لیست

معادلات یک مجهولی درجه اول

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه اول
امتیاز:

حل معادلات یک مجهولی درجه اول

صورت کلی هر معادله در‌جه اول به فرم زیر است:

ax+b=0

  • a ضریب x 
  •  x متغیر درجه اول است.a0
  • b عدد آزاد است. (مقدار ثابت)

عبارات درجه اول - پیمان گردلو

برای حل معادله ax+b=0 به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ax+b=0ax=bx=ba

تمرین

معادلات درجه اول زیر را حل می‌کنیم:

32x7=81

طرفین تساوی را بر عدد سه تقسیم می‌کنیم:

332x7=8132x7=27


جمله مجهول را در سمت چپ نگه داشته و عدد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

2x=27+72x=34


طرفین تساوی را بر ضریب x یعنی عدد 2 تقسیم می‌کنیم:

22x=342x=17

164y=0

4y=1644y=164y=4

100=504d

+4d=501004d=5044d=504d=12/5

72e=194e

2e+4e=1972e=1222e=122e=6

3(x+5)=2(6x)2x

3x+15=122x2x3x+15=124x


3x+4x=12-15 


7x=-27


7x7=277x=277

m23+1=2m7

21(m23+1)=21(2m7)

21(m23)+21(1)=21(2m7)

7(m2)+21=(2m)(3)

7m14+21=6m

7m+7=6m

m=7

4x7(2x)=3x+2

4x14+7x=3x+2


11x14=3x+2


11x-3x=2+14


8x=16


x=2

42z3=345z6

12(42z3)=12(345z6)


12(42z3)=12(34)12(5z6)


4(42z)=3(3)2(5z)


168z=910z


2z=7


z=72

نکته

اگر x=a جواب معادله درجه اول ax+b=0 باشد، این جواب در معادله صدق می‌کند. 

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق می‌کند.

3(y+1)=4y5 ; y=8

3(8+1)=?4(8)527=27    OK

3(y+1)=4y5 ; y=-2

3(2+1)=?4(2)5313  NOT OK

2x5=3(1x)+22 ; x=6

2(6)5=?3(16)+227=7  OK

دریافت مثال

حل معادلات گویای درجه اول

برای ورود به بحث، به تمرین زیر، توجه کنید: 

معادلاتی که در آنها عبارات گویا وجود داشته باشند، معادلات شامل عبارت های گویا می‌نامند.

برای حل این معادلات:

  1. همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.
  2. با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ای نظیر معادلهPxQx=0 می‌رسیم.
  3. از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد، در نتیجه معادله Px=0 را با شرط Qx0 حل می‌کنیم.
  4. جواب‌های به‌دست آمده از این معادله، نباید مخرج کسر را صفر کند، بنابراین بین جواب‌های به‌دست آمده، آنهایی را قبول می‌کنیم که مخرج هیچ یک از کسرها را صفر نکند.

تمرین

گلدانی نقره ای داریم:

معادلات گویا - پیمان گردلو

نسبت وزن نقره خالص آن یعنی W1 به وزن مس خالص آن یعنی W2 برابر 8 است، یعنی W1W2=8.

استاد قلم‌کار آن را ذوب و 100 گرم مس به آن اضافه کرده و گلدان جدیدی می‌سازد. می‌دانیم 45 وزن گلدان جدید، نقره است. می‌خواهیم وزن گلدان را قبل از ذوب شدن محاسبه کنیم:

اگر وزن مس را برابر با x در نظر بگیریم، آن‌گاه وزن نقره 8x و وزن گلدان قبل از ذوب شدن برابر 8x+x=9x است.

اکنون اگر بعد از ذوب شدن، 100 گرم مس به آن اضافه کنیم، وزن گلدان جدید 9x+100 است.


از آنجا که 45 وزن گلدان جدید، نقره است، یعنی نسبت وزن نقره به وزن گلدان جدید 45 است، پس داریم:

8x9x+100=45


معادله فوق، یک معادله گویای درجه اول می‌باشد.

برای حل معادله فوق، همه عبارت های جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم:

8x9x+10045=0


با مخرج مشترک گیری و ساده کردن عبارت های جبری به دست آمده، به معادله زیر می‌رسیم:

8x549x+10059x+100=040x36x+40059x+100=04x40059x+100=0


کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد:

4x400=04x=4004x4=4004x=100


از آنجا که وزن گلدان قبل از ذوب شدن 9x است، در نتیجه وزن گلدان قبل از ذوب شدن برابر 900 گرم است.

تمرین

معادلات زیر را حل کنید:

2zz+3=3z10+2

روش اول)


همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.

2zz+3-3z10-2=0


با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ای نظیر معادلهPxQx=0 می‌رسیم.

2zz-10z+3z-10-3z+3z+3z-10-2z+3z-10z+3z-10=0


2zz-10-3z+3-2z+3z-10z+3z-10=0


از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد، در نتیجه معادله Px=0 را با شرط Qx0 حل می‌کنیم.

2zz-10-3z+3-2z+3z-10=0


2z2-20z-3z-9-2z2-7z-30=0


2z2-20z-3z-9-2z2+14z+60=0

-9z+51=0

-9z=-51

z=173


روش دوم)


2zz+3=3z10+2

(z+3)(z10)(2zz+3)=(3z10+2)(z+3)(z10)

2z(z10)=3(z+3)+2(z+3)(z10)


2z220z=3z+9+2(z27z30)


2z220z=3z+9+2z214z60


20z=11z51


51=9z


z=173


همانطور که مشاهده می‌کنید z=173 جواب معادله فوق است و در معادله صدق می‌کند:


2(173)173+3=?317310+2343263=?3133+2343(326)=?3(313)+21713=1713   OK

2x+2=xx2+5x+6

2x+2=x(x+2)(x+3)


(x+2)(x+3)(2x+2)=(x(x+2)(x+3))(x+2)(x+3)


2(x+3)=x


2x+6=x


3x=6


x=2

2x+1=42xx+1

(2x+1)(x+1)=(42xx+1)(x+1)


2=4(x+1)2x


2=4x+42x


2=2x+4


2=2x


x=-1

4tt225=15t

4t(t5)(t+5)=1(t5)


4t(t5)(t+5)=1t5

(t5)(t+5)(4t(t5)(t+5))=(1t5)(t5)(t+5)


4t=(t+5)


4t=t5


5t=5


t=1

دریافت مثال

 بحث در معادلات یک مجهولی درجه اول

هر معادله درجه اول یک مجهولی ax+b=0 پس از ساده شدن به صورت x=-ba در می‌آید که به بحث در حالات مختلف آن می‌پردازیم:

if   a0  ,  b0   x=ba

در این حالت معادله دارای یک جواب غیر صفر به صورت x=-ba می‌باشد.

if  a0  ,  b=0   x=0a=0

 در این حالت معادله دارای یک جواب  صفر می‌باشد.

if  a=0   ,  b0   x=b00×x=b

در این حالت معادله نشدنی، غیر ممکن و ممتنع است و جواب ندارد.

if  a=0   ,  b=0   x=000x=0

در این حالت معادله بی‌شمار جواب دارد و مبهم است.

دریافت مثال

معادلات با بیش از یک متغیر

در این قسمت ما قصد داریم موضوعی را بررسی کنیم که اغلب در کلاس‌های ریاضی، پوشش مناسب داده نمی‌شود.

آنچه ما در اینجا انجام خواهیم داد حل معادلاتی است که بیش از یک متغیر در آنها وجود دارد.

روندی که ما در اینجا طی خواهیم کرد بسیار شبیه به حل معادلات خطی است،  یکی از دلایلی است که به امکان می‌دهد این موضوع را در این مرحله معرفی کنیم.

مهمترین موضوع آن است که بدانیم هر معادله را بر اساس چه متغیری می‌خواهیم حل کنیم.

تمرین

در معادلات زیر متغیری که با رنگ متفاوت نشان داده شده است را به‌دست آورید.

A=P(1+rt)

A=P+Prt


AP=Prt


APPt=r


r=APPt

V=m(1b5aRm)

V=mb5aR


Vb=m5abR


Vbm=5abR


R=Vbm5ab


R=Vbm5ab


R=(Vbm)5ab


R=Vb+m5ab


R=mVb5ab

V=m(1b5aRm)

Vbm=5abR


Vb+5abR=m


b(V+5aR)=m


b=mV+5aR

1a=1b+1c

1a(abc)=(1b+1c)(abc)

bc=ac+ab

bcac=ab

c(ba)=ab

c=abb-a

y=45x9

y(5x9)=4


5xy9y=4


5xy=9y+4


x=9y+45y

y=43x1+8x

y(1+8x)=43x


y+8xy=43x


8xy+3x=4y


x(8y+3)=4y


x=4y8y+3

E=3v(42r)

E=12v6vr


Er=12vr6v


Er12vr=6v


(E12v)r=6v


r=6vE12v

Q=6h7s+4(1h)

(Q)(7s)=7s(6h7s+4(1h))


7sQ=6h+28s(1h)


7sQ28s(1h)=6h


[7Q28(1h)]s=6h


s=6h7Q28(1h)

Q=6h7s+4(1h)

(Q)(7s)=7s(6h7s+4(1h))


7sQ=6h+28s(1h)


7sQ=6h+28s28sh


7sQ28s=6h28sh


7sQ28s=(628s)h


h=7sQ28s628s

A12t4p=4+3t5p

20p(A12t4p)=20p(4+3t5p)

20Ap5(12t)=4(4+3t)

20Ap5+10t=16+12t


20Ap21=2t


t=20Ap212

خرید پاسخ‌ها

معادلات یک مجهولی درجه اول

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید