q±1,±2,±4,±8,±16


با جایگذاری مشخص می‌شود که x=12 یکی از ریشه های معادله است.


برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر x-12 تقسیم می‌کنیم:

16x360x2+56x15            x12                                     ¯                           16x252x+30            0


16x360x2+56x15=0x1216x252x+30=0x=12  ,  x=52   ,  x=34

حالت خاص هفتم

با توجه به اتحاد زیر می‌توان بعضی از معادلات درجه سوم را حل کرد:

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

x33x2+3x4=0

(x33x2+3x1)3=0x-13-3=0x-13=3(x1)33=33x1=33x=1+33

x33x2+3x9=0

(x33x2+3x1)8=0x33x2+3x1=8x-13=8x-13=23x1=2x=3

x33x2+3x+26=0

(x33x2+3x1)+27=0x-13=27(x1)33=273x1=3x=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید