سرفصل‌های این مبحث

استنتاج گزاره

استنتاج گزاره و انواع آن

استنتاج گزاره و انواع آن

آخرین ویرایش: 09 اسفند 1402

دسته‌بندی: استنتاج گزاره

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

سراسر ریاضیات مملو از نتیجه‌گیری‌هاست، طبیعی است که در ریاضیات به‌دنبال معیارهایی می‌گردیم که درستی یا نادرستی نتیجه‌گیری‌ها را به‌وسیله آنها محک بزنیم.

هدف در این بخش آن است که معلوم کنیم در چه صورت یک نتیجه‌گیری معتبر است.

استنتاج به معنی نتیجه‌گیری است و آن بدین معناست که از چند گزاره مفروض مانند $p_{n}, ..., p_{1}$ و با استفاده از قوانین منطق بتوان گزاره دیگری مانند $q$ را نتیجه گرفت.

هر بحث، عبارت است از نتیجه‌گیری گزاره‌ای مانند $q$ از گزاره‌های معینی مانند $p_{n}, ..., p_{1}$ .

گزاره‌های $p_{n}, ..., p_{1}$ را مقدمات یا مفروضات و گزاره $q$ را نتیجه استنتاج گویند.

$\begin{array}{l} \begin{matrix} p_{1} & & \\ p_{2} \\ ⋮ \\ p_{n} \end{matrix} \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ q \end{array}} \end{array}$

چنین استنتاجی را به‌صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

$p_{1}, p_{2}, ....., p_{n} ⊢ q$

نکته

استنتاج $p_{1}, p_{2}, ....., p_{n} ⊢ q$ معتبر است اگر و تنها اگر گزاره زیر همیشه درست باشد:

$(p_{1} \land p_{2} \land ..... \land p_{n}) \Rightarrow q$

قوانین استنتاج گزاره

عملا برای اثبات معتبر بودن یک گزاره، نخست فهرستی از گزاره‌های همیشه درست را به فرم استنتاجی نوشته و هر بحث داده شده را با توجه به این قوانین بررسی می کنند.

این قوانین عبارتند از:

قانون انتزاع
قانون نقیض انتزاع
قانون رفع مولفه
قانون قیاس (تعدی ترکیبات شرطی)
قانون ادخال فاصل
قانون حذف (اسقاط) عاطف

قانون انتزاع

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون انتزاع گویند:

$\begin{matrix} p \Rightarrow q & & \\ p \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ q \end{array}} \end{matrix}$

نکته

گزاره $[(p \Rightarrow q) \land p] \Rightarrow q$ یک گزاره همیشه درست است:

$\begin{array}{l} [(p \Rightarrow q) \land p] \Rightarrow q \\ \equiv ~ [(p \Rightarrow q) \land p] \lor q \\ \equiv ~ [(~ p \lor q) \land p] \lor q \\ \equiv ~ [(~ p \land p) \lor (q \land p)] \lor q \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv ~ [F \lor (p \land q)] \lor q \\ \equiv ~ (p \land q) \lor q \\ \equiv ~ p \lor ~ q \lor q \\ \equiv ~ p \lor (~ q \lor q) \\ \equiv ~ p \lor T \\ \equiv T \end{array}$

قانون نقیض انتزاع

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون نقیض انتزاع گویند:

$\begin{matrix} p \Rightarrow q & & \\ ~ q \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ ~ p \end{array}} \end{matrix}$

نکته

گزاره $[(p \Rightarrow q) \land ~ q] \Rightarrow ~ p$ یک گزاره همیشه درست است.

اگر به‌جای $p \Rightarrow q$ عکس نقیض آن یعنی $~ q \Rightarrow ~ p$ را قرار دهیم، استنتاج زیر بنابر قانون انتزاع معتبر است:

$\begin{matrix} ~ q \Rightarrow ~ p & & \\ ~ q \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ ~ p \end{array}} \end{matrix}$

قانون رفع مولفه

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون رفع مولفه گویند:

$\begin{matrix} p & \lor & q & & \\ ~ p \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ q \end{array}} \end{matrix}$

نکته

گزاره $[(p \lor q) \land ~ p] \Rightarrow q$ یک گزاره همیشه درست است.

$\begin{array}{l} [(p \lor q) \land ~ p] \Rightarrow q \end{array}$

$\equiv [(p \land ~ p) \lor (q \land ~ p)] \Rightarrow q$

$\begin{array}{l} \equiv F \lor (~ p \land q) \Rightarrow q \\ \equiv (~ p \land q) \Rightarrow q \\ \equiv ~ (~ p \land q) \lor q \\ \equiv p \lor ~ q \lor q \\ \equiv p \lor (~ q \lor q) \\ \equiv p \lor T \\ \equiv T \end{array}$

به‌تعبیر دیگر:

استنتاج معتبر است زیرا با توجه به هم‌ارزی $p \lor q \equiv ~ p \Rightarrow q$ داریم:

$\begin{matrix} ~ p \Rightarrow q & & \\ ~ p \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ q \end{array}} \end{matrix}$

قانون قیاس (تعدی ترکیبات شرطی)

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون قیاس مولفه گویند:

$\begin{matrix} p \Rightarrow q & & \\ q \Rightarrow r \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ p \Rightarrow r \end{array}} \end{matrix}$

نکته

گزاره $[(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)$ یک گزاره همیشه درست است:

$\begin{array}{l} [(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv [(~ p \lor q) \land (~ q \lor r)] \Rightarrow (~ p \lor r) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv ~ [(~ p \lor q) \land (~ q \lor r)] \lor (~ p \lor r) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv ~ (~ p \lor q) \lor ~ (~ q \lor r) \lor (~ p \lor r) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv (p \land ~ q) \lor (q \land ~ r) \lor (~ p \lor r) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv [(p \land ~ q) \lor ~ p] \lor [(q \land ~ r) \lor r] \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv [(p \lor ~ p) \land (~ q \lor ~ p)] \lor [(q \lor r) \land (~ r \lor r)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv [T \land (~ q \lor ~ p)] \lor [(q \lor r) \land T] \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv (~ q \lor ~ p) \lor (q \lor r) \\ \equiv (~ q \lor q) \lor (~ p \lor r) \\ \equiv T \lor (~ p \lor r) \\ \equiv T \end{array}$

قانون ادخال فاصل

استنتاج زیر معتبر است و آن‌را قانون ادخال فاصل گویند:

$\begin{array}{l} p \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ p \lor q \end{array}} \end{array}$

نکته

گزاره $p \Rightarrow (p \lor q)$ یک گزاره همیشه درست است:

$\begin{array}{l} p \Rightarrow (p \lor q) \\ \equiv ~ p \lor (p \lor q) \\ \equiv (~ p \lor p) \lor q \\ \equiv T \lor q \\ \equiv T \end{array}$

قانون حذف (اسقاط) عاطف

استنتاج‌های زیر معتبر است و آن‌را قانون حذف عاطف گویند:

$\begin{array}{l} p \land q \\ \bar{} \\ ∴ q \\ p \land q \\ \bar{} \\ ∴ p \end{array}$

نکته

گزاره $(p \land q) \Rightarrow q$ همیشه درست است.

$\begin{array}{l} (p \land q) \Rightarrow q \\ \equiv ~ (p \land q) \lor q \\ \equiv (~ p \lor ~ q) \lor q \\ \equiv ~ p \lor (~ q \lor q) \\ \equiv ~ p \lor T \\ \equiv T \end{array}$

گزاره $(p \land q) \Rightarrow p$ همیشه درست است.

$\begin{array}{l} (p \land q) \Rightarrow p \\ \equiv ~ (p \land q) \lor p \\ \equiv (~ p \lor ~ q) \lor p \\ \equiv (~ p \lor p) \lor ~ q \\ \equiv T \lor ~ q \\ \equiv T \end{array}$

دو استنتاج معادل

دو استنتاج معادل هستند هرگاه گزاره‌های شرطی وابسته به آن دو استنتاج، هم‌ارز باشند.

تمرین

نشان دهید دو استنتاج زیر معادلند:

$\begin{matrix} p & & \\ ~ r \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ ~ q \end{array}} \end{matrix} \begin{matrix} p & & \\ q \\ \bar{\begin{array}{l} ∴ r \end{array}} \end{matrix}$

گزاره‌های شرطی وابسته به این دو استنتاج به‌ترتیب عبارتند از:

$\{\begin{cases} (p \land ~ r) \Rightarrow ~ q \\ (p \land q) \Rightarrow r \end{cases}$

نشان می‌دهیم این دو گزاره هم‌ارزند:

$\begin{array}{l} (p \land ~ r) \Rightarrow ~ q \\ \equiv p \Rightarrow (~ r \Rightarrow ~ q) \\ \equiv p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \\ \equiv (p \land q) \Rightarrow r \end{array}$

قضیه

دو استنتاج زیر معادلند:

$\begin{array}{l} p_{1}, p_{2}, ......, p_{n} ⊢ (p \Rightarrow q) \\ p_{1}, p_{2}, ......, p_{n}, p ⊢ q \end{array}$

اثبات

گزاره‌های شرطی این دو استنتاج به‌ترتیب عبارتند از:

$\begin{array}{l} (p_{1} \land p_{2} \land ..... \land p_{n}) \Rightarrow (p \Rightarrow q) \end{array}$

$(p_{1} \land p_{2} \land ..... \land p_{n} \land p) \Rightarrow q$

این دو گزاره بنابر قانون عطف مقدماتی در جبر گزاره‌ها هم‌ارزند، بنابراین نتیجه می‌گیریم این دو استنتاج معادلند.

نکته

به‌جای بررسی استنتاج $p_{1}, p_{2}, ......, p_{n} ⊢ (p \Rightarrow q)$ می‌توانیم استنتاج زیر را بررسی کنیم:

$p_{1}, p_{2}, ......, p_{n}, p ⊢ q$

تمرین

نشان ‌دهید استنتاج‌های زیر معتبر است:

$(p \Rightarrow q), (q \Rightarrow r) ⊢ (p \Rightarrow r)$

کافی است استنتاج زیر را بررسی کنیم:

$(p \Rightarrow q), (q \Rightarrow r), p ⊢ r$

$\{\begin{cases} p \Rightarrow q \\ q \Rightarrow r \\ p \end{cases} \equiv \{\begin{cases} p \Rightarrow q \\ q \Rightarrow r \\ p \end{cases} \equiv \{\begin{cases} p \Rightarrow r \\ p \end{cases} \equiv r$

$(p \Rightarrow q) ⊢ (p \lor r) \Rightarrow (q \lor r)$

کافی است استنتاج زیر را بررسی کنیم:

$(p \Rightarrow q), (p \lor r) ⊢ (q \lor r)$

$\{\begin{cases} p \Rightarrow q \\ p \lor r \end{cases} \equiv \{\begin{cases} p \Rightarrow q \\ ~ r \Rightarrow p \end{cases} \equiv ~ r \Rightarrow q \equiv q \lor r$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

استنتاج گزاره و انواع آن

14,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

استنتاج گزاره

استنتاج گزاره و انواع آن

قوانین استنتاج گزاره

قانون انتزاع

قانون نقیض انتزاع

قانون رفع مولفه

قانون قیاس (تعدی ترکیبات شرطی)

قانون ادخال فاصل

قانون حذف (اسقاط) عاطف

دو استنتاج معادل

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟