سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

آخرین ویرایش: 15 خرداد 1404

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

مقدمه

نظریه اعداد شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه اعداد صحیح $(Z)$ و در حالت خاص، اعداد طبیعی $(N)$ در هم نهشتی ها، کاربردهای بسیاری در دانش کامپیوتر، از جمله حساب با اعداد صحیح بزرگ، رمز نگاری فایل حافظه کامپیوتری و ایجاد اعداد تصادفی دارد.

وقتی با اعداد صحیح سروکار داریم، نمی‌توانیم نسبت به الگوها و خواص بسیاری که این اعداد از خودشان نشان می‌دهند، بی‌تفاوت باشیم.

مجموعه اعداد صحیح $(Z)$ به‌صورت زیر، معرفی می‌شود:

$Z = \{\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots\}$

مجموعه اعداد طبیعی $(N)$ به‌صورت زیر، معرفی می‌شود:

$N = \{1, 2, 3, ...\}$

هم‌چنین هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از $1$ مانند $P$ که هیچ مقسم علیه مثبتی جز $P$ و $1$ نداشته باشد عدد اول نامیده می‌شود و مجموعه اعداد اول را با $P$ نمایش می‌دهیم:

$P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$

یادآوری

اگر $S \subseteq Z$ ناتهی و از پایین (بالا) کراندار باشد، آن‌گاه $S$ عضو ابتدا (عضو انتها) دارد. اصل استقرای ریاضی معادل خوش ترتیب بودن $Z$ است.

الگوریتم تقسیم

قضیه

فرض کنید $a$ و $b$ دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که $b \neq 0$ در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند $q$ و $r$ می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{} \\ r \end{array}〉 a = b q + r; (0 \leq r < |b|)$

$a$ را مقسم می‌نامیم.

$b$ را مقسم علیه می‌نامیم.

$q$ را خارج قسمت می‌نامیم.

$r$ را باقیمانده می‌نامیم.

اثبات

حالت اول- اگر $b > 0$ باشد.

مجموعه زیر را در نظر می‌گیریم:

$S = \{a - x b |x \in z, a - x b \geq 0\}$

این مجموعه ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم $x = - |a|$ ، بنابراین خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} a - x b = a - (- |a|) b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - (- |a|) b = a + |a| b; a + |a| b \geq a + |a| \end{array}$

$\Rightarrow a - (- |a|) b \geq 0$

بنابراین $S$ زیرمجموعه ناتهی از اعداد طبیعی است و بنابر اصل خوش ترتیبی دارای عضو ابتدایی است که آن را $r$ می‌نامیم.

چون $r \in S$ می‌باشد، پس عدد صحیحی مانند $q$ وجود دارد به‌طوری‌که:

$r = a - b q; r \geq 0$

حال ادعا می‌کنیم که $r < b$ است زیرا در غیر این‌صورت طبق برهان خلف بایستی $r \geq b$ باشد:

$\begin{array}{l} r \geq b \\ \Rightarrow r - b \geq 0; r = a - b q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r - b = (a - b q) - b \geq 0 \\ \Rightarrow r - b = a - b (q + 1) \geq 0 \\ \Rightarrow r - b \in S \end{array}$

با توجه به‌فرض که $r \geq b$ اما $r - b > r$ یعنی $r - b \notin S$ که یک تناقض است، بنابراین:

$0 \leq r < b$

حال نشان می‌دهیم $q$ و $r$ منحصر به فرد است، برای این کار فرض کنیم $a$ به دو صورت زیر نوشته شود:

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ a = b q^{'} + r^{'} \end{cases}$

طرفین سمت راست دو تساوی فوق با هم برابر هستند:

$b q + r = b q^{'} + r^{'}$

$\Rightarrow r^{'} - r = b q - b q^{'}$

$\Rightarrow r^{'} - r = b (q - q^{'})$

$\Rightarrow |r^{'} - r| = b |q - q^{'}|$

$\{\begin{cases} 0 \leq r^{'} < b \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

$|r^{'} - r| < b$

$\Rightarrow b |q - q^{'}| < b$

$\Rightarrow |q - q^{'}| < 1$

$\Rightarrow |q - q^{'}| = 0$

حالت دوم- اگر $b < 0$ باشد.

در این حالت $|b| = - b > 0$ لذا به‌حالت اول بر می‌گردیم.

تمرین

بر اساس الگوریتم تقسیم اعداد زیر را بر هم تقسیم کنید:

$25 \div 7$

$\{\begin{array}{l} 25 \underset{3}{7} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} 4 \end{array}} \end{array}〉 25 = (7) (3) + 4; (0 \leq 4 < |7|)$

$(- 25) \div 7$

$\{\begin{array}{l} - 25 \underset{- 3}{7} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} - 4 \end{array}} \end{array}〉 - 25 = (7) (- 3) + (- 4)$

در تقسیم فوق نمی‌توانیم $(- 4)$ را به‌عنوان باقیمانده معرفی کنیم زیرا طبق قضیه تقسیم باقیمانده باید نامنفی و کوچک‌تر از مقسوم علیه باشد.

در این‌صورت با اضافه و کم کردن مضارب مثبتی از مقسوم علیه، شرایط قضیه تقسیم را برقرار می‌کنیم:

$\begin{array}{l} - 25 = (7) (- 3) - 4 \\ \Rightarrow - 25 = (7) (- 3) - 4 - 7 + 7 \\ \Rightarrow - 25 = (7) (- 3) - 7 + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 25 = 7 (- 3 - 1) + 3; q = (- 3 - 1) \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 25 = 7 (q) + 3 \end{matrix}$

در تساوی جدید باقیمانده را به‌صورت $r = 3$ معرفی می‌کنیم.

تمرین

اگر باقیمانده تقسیم اعداد $m$ و $n$ بر $17$ به‌ترتیب $5$ و $3$ باشد، باقیمانده تقسیم عدد زیر را بر $17$ را به‌دست آورید.

$(2 m - 5 n)$

$\begin{matrix} m = 17 q_{1} + 5 \Rightarrow 2 m = 2 (17 q_{1} + 5) \Rightarrow 2 m = 2 \times 17 q_{1} + 10 \end{matrix}$

$n = 17 q_{2} + 3 \Rightarrow 5 n = 5 (17 q_{2} + 3) \Rightarrow 5 n = 5 \times 17 q_{2} + 15$

$\begin{array}{l} 2 m - 5 n = (2 \times 17 q_{1} + 10) - (5 \times 17 q_{2} + 15) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2}) - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2}) - 5 - 17 + 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (2 q_{1} - 5 q_{2} - 1) + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 m - 5 n = 17 (q) + 12 \\ \Rightarrow r = 12 \end{array}$

تمرین

اگر باقیمانده تقسیم عدد $a$ بر دو عدد $7, 8$ به‌ترتیب $7, 5$ باشد:

باقیمانده تقسیم عدد $a$ را بر $56$ بیابید.

$\{\begin{cases} a = 7 q_{1} + 5 \Rightarrow 8 \times a = 8 \times (7 q_{1} + 5) \Rightarrow 8 a = 56 q_{1} + 40 \\ a = 8 q_{2} + 7 \Rightarrow 7 \times a = 7 \times (8 q_{2} + 7) \Rightarrow 7 a = 56 q_{2} + 49 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 8 a - 7 a = (56 q_{1} + 40) - (56 q_{2} + 49) \\ \Rightarrow a = 56 q_{1} - 56 q_{2} - 9 \\ \Rightarrow a = 56 q_{1} - 56 q_{2} + (- 56 + 47) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = (56 q_{1} - 56 q_{2} - 56) + 47 \\ \Rightarrow a = 56 (q_{1} - q_{2} - 1) + 47 \\ \Rightarrow a = 56 (q) + 47 \\ \Rightarrow r = 47 \end{array}$

تمرین

بزرگ‌ترين عدد طبيعی $a$ را بيابيد كه چون بر $11$ تقسيم كنيم، باقيمانده تقسيم، نصف خارج قسمت شود.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{11} \\ ⋮ \\ \bar{r = \frac{q}{2}} \end{array}〉 a = 11 q + r = 11 q + \frac{q}{2}; (0 \leq r < |11|)$

$\begin{array}{l} a = 11 q + \frac{q}{2}; 0 \leq r < b \\ 0 \leq r < b \Rightarrow \frac{q}{2} < 11 \Rightarrow q < 22 \end{array}$

$\max (q) = 21 \Rightarrow a = 11 \times 21 + \frac{21}{2} \notin N$

$\max (q) = 20 \Rightarrow a = 11 \times 20 + \frac{20}{2} = 230 \in N$

بزرگ‌ترين عدد طبيعی را بيابيد، به‌طوری كه باقيمانده تقسيم آن عدد بر $167$ ، دو برابر مكعب خارج قسمت باشد.

اگر عدد مورد نظر را $a$ بناميم، طبق داده های مساله و قضيه تقسيم داريم:

$a = 167 q + r = 167 q + (2 q^{3}); 0 \leq r < 167$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 167; r = 2 q^{3} \\ \Rightarrow 0 \leq 2 q^{3} < 167 \\ \Rightarrow 0 \leq q^{3} < 83.5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 \leq q^{3} \leq 83 \\ \Rightarrow 0 \leq q \leq 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} r = 2 q^{3} : \end{array}$

$\begin{matrix} q = 0 \Rightarrow r = 0 \Rightarrow a = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 1 \Rightarrow r = 2 \Rightarrow a = 167 \times 1 + 2 = 169 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 2 \Rightarrow r = 16 \Rightarrow a = 167 \times 2 + 16 = 350 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 3 \Rightarrow r = 54 \Rightarrow a = 167 \times 3 + 54 = 555 \end{matrix}$

$\begin{matrix} q = 4 \Rightarrow r = 128 \Rightarrow a = 167 \times 4 + 128 = 796 \end{matrix}$

$\max (a) = 796$

تمرین

خارج قسمت و باقیمانده را در الگوریتم تقسیم برای هریک از اعداد زیر، وقتی که بر $17$ تقسیم شوند به‌دست آورید؟

$a = 100$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow 100 = 17 q + r \\ \Rightarrow 100 = 17 (5) + 15 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} q = 5 \\ r = 15 \end{cases} \end{array}$

$a = - 44$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow - 44 = 17 q + r \\ \Rightarrow - 44 = 17 (- 3) + 7 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} q = - 3 \\ r = 7 \end{cases} \end{array}$

تمرین

عدد زوج $a$ را بر $23$ تقسیم می‌کنیم، باقیمانده $17$ می‌شود.

باقیمانده $\frac{a}{2}$ تقسیم $23$ بر را بیابید.

$a = 23 q + 17; \{\begin{cases} a = 2 k \\ 23 q = 2 k + 1 \end{cases}$

با توجه به مفهوم فوق، $23 q$ همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:

$\begin{array}{l} a = 23 (2 k + 1) + 17 \\ \Rightarrow a = 46 k + 23 + 17 \\ \Rightarrow a = 46 k + 40 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{46 k}{2} + \frac{40}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 23 k + 20 \\ \Rightarrow r = 20 \end{array}$

تمرین

در صورتی‌که $a$ عددی صحیح زوج بوده و باقی مانده تقسیم آن بر $23$ برابر $13$ باشد.

ثابت کنید باقیمانده تقسیم عدد $\frac{a}{2}$ بر $23$ برابر $18$ می‌باشد؟

$a = 23 q + 13; \{\begin{cases} a = 2 k \\ 23 q = 2 k + 1 \end{cases}$

با توجه به مفهوم فوق، $23 q$ همواره فرد است، زیر مجموع دو عدد فرد همواره زوج است:

$\begin{array}{l} a = 23 (2 k + 1) + 13 \\ \Rightarrow a = 23 (2 k) + 23 + 13 \\ \Rightarrow a = 2 (23 k) + 36 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{2 (23 k)}{2} + \frac{36}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 23 k + 18 \\ \Rightarrow r = 18 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم $14$ برابر باقی مانده است و باقی مانده حداکثر مقدار خود را دارا می‌باشد.

اجزای این تقسیم را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} a = 14 r \\ \max (r) = b - 1; 0 \leq r < b \end{cases}$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow 14 r = b q + (b - 1) \\ \Rightarrow 14 (b - 1) = b q + b - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 13 b - b q = 13 \\ \Rightarrow (13 - q) \times b = 1 \times 13 (I) \end{array}$

با توجه به رابطه $(I)$ و این که $13$ عددی اول بوده و تجزیه آن منحصر به‌فرد می‌باشد، داریم:

یکی از دو عامل سمت چپ باید مساوی با $1$ و دیگری باید $13$ باشد:

$\begin{array}{l} (13 - q) \times b = 1 \times 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι) \{\begin{cases} (13 - q) = 13 \Rightarrow q = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} q = 0 \\ a = b q + r \end{cases}〉 a = r \\ b = 1 \end{cases} \end{array}$

$Ι Ι Ι) \{\begin{cases} (13 - q) = 1 \Rightarrow q = 12 \\ b = 13 \end{cases}$

$\begin{matrix} \{\begin{cases} r = b - 1 \Rightarrow r = 13 - 1 \Rightarrow r = 12 \\ a = 14 r \Rightarrow a = 14 \times 12 \Rightarrow a = 168 \end{cases} \end{matrix}$

در حالت $(Ι Ι)$ با تساوی $a = r$ می‌رسیم که با تساوی $a = 14 r$ در تناقض است.

تمرین

در یک تقسیم اگر $48$ واحد از مقسوم کم کنیم، $2$ واحد از خارج قسمت کم شده و به باقی مانده $10$ واحد اضافه شود.

مقسوم علیه در این تقسیم چه عدد است؟

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a - 48 = b (q - 2) + (r + 10) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 48 = (b q + r) + 10 - 2 b; a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 48 = (a) + 10 - 2 b \\ \Rightarrow - 58 = - 2 b \\ \Rightarrow b = 29 \end{array}$

تمرین

اگر خارج قسمت های دو عدد $a, b$ بر عدد طبیعی $c$ برابر باشد و باقی مانده ها یکی نباشد:

ثابت کنید $(a - b)$ همواره از $c$ کم تر است.

$\begin{array}{l} a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} (Ι) : a = c q + r_{1}; 0 \leq r_{1} < c \end{array}$

$(Ι Ι) : b = c q + r_{2}; 0 \leq r_{2} < c$

اگر فرض کنیم $r_{2} < r_{1}$ در این‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} (Ι) - (Ι Ι) : \end{array}$

$\begin{array}{l} a - b = (c q + r_{1}) - (c q + r_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - b = r_{1} - r_{2}; \{\begin{cases} r_{2} < r_{1} \\ 0 < r_{1} - r_{2} < c \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow a - b < c$

تمرین

باقی مانده تقسیم $a, b$ بر $23$ به‌ترتیب $19, 18$ می‌باشد.

باقی مانده تقسیم $a - 2 b$ بر $23$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = 23 q_{1} + 18 \end{array}$

$b = 23 q_{2} + 19$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 b = 2 (23 q_{2} + 19) \\ \Rightarrow 2 b = (2 \times 23 q_{2}) + (2 \times 19) \\ \Rightarrow 2 b = 46 q_{2} + 38 \end{array}$

$\begin{array}{l} a - 2 b \\ = (23 q_{1} + 18) - (46 q_{2} + 38) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 (q_{1} - 2 q_{2}) - 20; q_{1} - 2 q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 q - 20 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 23 q - 23 + 3 \\ = 23 (q - 1) + 3; q - 1 = q^{'} \\ = 23 q^{'} + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f a - 2 b = 23 q^{'} + 3 \Rightarrow r = 3 \end{array}$

تمرین

باقی مانده تقسیم $b, a$ بر $27$ به‌ترتیب $13, 12$ می‌باشد.

باقی مانده تقسیم $(2 a - 3 b)$ بر $27$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = 27 q_{1} + 12 \Rightarrow 2 a = 2 (27 q_{1} + 12) = 2 \times 27 q_{1} + 24 \end{array}$

$b = 27 q_{2} + 13 \Rightarrow 3 b = 3 (27 q_{2} + 13) = 3 \times 27 q_{2} + 39$

$\begin{array}{l} 2 a - 3 b \end{array}$

$\begin{array}{l} = (2 \times 27 q_{1} + 24) - (3 \times 27 q_{2} + 39) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 (2 q_{1} - 3 q_{2}) - 15; 2 q_{1} - 3 q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 q - 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 27 q - 27 + 12 \\ = 27 (q - 1) + 12; q - 1 = q^{'} \\ = 27 q^{'} + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 2 a - 3 b = 27 q^{'} + 12 \Rightarrow r = 12 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم علیه $37$ و باقی مانده $12$ می‌باشد.

اگر به مقسوم $179$ واحد اضافه کنیم، باقی مانده چه تغییری می‌کند؟

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = 37 q + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q + 12 + 179 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q + 191 \\ \Rightarrow 179 + a = 37 q + (185 + 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = (37 q + 185) + 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 (q + 5) + 6; q + 5 = q^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 179 + a = 37 q^{'} + 6 \end{array}$

باقی مانده جدید $6$ واحد کم شده است.

تمرین

اگر عدد زوج $a$ بر $21$ تقسیم شود، باقی مانده برابر $13$ خواهد شد.

باقی مانده تقسیم $\frac{a}{2}$ بر $21$ را بیابید.

$a = b q + r$

$a$ زوج است و داریم:

$a = 21 q + 13$

پس باید $q$ فرد باشد تا سمت چپ تساوی زوج شود:

$\begin{array}{l} a = 21 q + 13 \\ \Rightarrow a = 21 (2 k + 1) + 13 \\ \Rightarrow a = 42 k + 34 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{42 k}{2} + \frac{34}{2} \\ \Rightarrow \frac{a}{2} = 21 k + 17 \\ \Rightarrow r = 17 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، مقسوم $900$ واحد بیش از مقسوم علیه و باقی مانده $87$ می‌باشد.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r; \{\begin{cases} a = b + 900 \\ r = 87 \end{cases} \\ \Rightarrow (b + 900) = b q + 87 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 813 = b (q - 1) \\ \Rightarrow 271 \times 3 = b (q - 1) \\ \Rightarrow \{\begin{cases} b = 271 \\ q - 1 = 3 \Rightarrow q = 4 \end{cases} \end{array}$

تمرین

باقی مانده تقسیم عدد طبیعی $a$ بر $29$ ، برابر $12$ است ، اگر $a + 17$ مضرب $21$ باشد:

رقم وسط کوچک ترین عدد a را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = 29 q + 12; \{\begin{cases} a + 17 = 21 q^{'} \\ a = 21 q^{'} - 17 \end{cases} \\ \Rightarrow (21 q^{'} - 17) = 29 q + 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 21 q^{'} = 29 q + 29 \\ \Rightarrow 21 q^{'} = 29 (q + 1) \\ \Rightarrow \frac{21}{29} = \frac{q + 1}{q^{'}} \end{array}$

چون حداقل مقدار را برای $a$ باید محاسبه کنیم پس داریم:

$\{\begin{cases} q + 1 = 21 \\ q^{'} = 29 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a + 17 = 21 q^{'} \\ \Rightarrow a + 17 = 21 \times 29 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 21 \times 29 - 17 \\ \Rightarrow a = 609 - 17 \\ \Rightarrow a = 592 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، $4$ واحد به مقسوم علیه و $52$ واحد به مقسوم اضافه کردیم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a + 52 = (b + 4) q + r \\ \Rightarrow a + 52 = b q + 4 q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (b q + r) + 4 q; b q + r = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (a) + 4 q \\ \Rightarrow 52 = 4 q \\ \Rightarrow q = 13 \end{array}$

تمرین

در یک تقسیم، $4$ واحد به مقسوم علیه و $52$ واحد به مقسوم اضافه کرده‌ایم و باقی مانده و خارج قسمت تغییر نکرده‌اند.

خارج قسمت را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a + 52 = (b + 4) q + r \\ \Rightarrow a + 52 = b q + 4 q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (b q + r) + 4 q; b q + r = a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 52 = (a) + 4 q \\ \Rightarrow 52 = 4 q \\ \Rightarrow q = 13 \end{array}$

تمرین

اگر باقی مانده تقسیم عددی بر $5, 3$ به‌ترتیب $3, 2$ باشد.

باقی مانده تقسیم این عدد بر $15$ را بیابید.

$\begin{array}{l} a = b q + r \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 q + 2 \Rightarrow 10 a = 30 q + 20 \end{array}$

$a = 5 q^{'} + 3 \Rightarrow 9 a = 45 q^{'} + 27$

توجه شود که دو طرف تساوی های را باید در اعدادی ضرب کنیم که در تفاضل آنها:

اولا) عدد $a$ حاصل شود

ثانیا) در طرف دیگر، مضربی از $15$ ظاهر شود.

$\begin{array}{l} 10 a - 9 a = (30 q + 20) - (45 q^{'} + 27) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 (2 q - 3 q^{'}) - 7; 2 q - 3 q^{'} = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 k - 7 \\ \Rightarrow a = 15 k - 15 + 8 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 (k - 1) + 8; k - 1 = k^{'} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = 15 k^{'} + 8 \\ \Rightarrow r = 8 \end{array}$

تمرین

اگر $a, b$ دو عدد طبیعی بوده و داشته باشیم:

$a^{4} = b^{4} + 65$

مقدار $a$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} a^{4} = b^{4} + 65 \\ \Rightarrow a^{4} - b^{4} = 65 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = 5 \times 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} - b^{2} = 5 \\ a^{2} + b^{2} = 13 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases} \end{array}$

تمرین

عدد فرد $a$ را بر $22$ تقسیم می‌کنیم ، باقی مانده برابر $17$ می‌باشد.

اگر $\frac{a + 1}{2}$ را بر $22$ تقسیم کنیم، باقی مانده را بیابید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 22 q + 17$

چون $a$ عدد فرد می‌باشد لذا $q$ هم می‌تواند فرد و هم می‌تواند زوج باشد، پس داریم:

$\begin{array}{l} Ι) q = 2 k \\ \Rightarrow a = 22 \times 2 k + 17 \\ \Rightarrow a + 1 = 44 k + 17 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 1 = 44 k + 18 \\ \Rightarrow \frac{a + 1}{2} = 22 k + 9 \\ \Rightarrow r = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} Ι Ι) q = 2 k + 1 \\ \Rightarrow a = 22 \times (2 k + 1) + 17 \\ \Rightarrow a + 1 = 44 k + 39 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 1 = 44 k + 40 \\ \Rightarrow \frac{a + 1}{2} = 22 k + 20 \\ \Rightarrow r = 20 \end{array}$

تمرین

بزرگ ترین عدد طبیعی $a$ را بیابید که چون بر $92$ تقسیم کنیم، باقیمانده تقسیم $3$ برابر مجذور خارج قسمت شود.

$a = b q + r \Rightarrow a = 92 q + 3 q^{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < b : \\ 0 \leq 3 q^{2} < 92 \\ \Rightarrow q^{2} < \frac{92}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q^{2} < 30. \bar{6} \\ \Rightarrow q < 5.53 \\ \Rightarrow \max (q) = 5 \end{array}$

$\{\begin{cases} a = 92 q + 3 q^{2} \\ \max (a) = 92 \times 5 + 3 \times 25 = 535 \end{cases}$

کوچک ترین عدد طبیعی $a$ را بیابید که چون بر $7, 5$ تقسیم کنیم، باقی مانده ها به‌ترتیب $4, 2$ شود.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 5 q + 2 \\ a = 7 q^{'} + 4 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a + 3 = 5 q + 5 = 5 (q + 1) = 5 k_{1} \\ a + 3 = 7 q^{'} + 7 = 7 (q^{'} + 1) = 7 k_{2} \end{cases} \end{array}$

$\Rightarrow a + 3 = [5, 7] k$

$[5, 7]$ کوچک ترین مضرب مشترک دو عدد مفروض است.

$\begin{array}{l} \Rightarrow a + 3 = 35 k \\ \Rightarrow a = 35 k - 3; k = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (a) = 35 (1) - 3 \\ \Rightarrow \min (a) = 32 \end{array}$

کوچک ترین عدد چهار رقمی را بیابید چون بر $19, 18, 8$ تقسیم کنیم باقی مانده آن برابر $3$ شود.

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 8 q_{1} + 3 \\ a = 18 q_{2} + 3 \\ a = 19 q_{3} + 3 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} a - 3 = 8 q_{1} \\ a - 3 = 18 q_{2} \\ a - 3 = 19 q_{3} \end{cases} \\ a - 3 = [8, 18, 19] k \end{array}$

$[8, 18, 19]$ کوچک ترین مضرب مشترک سه عدد مفروض است.

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 3 = 1368 k \\ \Rightarrow a = 1368 k + 3; k = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \min (a) = 1368 (1) + 3 \\ \Rightarrow \min (a) = 1371 \end{array}$

تفاضل بزرگ ترین و کوچک ترین اعداد صحیح و مثبتی که چون بر $93$ تقسیم شوند، باقی مانده تقسیم دو برابر مجذور خارج قسمت شود، را بیابید.

$a = b q + r \Rightarrow a = 93 q + (2 q^{2})$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < b \\ \Rightarrow 0 \leq r < 93 \\ \Rightarrow 0 \leq 2 q^{2} < 93 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q^{2} < \frac{93}{2} \\ \Rightarrow q^{2} < 46.5 \\ \Rightarrow q < 6.81 \\ \Rightarrow q \leq 6 \end{array}$

$q = 1 \lor q = 2 \lor q = 3 \lor .... \lor q = 6$

$\begin{array}{l} i f q = 1 \Rightarrow \min (a) = 93 \times 1 + 2 = 95 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f q = 6 \Rightarrow \max (a) = 93 \times 6 + 72 = 630 \end{array}$

$\max (a) - \min (a) = 630 - 95 = 535$

در تقسیم عدد صحیح $a$ بر $17$ ، باقی مانده نصف خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار $a$ را به‌دست آورید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 17 q + \frac{q}{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 17 \\ \Rightarrow 0 \leq \frac{q}{2} < 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 q + 0 \leq 17 q + \frac{q}{2} < 17 q + 17 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 q \leq a < 17 q + 17; \frac{q}{2} = r = 16 \Rightarrow q = 32 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 17 (32) \leq a < 17 (32) + 17 \\ \Rightarrow 544 \leq a < 561 \\ \Rightarrow \max (a) = 560 \end{array}$

بدیهی است که حداکثر مقدار $a$ به‌ازای $16$ به‌دست می‌آید.

در تقسیم عدد صحیح $a$ بر $56$ باقی مانده، مربع خارج قسمت می‌باشد، حداکثر مقدار $a$ را به‌دست آورید؟

$a = b q + r \Rightarrow a = 56 q + q^{2}$

$\begin{array}{l} 0 \leq r < 56 \\ \Rightarrow 0 \leq q^{2} < 56 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow q < 7.48; \{\begin{cases} \max (q) = 7 \\ a = 56 q + q^{2} \end{cases} \\ \Rightarrow \max (a) = 56 \times 7 + 49 \\ \Rightarrow \max (a) = 441 \end{array}$

تمرین

اگر در یک تقسیمريال مقسوم و مقسوم علیه هر دو بر عدد صحیح $n$ بخش پذیر باشند، ثابت کنید:

باقی مانده تقسیم همواره بر $n$ بخش پذیر است.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 \Leftrightarrow a = b q + r \overset{(0 \leq r < b)}{\leftrightarrow} r = a - b q$

$\begin{matrix} \{\begin{array}{l} n| a \\ n| b \Rightarrow n| b q \end{array}〉 n| a - b q \Rightarrow n| r \end{matrix}$

تمرین

اگر $a$ عدد صحیح و دل‌خواه باشد:

ثابت کنید همواره یکی از اعداد صحیح $a, a + 2, a + 4$ بر $3$ بخش پذیر است.

طبق قضیه تقسیم خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{3} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 \Leftrightarrow a = 3 q + r; (0 \leq r < 3)$

با توجه به این‌که $0 \leq r < 3$ یعنی $r = 0, 1, 2$ می‌باشد.

عدد صحیح $a$ را می‌توان به يكی از سه صورت زير نوشت:

$\begin{array}{l} a = 3 k \Rightarrow 3| a \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 k + 1 \Rightarrow a + 2 = (3 k + 1) + 2 \Rightarrow a + 2 = 3 k + 3 \Rightarrow a + 2 = 3 (k + 1) \Rightarrow 3| a + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 k + 2 \Rightarrow a + 4 = (3 k + 2) + 4 \Rightarrow a + 4 = 3 k + 6 \Rightarrow a + 4 = 3 (k + 2) \Rightarrow 3| a + 4 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

اگر عدد صحیح $a$ را بخواهیم بر $5$ تقسیم کنیم:

این عدد صحیح یا بر $5$ تقسیم پذیر است یعنی $(r = 0)$ یا باقیمانده تقسیم آن بر $5$ عدد $1$ یا $2$ یا $3$ یا $4$ است، به‌عبارت دیگر:

$\begin{array}{l} a = 5 q + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 5 q + 3 \end{array}$

$a = 5 q + 4$

و چون $a \in Z$ یک عدد دل‌خواه در نظرگرفته شده بود، می‌توان گفت که هر عدد صحیح را می‌توان به یکی از $5$ صورت فوق نوشت.

تعریف

فرض کنید $a$ و $k$ دو عدد صحیحی باشند به‌طوری‌که $k \neq 0$ در این‌صورت اعداد صحیح منحصر به‌فردی مانند $q$ و $r$ می‌توان یافت به‌طوری‌که داشته باشیم:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{k} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 a = k q + r; (0 \leq r < k)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < k)$ یعنی مقادیری که $r$ می‌پذیرد، به‌صورت زیر است:

$r = 0, 1, 2, ....., (k - 1)$

هر عدد صحیح مانند $a$ را می‌توان به یکی از $k$ صورت زیر نوشت:

$\begin{array}{l} a = k q + 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = k q + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a = k q + 2 \\ ⋮ \end{array}$

$a = k q + (k - 1)$

با این کار توانسته‌ایم مجموعه $Z$ را دقیقا به $k$ زیر مجموعه خودش افراز کنیم.

تمرین

عدد صحیح و فرد $a$ را در نظر بگیرید:

این عدد را به یکی از دو صورت $4 k + 1$ یا $4 k + 3$ بنویسید.

فرض کنیم $a \in Z$ و عددی فرد باشد. اگر $a$ را بر $4$ تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{4} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 a = 4 q + r; (0 \leq r < 4)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < 4)$ یعنی داریم:

$r = 0, 1, 2, 3$

عدد $a$ را می‌توان به یکی از $4$ صورت زیر نوشت:

$\begin{array}{l} (1) : p = 4 k + 0; A_{1} = \{a \in ℤ| a = 4 k\} \end{array}$

$\begin{array}{l} (2) : p = 4 k + 1;_{2} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 1\} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} (3) : p = 4 k + 2; A_{3} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 2\} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} (4) : p = 4 k + 3; A_{4} = \{a \in ℤ| a = 4 k + 3\} \end{array}$

چهار مجموعه $A_{4}, A_{3}, A_{2}, A_{1}$ مجموعه $Z$ را افراز می‌کند.

حالات زیر زوج هستند:

$\{\begin{cases} a = 4 k \\ a = 4 k + 2 \end{cases}$

حالات زیر فرد هستند:

$\{\begin{cases} a = 4 k + 1 \\ a = 4 k + 3 \end{cases}$

نشان دهید که مربع هر عدد فرد به شکل $(8 t + 1)$ نوشته می‌شود. (باقیمانده تقسیم مربع هر عدد فرد بر $8$ مساوی با $1$ است.)

$\begin{matrix} a = 4 k + 1 \Rightarrow a^{2} = {(4 k + 1)}^{2} \Rightarrow a^{2} = 16 k^{2} + 8 k + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (2 k^{2} + k) + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (t^{'}) + 1 \end{matrix}$

$a = 4 k + 3 \Rightarrow a^{2} = {(4 k + 3)}^{2} \Rightarrow a^{2} = 16 k^{2} + 24 k + 9 \Rightarrow a^{2} = 8 (2 k^{2} + 3 k + 1) + 1 \Rightarrow a^{2} = 8 (t^{''}) + 1$

تمرین

ثابت کنید اگر $p > 3$ عددی اول باشد، آن‌گاه به یکی از دو صورت $\{\begin{cases} p = 6 k + 1 \\ p = 6 k + 5 \end{cases}$ نوشته می‌شود.

کافی است $p$ را بر $6$ تقسیم کنیم، طبق قضیه الگوریتم تقسیم خواهیم داشت:

$\{\begin{array}{l} p \underset{q}{6} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 p = 6 q + r; (0 \leq r < 6)$

با توجه به این‌که $(0 \leq r < 6)$ یعنی داریم:

$r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$

$\begin{array}{l} (1) : p = 6 k + 0 = 2 (3 k) \\ (2) : p = 6 k + 1 \\ (3) : p = 6 k + 2 = 2 (3 k + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} (4) : p = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1); 3| p \end{array}$

$\begin{array}{l} (5) : p = 6 k + 4 = 2 (3 k + 2) \\ (6) : p = 6 k + 5 \end{array}$

$p$ در حالات $(5), (3), (1)$ زوج است و با اول بودنِ آن در تناقض است.

$p$ در حالت $(4)$ مضربی از عدد $3$ است و با اول بودنِ آن در تناقض است.

$p$ در حالات $(6), (2)$ صحیح است.

تمرین

عدد $a$ مضرب $5$ نيست، صورت های ممكنه آن را بنويسيد.

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{5} \\ ⋮ \\ \bar{r} \end{array}〉 a = 5 q + r; (0 \leq r < |5|)$

$\begin{array}{l} a = 5 q + r; 0 \leq r < 5 \\ r = 0 \Rightarrow a = 5 q \\ r = 1 \Rightarrow a = 5 q + 1 \\ r = 2 \Rightarrow a = 5 q + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} r = 3 \Rightarrow a = 5 q + 3 = 5 q + (5 - 2) = (5 q + 5) - 2 = 5 (q + 1) - 2 = 5 q^{'} - 2 \end{array}$

$r = 4 \Rightarrow a = 5 q + 4 = 5 q + (5 - 1) = (5 q + 5) - 1 = 5 (q + 1) - 1 = 5 q^{'} - 1$

از حالات فوق در چهار حالت، عدد $a$ مضرب $5$ نيست.

$\{\begin{cases} a = 5 k \pm 1 \\ a = 5 k \pm 2 \end{cases}$

نشان دهيد هر عدد صحيح به يكی از دو صورت $2 k$ یا $2 k + 1$ نوشته می‌شود.

فرض كنيد $a$ يک عدد صحيح دل‌خواه باشد.

$a$ را بر $2$ تقسیم می‌کنیم، بنابر الگوريتم تقسيم داريم:

$\begin{array}{l} a = 2 k + r; 0 \leq r < 2 \\ i f r = 0 \Rightarrow a = 2 k \\ i f r = 1 \Rightarrow a = 2 k + 1 \end{array}$

اعداد به شكل $2 k$ را اعداد زوج و اعداد به شكل $2 k + 1$ را فرد گويند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- اگر $a$ عدد فردی باشد که نتوان آن را به‌صورت $(8 k + 1)$ نوشت، در این‌صورت $a$ مربع کامل نیست.

به‌عنوان نمونه عدد $25$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

${(5)}^{2} = 25 = 8 (3) + 1$

بنابراین مربع کامل است.

تمرین

اگر $x$ عددی صحيح و فرد باشد، باقيمانده تقسيم $x^{2} - 5$ بر $8$ را بنویسید.

یادآوری)

مربع هر عدد فرد، به‌شكل $(8 k + 1)$ است که قبلا بررسی شد، این مطلب با مثال های عددی زیر هم مشخص می‌شود:

$\begin{array}{l} {(1)}^{2} = 1 = 8 (0) + 1 \\ {(3)}^{2} = 9 = 8 (1) + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(5)}^{2} = 25 = 8 (3) + 1 \\ {(7)}^{2} = 49 = 8 (6) + 1 \\ ⋮ \\ {(x)}^{2} = x^{2} = 8 (k) + 1 \end{array}$

پس اگر $x$ عددی صحيح و فرد باشد:

$\begin{array}{l} x^{2} = 8 k + 1 \\ \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k + 1 - 5 \\ \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k - 8 + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 (k - 1) + 4; k - 1 = k^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 5 = 8 k^{'} + 4 \\ \Rightarrow r = 4 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

2- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که $a < b$ باشد، در این‌صورت باقیمانده تقسیم $a$ بر $b$ خود عدد $a$ است.

$\begin{array}{l} a b \\ \underline{0} 0 \\ a \Rightarrow a = b (0) + a \end{array}$

بنابراین باقیمانده هر یک از اعداد زیر:

$(n - 1), ..., 4, 3, 2, 1$

بر $n$ به‌ترتیب برابر است با:

$(n - 1), ..., 4, 3, 2, 1$

نکته

3- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند، آن‌گاه:

$i f \{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}〉 q = [\frac{a}{b}]$

منظور از $[\frac{a}{b}]$ جزءصحیح کسر $\frac{a}{b}$ است.

اثبات

$\begin{matrix} a = b q + r \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{b} q + \frac{r}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} \end{matrix}$

$0 \leq r < b$

$\Rightarrow 0 \leq \frac{r}{b} < 1$

$\Rightarrow 0 + q \leq \frac{r}{b} + q < q + 1$

$\Rightarrow q \leq \frac{a}{b} < q + 1$

$\Rightarrow [\frac{a}{b}] = q$

تعداد مضارب صحیح مثبتی از $b$ که کوچک‌تر یا مساوی $a$ هستند، برابر است با $[\frac{a}{b}]$

تمرین

تعداد مضارب مثبت $5$ که کوچک‌تر یا مساوی $138$ است را بیابید.

$138 = 5 (27) + 3$

تعداد مضارب مثبت $5$ که کوچک‌تر یا مساوی $138$ برابر است با:

$[\frac{138}{5}] = 27$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

4- در هر تقسیم $a = b q + r$ حداکثر به اندازه $x = [\frac{r}{q}]$ واحد می‌توان به مقسوم علیه اضافه کرد تا مقسوم و خارج قسمت تغییر نکنند.

اثبات

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow a = (b + x) q + r^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = b q + x q + r^{'}; a = b q + r \end{array}$

$\Rightarrow (b q + r) = b q + x q + r^{'}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r^{'} = r - x q; r - x q \geq 0 \\ \Rightarrow r - x q \geq 0 \\ \Rightarrow x \leq \frac{r}{q} \\ \Rightarrow x = [\frac{r}{q}] \end{array}$

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت $35$ و باقيمانده $421$ است.

حداكثر چند واحد به مقسوم عليه اضافه كرد تا مقسوم و خارج قسمت تغيير نكنند.

$a = b q + r \Rightarrow a = b (35) + 421$

در حقيقت بايد معلوم كنيم كه در $421$ چند بار عدد $35$ را می‌توان گنجاند:

$[\frac{421}{35}] = [12 / 03] = 12$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

5- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبیعی باشند به‌طوری‌که:

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

با شرط $(a > b)$ مقسوم از دو برابر باقیمانده بزرگ‌تر است:

$a > 2 r$

اثبات

روش اول-

$\{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases}$

$a = b q + r > b + r > r + r = 2 r \Rightarrow a > 2 r$

روش دوم- واضح است که چون $a$ و $b$ دو عدد طبیعی هستند و $(a > b)$ باشد، بنابراین $q \geq 1$ :

$\begin{array}{l} q \geq 1 \\ \Rightarrow b q \geq b; b > r \\ \Rightarrow b q > r \\ \Rightarrow b q + r > r + r \\ \Rightarrow a > 2 r \end{array}$

نکته

6- در هر تقسیم، هرگاه هر مضرب صحیح و مثبتی از مقسوم علیه را به مقسوم بیفزاییم، باقیمانده تغییر نمی‌کند.

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = b q + r \\ 0 \leq r < b \end{cases} \end{array}$

$a = b q + r \Rightarrow a + n b = b q + n b + r = b (q + n) + r$

واضح است که رابطه اخیر یک تقسیم را معرفی می‌کند که باقیمانده آن همان باقیمانده تقسیم عدد $a$ بر عدد $b$ یعنی $r$ است.

در حالت کلی، اگر $n$ برابر مقسوم علیه را به مقسوم اضافه کنیم، خارج قسمت جدید با عدد $n$ جمع می‌شود.

تمرین

در يک تقسيم، خارج قسمت برابر $21$ و مقسوم عليه $8$ است.

اگر $24$ به مقسوم اضافه كنيم، خارج قسمت جديد را به‌دست آورید.

طبق نكته بالا بايد $3$ واحد به خارج قسمت قديم اضافه كنيم تا خارج قسمت جديد حاصل شود.

سه برابر مقسوم عليه را به مقسوم اضافه كرده ايم.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = b q + r \Rightarrow a = (8) (21) + r \\ 0 \leq r < b \end{cases} \end{array}$

$a = (8) (21) + r \Rightarrow a + 24 = (8) (21) + 24 + r = 8 (21 + 3) + r$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

7- به کسر زیر توجه کنید:

$a = b q + r \Rightarrow b q = a - r \Rightarrow q = \frac{a - r}{b}$

می‌توانیم مقادیری مختلف را به $a$ و $r$ و $b$ اضافه کنیم، به‌طوری که $q$ یعنی خارج قسمت، تغییری نکند.

تمرین

در تقسيم عدد صحيح $a$ بر $b$ خارج قسمت $12$ و باقيمانده $93$ شده است.

حداكثر چه مقدار می‌توان به مقسوم عليه اضافه نموده تا خارج قسمت تغيير نكند؟

اگر حداكثر مقدار را $x$ در نظر بگیریم:

$\begin{array}{l} a = b q + r \Rightarrow \{\begin{cases} a = 12 b + 93 \\ a = 12 (b + x) + r^{'} \Rightarrow a = 12 b + 12 x + r^{'} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 12 b + 93 = 12 b + 12 x + r^{'} \\ \Rightarrow 12 x = 93 - r^{'} \\ \Rightarrow x = \frac{93 - r^{'}}{12} \end{array}$

$x$ باید ماکزیمم باشد.

بايد عددی را از $93$ كم كنيم كه در ازای تقسيم آن بر $12$ عددی به‌دست آيد كه در $Z$ باشد، بنابراين:

$i f r^{'} = 9 \Rightarrow x = \frac{93 - 9}{12} = 7$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

8- همواره در تقسیم $a$ بر $b$ به‌طوری‌که $a = b q + r$ باشد:

حداکثر $n = b - r - 1$ واحد می‌توان به مقسوم اضافه کرد تا خارج قسمت تغییر نکند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی تیر 1403

عدد صحیح $a$ مضرب $8$ و باقیمانده تقسیم آن بر $23$ برابر $5$ است.

باقیمانده تقسیم $\frac{a}{4}$ بر $23$ کدام است؟

$5$
$7$
$13$
$19$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} x, y \in ℤ^{+} \\ 2 x^{3} + y^{3} = 141824 \end{cases}$

مقدار $x + y$ کدام است؟

$63$
$64$
$65$
$66$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

قضیه تقسیم

15,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

مقدمه

الگوریتم تقسیم

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

تعریف

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

نظریه اعداد

قضیه تقسیم

مقدمه

الگوریتم تقسیم

افراز مجموعه ℤ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم

مقدمه

تعریف

تست‌های این مبحث

افراز مجموعه $ℤ$ به‌کمک قضیه الگوریتم تقسیم