سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه اول

معادلات یک مجهولی درجه اول

آخرین ویرایش: 05 آبان 1404

دسته‌بندی: عبارات درجه اول

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$2 x - 3 = x - 1$

به تساوی فوق که در طرفین آن، عبارت‌ های جبری قرار می‌گیرد، معادله می‌گوییم.

منظور از حل معادلۀ فوق، یافتن مقداری برای متغیر $x$ است که به‌ازای آن، طرفین تساوی باهم برابر باشند.

اگر فرض کنیم $x = 2$ باشد، داریم:

$2 (2) - 3 = 2 - 1$

$1 = 1$

$x = 2$ را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

نکته

معادله، یک گزاره ریاضی است که تساویِ دو عبارت را بیان می‌کند .

تمرین

با حدس زدن، ریشه های معادلات زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} 2 x - 4 = 0 \end{array}$

حدس می‌زنیم $x = 2$ ریشه معادله فوق باشد:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 2 (2) - 4 = 0 \end{array} \\ 4 - 4 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

$x = 2$ را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

$\begin{array}{l} - 3 y + 4 = - 1 \end{array}$

حدس می‌زنیم $y = \frac{5}{3}$ ریشه معادله فوق باشد:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} - 3 (\frac{5}{3}) + 4 = - 1 \end{array} \\ - 5 + 4 = - 1 \\ - 1 = - 1 \end{matrix}$

$y = \frac{5}{3}$ را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

$\frac{a - 3}{4} = 2$

حدس می‌زنیم $a = 11$ ریشه معادله فوق باشد:

$\begin{matrix} \frac{11 - 3}{4} = 2 \\ \frac{8}{4} = 2 \\ 2 = 2 \end{matrix}$

$a = 11$ را ریشۀ معادله فوق می‌گوییم که به ازای آن، طرفین تساوی فوق برقرار می‌گردد.

حل معادلات یک مجهولی درجه اول

صورت کلی هر معادله در‌جه اول به فرم زیر است:

$a x + b = 0$

$a$ ضریب $x$
$x$ متغیر درجه اول است. $(a \neq 0)$
$b$ عدد آزاد است. (مقدار ثابت)

عبارات درجه اول - پیمان گردلو

برای حل معادله $a x + b = 0$ به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$\begin{matrix} a x + b = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow a x = - b \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{a}{a} x = \frac{- b}{a} \end{matrix}$

$\Rightarrow x = - \frac{b}{a}$

تمرین

معادلات درجه اول زیر را حل کنید.

$2 x - 4 = 0$

$- 3 x + 5 = 0$

$\frac{a - 3}{4} = 2$

$2.5 + 0.3 x = - 1.1$

$4 (5 - 2 y) = 5.6 y$

$5 x - 2 = 3 x + 4$

تمرین

معادلات درجه اول زیر را حل کنید.

$3 (2 x - 7) = 81$

طرفین تساوی را بر عدد سه تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3}{3} (2 x - 7) = \frac{81}{3} \\ \Rightarrow 2 x - 7 = 27 \end{array}$

جمله مجهول را در سمت چپ نگه داشته و عدد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x = 27 + 7 \\ \Rightarrow 2 x = 34 \end{array}$

طرفین تساوی را بر ضریب $x$ یعنی عدد $2$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{2} x = \frac{34}{2} \\ \Rightarrow x = 17 \end{array}$

$16 - 4 y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 4 y = - 16 \\ \Rightarrow \frac{- 4}{- 4} y = \frac{- 16}{- 4} \\ \Rightarrow y = 4 \end{array}$

$100 = 50 - 4 d$

$\begin{array}{l} \Rightarrow + 4 d = 50 - 100 \\ \Rightarrow 4 d = - 50 \\ \Rightarrow \frac{4}{4} d = \frac{- 50}{4} \\ \Rightarrow d = - 12 / 5 \end{array}$

$7 - 2 e = 19 - 4 e$

$\begin{aligned} 3 (x + 5) & = 2 (- 6 - x) - 2 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x + 15 & = - 12 - 2 x - 2 x \\ \Rightarrow 3 x + 15 & = - 12 - 4 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x + 4 x & = - 12 \end{aligned} - 15$

$\Rightarrow 7 x = - 27$

$\Rightarrow x = - \frac{27}{7}$

$\frac{m - 2}{3} + 1 = \frac{2 m}{7}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 21 (\frac{m - 2}{3} + 1) & = 21 (\frac{2 m}{7}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 21 (\frac{m - 2}{3}) + 21 (1) & = 21 (\frac{2 m}{7}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 (m - 2) + 21 & = (2 m) (3) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 m - 14 + 21 & = 6 m \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 m + 7 & = 6 m \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow m & = - 7 \end{aligned}$

$4 x - 7 (2 - x) = 3 x + 2$

$\begin{aligned} \Rightarrow 4 x - 14 + 7 x & = 3 x + 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 11 x - 14 & = 3 x + 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 11 x - 3 x & = 2 \end{aligned} + 14$

$\begin{aligned} \Rightarrow 8 x & = 16 \end{aligned}$

$\Rightarrow x = 2$

$\frac{4 - 2 z}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5 z}{6}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 12 (\frac{4 - 2 z}{3}) & = 12 (\frac{3}{4} - \frac{5 z}{6}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 12 (\frac{4 - 2 z}{3}) & = 12 (\frac{3}{4}) - 12 (\frac{5 z}{6}) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 4 (4 - 2 z) & = 3 (3) - 2 (5 z) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 16 - 8 z & = 9 - 10 z \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 z & = - 7 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} z & = - \frac{7}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 (w + 3) - 10 & = 6 (32 - 3 w) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 w + 6 - 10 & = 192 - 18 w \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 w - 4 & = 192 - 18 w \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 20 w & = 196 \end{aligned}$

$\Rightarrow w = \frac{196}{20}$

$\begin{array}{l} 2 (3 x - 1) - 3 (x - 2) = 2 x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} (x^{2} - 1) + (x + 1) (x - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{12 - 5 c}{5} = - \frac{1}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x - \frac{x - 1}{3} = \frac{4 x + 2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x - 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = x - 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{4 (x - 1) - 3 (x - 2)}{12} = x - 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 (x - 1) - 3 (x - 2) = 12 (x - 8) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x - 4 - 3 x + 6 = 12 x - 96 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow 4 x - 3 x - 12 x = - 96 - 6 + 4 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 11 x = - 98 \\ \Rightarrow x = \frac{- 98}{- 11} \\ \Rightarrow x = \frac{98}{11} \end{array}$

نکته

اگر $x = a$ جواب معادله درجه اول $a x + b = 0$ باشد، این جواب در معادله صدق می‌کند.

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق می‌کند.

$3 (y + 1) = 4 y - 5; y = 8$

null

$3 (y + 1) = 4 y - 5; y = - 2$

$\begin{aligned} 3 (- 2 + 1) & \overset{?}{=} 4 (- 2) - 5 \\ - 3 & \neq - 13 NOT OK \end{aligned}$

$2 x - 5 = 3 (1 - x) + 22; x = 6$

$\begin{aligned} 2 (6) - 5 & \overset{?}{=} 3 (1 - 6) + 22 \\ 7 & = 7 OK \end{aligned}$

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$m x^{3} - (2 m - 1) x = 5$

اگر $x = - 1$ یک جواب معادله باشد، $m$ را بیابید.

$\begin{array}{l} m x^{3} - (2 m - 1) x = 5 \end{array}$

$\Rightarrow m {(- 1)}^{3} - (2 m - 1) (- 1) = 5; (x = - 1)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - m + 2 m - 1 = 5 \\ \Rightarrow m = 6 \end{array}$

تمرین

از صورت كسر $\frac{17}{20}$ چند واحد كم كنيم تا كسر حاصل مساوی $\frac{3}{5}$ شود؟

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حل معادلات گویای درجه اول

برای ورود به بحث، به تمرین زیر، توجه کنید:

معادلاتی که در آنها عبارات گویا وجود داشته باشند، معادلات شامل عبارت های گویا می‌نامند، مانند:

$\frac{3 x - 7}{4 x + 2} = \frac{3 x - 14}{4 x - 13} = 0; x \neq \frac{1}{2}, \frac{13}{4}$

برای حل این معادلات:

همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{3 x - 7}{4 x + 2} - \frac{3 x - 14}{4 x - 13} = 0 \end{matrix}$

با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ای نظیر معادله $\frac{P (x)}{Q (x)} = 0$ می‌رسیم.

$\Rightarrow \frac{(3 x - 7) (4 x - 13) - (3 x - 14) (4 x + 2)}{(4 x + 2) (4 x - 13)} = 0$

از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد، در نتیجه معادله $P (x) = 0$ را با شرط $Q (x) \neq 0$ حل می‌کنیم.

$\begin{array}{l} (3 x - 7) (4 x - 13) - (3 x - 14) (4 x + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (12 x^{2} - 39 x - 28 x + 91) - (12 x^{2} + 6 x - 56 x - 28) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 12 x^{2} - 39 x - 28 x + 91 - 12 x^{2} - 6 x + 56 x + 28 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (- 39 x - 28 x - 6 x + 56 x) + (91 + 28) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 17 x + 119 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 17 x = - 119 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{- 119}{- 17} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{119}{17} \end{array}$

$\Rightarrow x = 7$

جواب‌های به‌دست آمده از این معادله، نباید مخرج کسر را صفر کند، بنابراین بین جواب‌های به‌دست آمده، آنهایی را قبول می‌کنیم که مخرج هیچ یک از کسرها را صفر نکند.

$D = \{7\}$

تمرین

معادلات زیر را حل کنید:

$\frac{2 z}{z + 3} = \frac{3}{z - 10} + 2$

روش اول)

همه عبارات جبری را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم.

$\Rightarrow \frac{2 z}{z + 3} - \frac{3}{z - 10} - 2 = 0$

با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده، به معادله‌ زیر می‌رسیم:

$\Rightarrow \frac{2 z (z - 10)}{(z + 3) (z - 10)} - \frac{3 (z + 3)}{(z + 3) (z - 10)} - \frac{2 (z + 3) (z - 10)}{(z + 3) (z - 10)} = 0$

$\Rightarrow \frac{2 z (z - 10) - 3 (z + 3) - 2 (z + 3) (z - 10)}{(z + 3) (z - 10)} = 0$

از قبل می‌دانیم کسری برابر صفر است که صورتش برابر صفر باشد:

$\Rightarrow 2 z (z - 10) - 3 (z + 3) - 2 (z + 3) (z - 10) = 0$

$\Rightarrow 2 z^{2} - 20 z - 3 z - 9 - 2 (z^{2} - 7 z - 30) = 0$

$\Rightarrow 2 z^{2} - 20 z - 3 z - 9 - 2 z^{2} + 14 z + 60 = 0$

$\Rightarrow - 9 z + 51 = 0$

$\Rightarrow - 9 z = - 51$

$z = \frac{17}{3}$

روش دوم)

$\frac{2 z}{z + 3} = \frac{3}{z - 10} + 2$

$\Rightarrow \begin{aligned} (z + 3) (z - 10) (\frac{2 z}{z + 3}) & = (\frac{3}{z - 10} + 2) (z + 3) (z - 10) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 z (z - 10) & = 3 (z + 3) + 2 (z + 3) (z - 10) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 z^{2} - 20 z & = 3 z + 9 + 2 (z^{2} - 7 z - 30) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 z^{2} - 20 z & = 3 z + 9 + 2 z^{2} - 14 z - 60 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} - 20 z & = - 11 z - 51 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 51 & = 9 z \end{aligned}$

$\Rightarrow z = \frac{17}{3}$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید $z = \frac{17}{3}$ جواب معادله فوق است و در معادله صدق می‌کند:

$\begin{aligned} \frac{2 (\frac{17}{3})}{\frac{17}{3} + 3} & \overset{?}{=} \frac{3}{\frac{17}{3} - 10} + 2 \\ \frac{\frac{34}{3}}{\frac{26}{3}} & \overset{?}{=} \frac{3}{- \frac{13}{3}} + 2 \\ \frac{34}{3} (\frac{3}{26}) & \overset{?}{=} 3 (- \frac{3}{13}) + 2 \\ \frac{17}{13} & = \frac{17}{13} OK \end{aligned}$

$\frac{2}{x + 2} = \frac{- x}{x^{2} + 5 x + 6}$

$\Rightarrow \frac{2}{x + 2} = \frac{- x}{(x + 2) (x + 3)}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (x + 2) (x + 3) (\frac{2}{x + 2}) & = [\frac{- x}{(x + 2) (x + 3)}] (x + 2) (x + 3) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 (x + 3) & = - x \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 x + 6 & = - x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 3 x & = - 6 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} x & = - 2 \end{aligned}$

$\frac{2}{x + 1} = 4 - \frac{2 x}{x + 1}$

$\begin{aligned} \Rightarrow (\frac{2}{x + 1}) (x + 1) & = (4 - \frac{2 x}{x + 1}) (x + 1) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 2 & = 4 (x + 1) - 2 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 & = 4 x + 4 - 2 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 & = 2 x + 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow - 2 & = 2 x \end{aligned}$

$\Rightarrow x = - 1$

$\frac{4 t}{t^{2} - 25} = \frac{1}{5 - t}$

$\Rightarrow \begin{aligned} \frac{4 t}{(t - 5) (t + 5)} & = \frac{1}{- (t - 5)} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{4 t}{(t - 5) (t + 5)} & = - \frac{1}{t - 5} \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (t - 5) (t + 5) [\frac{4 t}{(t - 5) (t + 5)}] & = - (\frac{1}{t - 5}) (t - 5) (t + 5) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 4 t & = - (t + 5) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 4 t & = - t - 5 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 t & = - 5 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} t & = - 1 \end{aligned}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1 - \frac{5}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2}} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 x + 4}{x + 2} = 1 \end{array}$

$\frac{5 x}{3 x - 3} + \frac{6}{x + 2} = \frac{5}{3}$

$\frac{5 x}{3 (x - 1)} + \frac{6}{x + 2} = \frac{5}{3}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 3 (x - 1) (x + 2) [\frac{5 x}{3 (x - 1)} + \frac{6}{x + 2}] & = (\frac{5}{3}) [3 (x - 1) (x + 2)] \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x (x + 2) + 3 (x - 1) (6) & = 5 (x - 1) (x + 2) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x^{2} + 10 x + 18 (x - 1) & = 5 (x^{2} + x - 2) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x^{2} + 10 x + 18 x - 18 & = 5 x^{2} + 5 x - 10 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 28 x - 18 & = 5 x - 10 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 23 x & = 8 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} x & = \frac{8}{23} \end{aligned}$

$\frac{3 y + 4}{y - 1} = 2 + \frac{7}{y - 1}$

طرفین تساوی فوق را در $(y - 1)$ ضرب می‌کنیم:

$\begin{aligned} (y - 1) (\frac{3 y + 4}{y - 1}) & = (2 + \frac{7}{y - 1}) (y - 1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3 y + 4 & = 2 (y - 1) + 7 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3 y + 4 & = 2 y + 5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} y & = 1 \end{aligned}$

جواب $y = 1$ در معادله صادق نیست، بنابراین معادله فوق جواب ندارد.

$\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x - 4) = (x + 1) (x - 3) \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x = x^{2} - 3 x + x - 3 \\ \Rightarrow - 4 x + 2 x = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 x = - 3 \\ \Rightarrow x = \frac{- 3}{- 2} \\ \Rightarrow x = \frac{3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3 x - 7}{4 x + 2} - \frac{3 x - 14}{4 x - 13} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x - 1}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 2 x - 4}{x^{2} - 4} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{5}{x - 2} - \frac{3}{2 x + 4} = \frac{3 x - 1}{x^{2} - 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{3 - x} + \frac{4}{3 + x} = \frac{8 x + 3}{9 - x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 x - 7}{9} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 9}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}} = \frac{3}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{2 x - 3} - \frac{x^{2} + 7}{4 x^{2} - 9} = \frac{2}{2 x + 3} - \frac{x - 1}{6 - 4 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{x + 5} + \frac{2}{x^{2} - 25} = \frac{3}{5 - x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{2 - x}{1 - x} + \frac{4}{x - 1} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{t - 1}{t + 4} - \frac{2}{t - 4} = \frac{7}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{2 x} = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{5}{x} - \frac{4}{x (x - 2)} = \frac{x - 4}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 x + 3}{2 x - 2} - \frac{5}{x^{2} - 1} = \frac{2 x - 3}{2 x + 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3 x - 2}{x} + \frac{2 x + 5}{x + 3} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = 3 x (1 - \frac{x - 1}{x + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 x + 3}{x - 1} - \frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{10}{x^{2} - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{3 x^{2} - 3 x - 28} = \frac{5}{5 x^{2} - x - 20} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x + 3} = \frac{12}{x^{2} - 9} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 5}{3 x + 15} = \frac{1}{3} \end{array}$

$\frac{x^{2} + 4 x + 24}{x^{2} + 3 x + 5} = \frac{x^{2} + 5 x + 7}{x^{2} + 2 x + 22}$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، هدف از حل این تمرین، طرفین وسطین کردن نیست زیرا با یک معادله از درجه چهارم مواجه می‌شویم که حل کردن آن بسیار وقت گیر است.

از ترکیب نسبت در صورت استفاده می‌کنیم:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \frac{(x^{2} + 4 x + 24) + (x^{2} + 3 x + 5)}{x^{2} + 3 x + 5} = \frac{(x^{2} + 5 x + 7) + (x^{2} + 2 x + 22)}{x^{2} + 2 x + 22} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 x^{2} + 7 x + 29}{x^{2} + 3 x + 5} = \frac{2 x^{2} + 7 x + 29}{x^{2} + 2 x + 22} \end{array}$

دلتا در عباراتِ صورت منفی است و این عبارات را از طرفین تساوی حذف می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x^{2} + 3 x + 5} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 22} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 3 x + 5 = x^{2} + 2 x + 22 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = 17 \end{array}$

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{x}{a - x} + \frac{a - x}{x} = \frac{a}{x}$

به‌ازای چه مقدار $a$ معادله دارای جواب $x = 2$ است؟

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{4 - t}{2 - 2 t} = \frac{3 t^{2} + k}{{(t^{2} + 1)}^{2} - 68}$

به‌ازای چه مقدار $k$ معادله دارای جواب $t = - 3$ است؟

تمرین

به ازای چه مقداری از $t$ تساوی زیر برقرار می شود؟

$\frac{2 t + 1}{t - 1} = 0.2$

تمرین

به صورت كسری $2$ واحد می‌افزاييم و از مخرج آن $2$ واحد می‌كاهيم.

كسر حاصل با كسر اوليه برابر می شود، كسراوليه چيست؟

تمرین

نسبت دو عدد $x + 1$ و $y - 2$ برابر است با نسبت دو عدد $1 - x$ و $y + 2$ .

اگر $y = 1$ باشد ، مقدار $x$ را بیابید.

تمرین

دو شیر آب $A, B$ به یک استخر متصل اند.

شیر $A$ استخر را $10$ ساعت زودتر از شیر $B$ پر می‌کند.

چنانچه دو شیر را با هم باز کنیم، آن‌گاه استخر در $12$ ساعت پر می‌شود.

اگر شیر $B$ به تنهایی باز باشد ، استخر در چند ساعت پر می‌شود؟

تمرین

یک کیک را بین چند نفر تقسیم کردیم و به هریک مقدار مساوی رسید.

سپس یک نفر دیگر به جمع آن اضافه شد و دوباره کیک را بین آنها تقسیم کردیم.

در این مرحله به هر یک به اندازه $\frac{1}{6}$ کمتر رسید.

مشخص کنید درابتدا چند نفر بوده‌اند؟

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

بحث در معادلات یک مجهولی درجه اول

هر معادله درجه اول یک مجهولی $a x + b = 0$ پس از ساده شدن به صورت $x = - \frac{b}{a}$ در می‌آید که به بحث در حالات مختلف آن می‌پردازیم:

$i f a \neq 0, b \neq 0; x = - \frac{b}{a}$

در این حالت معادله دارای یک جواب غیر صفر به صورت $x = - \frac{b}{a}$ می‌باشد.

$i f a \neq 0, b = 0; x = \frac{0}{a} = 0$

در این حالت معادله دارای یک جواب صفر می‌باشد.

$i f a = 0, b \neq 0; x = \frac{- b}{0} \Rightarrow 0 \times x = - b$

در این حالت معادله نشدنی، غیر ممکن و ممتنع است و جواب ندارد.

$i f a = 0, b = 0; x = \frac{0}{0} \Rightarrow (0) x = 0$

در این حالت معادله بی‌شمار جواب دارد و مبهم است.

تمرین

معادلات زير را حل كنيد.

$\begin{array}{l} 2 (x - 1) = 2 x + 3 \end{array}$

$\frac{2 x + 1}{2} = x + \frac{1}{2}$

تمرین

معادله پارامتری زير را حل و بحث كنيد.

$\begin{array}{l} m^{2} x - m = x + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{a} - \frac{x}{b} = a - b; a, b \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a (x - a)}{b} + \frac{b (x - b)}{a} = x \end{array}$

$\begin{array}{l} (m^{2} - 1) x = m^{2} + 3 m + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} m^{2} x = m (x + 2) - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} x + 4 = a (x + 2) + b \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + a}{a} - \frac{x - 2 a}{a} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} (x - a) (x + b) = {(x - a + b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b} = \frac{a - b}{x^{2} - a b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x - a}{b^{2}} + \frac{x - b}{a^{2}} = \frac{x}{a b}; a, b \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (m^{3} - n^{3}) x = m - n \end{array}$

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$m^{2} x - m^{2} = 3 m x - 2 x - 1$

به‌ازای چه مقدار $m$ معادله بی شمار جواب دارد.

به‌ازای چه مقدار $m$ معادله جواب ندارد.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$2 a x - b = b x + 3$

به‌ازای چه مقادير $a, b$ معادله مبهم است؟

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$x + m^{2} + 2 = m^{2} x - 3 m$

به ازای چه مقادير $m$ معادله بی شمار جواب دارد.

معادله را حل كنيد.

اگر $m = 1$ باشد معادله جواب ندارد در حالی كه اگر $m \neq \pm 1$ باشد معادله جوابی به‌صورت زير دارد.

$x = \frac{m + 2}{m - 1}$

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$m^{2} x - m = 4 x + 2$

به‌ازای چه مقادير $m$ معادله بی شمار جواب دارد.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$a^{2} x + 3 = 9 x + a$

به‌ازای چه مقدار $a$ معادله غير ممكن است.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$(a - b) x + a - 1 = 0$

به‌ازای چه مقدار $a, b$ معادله بی شمار جواب دارد.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$(m - 2) x - 2 m = 3 x - 10$

معادله را بر حسب $m \neq 5$ حل کنيد.

تمرین

مقدار $m$ را چنان تعيين کنيد که $x = - 1$ يک جواب معادله زیر باشد.

$m x^{3} - (2 m - 1) x = 5$

تمرین

معلم سوال کرد مجموعه جواب معادله $\frac{x + 3}{x + 3} = 1$ چیست؟

برخی از دانش آموزان گفتند:همه اعداد.

معلم گفت این جواب صحیح نمی‌باشد.

جواب صحیح چیست؟

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

معادلات با بیش از یک متغیر

در این قسمت ما قصد داریم موضوعی را بررسی کنیم که اغلب در کلاس‌های ریاضی، پوشش مناسب داده نمی‌شود.

آنچه ما در اینجا انجام خواهیم داد حل معادلاتی است که بیش از یک متغیر در آنها وجود دارد.

روندی که ما در این‌جا طی خواهیم کرد بسیار شبیه به حل معادلات خطی است، یکی از دلایلی است که به امکان می‌دهد این موضوع را در این مرحله معرفی کنیم.

مهمترین موضوع آن است که بدانیم هر معادله را بر اساس چه متغیری می‌خواهیم حل کنیم.

تمرین

در معادلات زیر متغیری که با رنگ متفاوت نشان داده شده است را به‌دست آورید.

$A = P (1 + r t)$

$\Rightarrow A = P + P r t$

$\Rightarrow A - P = P r t$

$\Rightarrow \frac{A - P}{P t} = r$

$\Rightarrow r = \frac{A - P}{P t}$

$V = m (\frac{1}{b} - \frac{5 a R}{m})$

$\Rightarrow V = \frac{m}{b} - 5 a R$

$\Rightarrow \begin{aligned} V b & = m - 5 a b R \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} V b - m & = - 5 a b R \end{aligned}$

$\Rightarrow R = \frac{V b - m}{- 5 a b}$

$\Rightarrow R = - \frac{V b - m}{5 a b}$

$\Rightarrow R = \frac{- (V b - m)}{5 a b}$

$\Rightarrow R = \frac{- V b + m}{5 a b}$

$\Rightarrow R = \frac{m - V b}{5 a b}$

$V = m (\frac{1}{b} - \frac{5 a R}{m})$

$\Rightarrow V b - m = - 5 a b R$

$\Rightarrow V b + 5 a b R = m$

$\Rightarrow b (V + 5 a R) = m$

$\Rightarrow b = \frac{m}{V + 5 a R}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\Rightarrow \begin{aligned} \frac{1}{a} (a b c) & = (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) (a b c) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} b c & = a c + a b \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} b c - a c & = a b \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow c (b - a) & = a b \end{aligned}$

$\Rightarrow c = \frac{a b}{(b - a)}$

$y = \frac{4}{5 x - 9}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y (5 x - 9) & = 4 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x y - 9 y & = 4 \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 5 x y & = 9 y + 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow x & = \frac{9 y + 4}{5 y} \end{aligned}$

$y = \frac{4 - 3 x}{1 + 8 x}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y (1 + 8 x) & = 4 - 3 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y + 8 x y & = 4 - 3 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 8 x y + 3 x & = 4 - y \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow x (8 y + 3) & = 4 - y \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} x & = \frac{4 - y}{8 y + 3} \end{aligned}$

$E = 3 v (4 - \frac{2}{r})$

$\Rightarrow E = 12 v - \frac{6 v}{r}$

$\Rightarrow E r = 12 v r - 6 v$

$\begin{aligned} \Rightarrow E r - 12 v r & = - 6 v \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} (E - 12 v) r & = - 6 v \end{aligned}$

$\Rightarrow r = \frac{- 6 v}{E - 12 v}$

$Q = \frac{6 h}{7 s} + 4 (1 - h)$

$\begin{aligned} \Rightarrow (Q) (7 s) & = 7 s (\frac{6 h}{7 s} + 4 (1 - h)) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 7 s Q & = 6 h + 28 s (1 - h) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 7 s Q - 28 s (1 - h) & = 6 h \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} [7 Q - 28 (1 - h)] s & = 6 h \end{aligned}$

$\Rightarrow s = \frac{6 h}{7 Q - 28 (1 - h)}$

$Q = \frac{6 h}{7 s} + 4 (1 - h)$

$\begin{aligned} \Rightarrow (Q) (7 s) & = 7 s (\frac{6 h}{7 s} + 4 (1 - h)) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 s Q & = 6 h + 28 s (1 - h) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 7 s Q & = 6 h + 28 s - 28 s h \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 s Q - 28 s & = 6 h - 28 s h \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 7 s Q - 28 s & = (6 - 28 s) h \end{aligned}$

$\Rightarrow h = \frac{7 s Q - 28 s}{6 - 28 s}$

$A - \frac{1 - 2 t}{4 p} = \frac{4 + 3 t}{5 p}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 20 p (A - \frac{1 - 2 t}{4 p}) & = 20 p (\frac{4 + 3 t}{5 p}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 20 A p - 5 (1 - 2 t) & = 4 (4 + 3 t) \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} 20 A p - 5 + 10 t & = 16 + 12 t \end{aligned}$

$\Rightarrow 20 A p - 21 = 2 t$

$\Rightarrow t = \frac{20 A p - 21}{2}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

تعداد دسته جواب های صحیح و مثبت $(m, n)$ در معادله زیر کدام گزینه است؟

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{m n} = \frac{1}{4}$

دو دسته جواب
چهار دسته جواب
شش دسته جواب
هشت دسته جواب

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

المپیاد ریاضی

مجموع ارقام ریشه معادله زیر کدام گزینه است؟

$\frac{x - 2}{2023} + \frac{x}{2024} + \frac{x + 2}{2025} = 6$

$16$
$17$
$18$
19

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

معادلات یک مجهولی درجه اول

18,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه اول

معادلات یک مجهولی درجه اول

مقدمه

حل معادلات یک مجهولی درجه اول

حل معادلات گویای درجه اول

بحث در معادلات یک مجهولی درجه اول

معادلات با بیش از یک متغیر

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟