سرفصل‌های این مبحث

استنتاج گزاره

استنتاج گزاره و انواع آن

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: استنتاج گزاره
امتیاز:
بازدید: 63 مرتبه

سراسر ریاضیات مملو از نتیجه‌گیری‌هاست، طبیعی است که در ریاضیات به‌دنبال معیارهایی می‌گردیم که درستی یا نادرستی نتیجه‌گیری‌ها را به‌وسیله آنها محک بزنیم.

هدف در این بخش آن است که معلوم کنیم در چه صورت یک نتیجه‌گیری معتبر است.

استنتاج به معنی نتیجه‌گیری است و آن بدین معناست که از چند گزاره مفروض مانند pn,...,p1 و با استفاده از قوانین منطق بتوان گزاره دیگری مانند q را نتیجه گرفت.

هر بحث، عبارت است از نتیجه‌گیری گزاره‌ای مانند q از گزاره‌های معینی مانند pn,...,p1 .

گزاره‌های pn,...,p1 را مقدمات یا مفروضات و گزاره q را نتیجه استنتاج گویند.  

p1&p2pn  q¯

چنین استنتاجی را به‌صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

p1  ,  p2  ,  .....  ,  pnq

نکته

استنتاج p1  ,  p2  ,  .....  ,  pnq معتبر است اگر و تنها اگر گزاره زیر همیشه درست باشد:

p1p2.....pnq

قوانین استنتاج گزاره

عملا برای اثبات معتبر بودن یک گزاره، نخست فهرستی از گزاره‌های همیشه درست را به فرم استنتاجی نوشته و هر بحث داده شده را با توجه به این قوانین بررسی می کنند.

این قوانین عبارتند از:

  • قانون انتزاع
  • قانون نقیض انتزاع
  • قانون رفع مولفه
  • قانون قیاس (تعدی ترکیبات شرطی)
  • قانون ادخال فاصل
  • قانون حذف (اسقاط) عاطف

قانون انتزاع

استنتاج  زیر معتبر است و آن‌را قانون انتزاع گویند:

pq&p       q¯

نکته

گزاره pqpq یک گزاره همیشه درست است:

pqpq~pqpq~~pqpq~~ppqpq~Fpqq~pqq~p~qq~p~qq~pTT

قانون نقیض انتزاع

استنتاج  زیر معتبر است و آن‌را قانون نقیض انتزاع گویند:

pq&~q       ~p¯

نکته

گزاره pq~q~p یک گزاره همیشه درست است.

اگر به‌جای pq عکس نقیض آن یعنی ~q~pرا قرار دهیم، استنتاج زیر بنابر قانون انتزاع معتبر است:

~q~p&~q           ~p¯

قانون رفع مولفه

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون رفع مولفه گویند:

pq&~pq¯

نکته

گزاره pq~pq یک گزاره همیشه درست است. 

pq~pqp~pq~pqF~pqq~pqq~~pqqp~qqp~qqpTT

به‌تعبیر دیگر:

استنتاج معتبر است زیرا با توجه به هم‌ارزی pq~pq داریم:

~pq&~p        q¯

قانون قیاس (تعدی ترکیبات شرطی)

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون قیاس مولفه گویند:

pq&qr  pr¯

نکته

گزاره pqqrpr یک گزاره همیشه درست است:

pqqrpr~pq~qr~pr~~pq~qr~pr~~pq~~qr~prp~qq~r~prp~q~pq~rrp~p~q~pqr~rrT~q~pqrT~q~pqr~qq~prT~prT

قانون ادخال فاصل

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون ادخال فاصل گویند:

       ppq¯

نکته

گزاره ppq  یک گزاره همیشه درست است:

ppq~ppq~ppqTqT

قانون حذف (اسقاط) عاطف

استنتاج‌های زیر معتبر است و آن‌را قانون حذف عاطف گویند:

pq            ¯qpq            ¯p

نکته

گزاره pqq همیشه درست است. 

pqq~pqq~p~qq~p~qq~pTT

گزاره pqp همیشه درست است. 

pqp~pqp~p~qp~pp~qT~qT

دو استنتاج معادل 

دو استنتاج معادل هستند هرگاه گزاره‌های شرطی وابسته به آن دو استنتاج، هم‌ارز باشند.

تمرین

نشان دهید دو استنتاج زیر معادلند:

p&~r  ~q¯                  p&q  r¯

گزاره‌های شرطی وابسته به این دو استنتاج به‌ترتیب عبارتند از:

p~r~qpqr


نشان می‌دهیم این دو گزاره هم‌ارزند:

p~r~qp~r~qpqrpqr

قضیه

دو استنتاج زیر معادلند:

p1  ,  p2  ,  ......  ,  pnpqp1  ,  p2  ,  ......  ,  pn  ,  pq

اثبات

گزاره‌های شرطی این دو استنتاج به‌ترتیب عبارتند از:

p1p2.....pnpqp1p2.....pnpq

این دو گزاره بنابر قانون عطف مقدماتی در جبر گزاره‌ها هم‌ارزند، بنابراین نتیجه می‌گیریم این دو استنتاج معادلند.

نکته

به‌جای بررسی استنتاج p1  ,  p2  ,  ......  ,  pnpq می‌توانیم استنتاج زیر را بررسی کنیم: 

p1  ,  p2  ,  ......  ,  pn  ,  pq

تمرین

نشان ‌دهید استنتاج‌های زیر معتبر است:

pq  ,qrpr

کافی است استنتاج زیر را بررسی کنیم:

pq  ,  qr  ,  pr

pqqrp    pqqrp  prpr

pqprqr

کافی است استنتاج زیر را بررسی کنیم:

pq  ,  prqr

pqpr     pq~rp~rqqr

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

استنتاج گزاره و انواع آن

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید