برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

آخرین ویرایش: 15 شهریور 1401

دسته‌بندی: قضیه فیثاغورس

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ که در آن $\hat{A} = 90^{\circ}$ است را درنظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم می‌گویند.

اندازه ضلع مقابل به زاویه $A$ را با $B C = a$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $B$ را با $A C = b$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $C$ را با $A B = c$ نشان می‌دهند.

قضیه فیثاغورس

قضیه

در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

$\hat{A} = 90^{\circ}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

مربعی به‌ضلع $b + c$ به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

مثلث‌های زیر به‌واسطه دوضلع و زاویه بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = G \overset{△}{M} Q = F \overset{△}{P} Q = E \overset{△}{N} P = D \overset{△}{M} N \Rightarrow M N = N P = P Q = Q M = a$

چهارضلعی $M N P Q$ مربعی است به‌ضلع $a$ :

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S (D E F G) = {(b + c)}^{2} = b^{2} + 2 b c + c^{2} \\ S (D E F G) = 4 S (D \overset{△}{M} N) + S (M N P Q) = 4 \times \frac{b \times c}{2} + a^{2} = 2 b c + a^{2} \end{cases} \\ b^{2} + 2 b c + c^{2} = 2 b c + a^{2} \Rightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2} \end{array}$

تمرین

در شکل های زیر مقدار $x$ را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} {(13)}^{2} = x^{2} + {(5)}^{2} \\ \Rightarrow 169 = x^{2} + 25 \\ \Rightarrow x^{2} = 169 - 25 \\ \Rightarrow x^{2} = 144 \\ \Rightarrow x = 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(25)}^{2} = {(7 x)}^{2} + {(24 x)}^{2} \\ \Rightarrow 625 = 49 x^{2} + 576 x^{2} \\ \Rightarrow 625 = 625 x^{2} \\ \Rightarrow x^{2} = 1 \\ \Rightarrow x = 1 \end{array}$

تمرین

در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، طول ميانه های نظير اضلاع زاويه قائم $6$ و $8$ می‌باشند.

پیمان گردلو

طول وتر مثلث را حساب کنيد.

$B M = 6, C N = 8, A N = \frac{c}{2}, A M = \frac{b}{2}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A N^{2} + A C^{2} = C N^{2} \Rightarrow {(\frac{c}{2})}^{2} + b^{2} = 64 \Rightarrow \frac{c^{2}}{4} + b^{2} = 64 \\ A M^{2} + A B^{2} = B M^{2} \Rightarrow {(\frac{b}{2})}^{2} + c^{2} = 36 \Rightarrow \frac{b^{2}}{4} + c^{2} = 36 \end{cases}〉 \\ (\frac{c^{2}}{4} + b^{2}) + (\frac{b^{2}}{4} + c^{2}) = 100 \\ \Rightarrow \frac{b^{2} + c^{2}}{4} + (b^{2} + c^{2}) = 100 \\ \Rightarrow \frac{a^{2}}{4} + a^{2} = 100 \\ \Rightarrow \frac{5 a^{2}}{4} = 100 \\ \Rightarrow a^{2} = 80 \\ \Rightarrow a = \sqrt{80} \\ \Rightarrow a = 4 \sqrt{5} \end{array}$

تمرین

ثابت کنید اعداد زیر، اعداد فیثاغورسی هستند.

$3 k, 4 k, 5 k; (k \in N)$

$\begin{array}{l} {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = 9 k^{2} + 16 k^{2} \\ \Rightarrow {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = 25 k^{2} \\ \Rightarrow {(3 k)}^{2} + {(4 k)}^{2} = {(5 k)}^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

عکس قضیه فیثاغورس

قضیه

اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{A} = 90^{\circ}$

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که ضلع‌های زاویه قائم آن برابر $b$ و $c$ باشد، رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم آن مثلث با مثلث $A B C$ مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} A^{'} {B^{'}}^{2} + A^{'} {C^{'}}^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \\ A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B C^{2} \end{cases}〉 B C^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow B C = B^{'} C^{'}$

$\{\begin{cases} A B = A^{'} B^{'} \\ A C = A^{'} C^{'} \\ B C = B^{'} C^{'} \end{cases}$

دو مثلث‌ زیر به‌واسطه سه‌ضلع بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'} \Rightarrow \hat{A} = {\hat{A}}^{'} = 90^{\circ}$

اعداد فیثاغورس

اگر سه‌عدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دو‌تای دیگر مساوی باشد، به‌عبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی می‌نامند.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه $5, 4, 3$ اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

تمرین

اگر $a, b, c$ اعداد فيثاغورسی باشند، ثابت کنيد اعداد زیر، نيز اعداد فيثاغورسی هستند.

$m a, m b, m c$

فرض آن‌ است که:

$b^{2} + c^{2} = a^{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم:

${(m b)}^{2} + {(m c)}^{2} = {(m a)}^{2}$

$\begin{array}{l} {(m b)}^{2} + {(m c)}^{2} \\ = m^{2} b^{2} + m^{2} c^{2} \\ = m^{2} (b^{2} + c^{2}) \\ = m^{2} a^{2} \\ = {(m a)}^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

فاصله دو نقطه

قضیه

اگر $A = [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \end{array}]$ دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه $A B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} M B = C D = O D - O C = x_{2} - x_{1} \\ M A = E F = O F - O E = y_{1} - y_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} A B^{2} = M B^{2} + M A^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.

قضیه قیثاغورس - پیمان گردلو

2- در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

3- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $30^{\circ}$ نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

4- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $45^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائم‌الزاویه $45^{\circ}$ باشد، زاویه حاده دیگر نیز $45^{\circ}$ می‌شود، بنابراین مثلث قائم‌الزاویه به مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین تبدیل می‌شود:

$\begin{array}{l} A B = A C = x \\ x^{2} + x^{2} = a^{2} \Rightarrow 2 x^{2} = a^{2} \Rightarrow \sqrt{2} x = a \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} a \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} a \end{array}$

5- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $60^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} \Rightarrow x^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2} \Rightarrow x^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow x^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

6- سه‌عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده می‌شوند.

7- قطر مربعی به‌ضلع $a$ برابر است با $a \sqrt{2}$ .

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2} a$

8- قطر مستطیلی به ابعاد $a$ و $b$ برابر است با:

$d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

9- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

10- شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ برابر است با:

$\frac{b c}{a + b + c}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

11- در مثلث قائم‌الزاویه به وتر $a$ و به‌اضلاع زاویه قائمه $b$ و $c$ داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S = (P - b) (P - c) = P (P - a); P = \frac{a + b + c}{2}$

12- مجموع مساحت‌های هلالین با مساحت مثلث قائم‌الزاویه مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

13- در شکل‌های زیر داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S_{1} = S_{2} + S_{3}$

14- اگر $b$ و $c$ اضلاع مجاور به زاویه قائمه و $h$ ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویه باشد، آن‌گاه:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

تمرین

قطر مستطیلی $7.5$ و عرض آن $4.5$ است.

پیمان گردلو

طول مستطیل چقدر است؟

$\begin{array}{l} x^{2} + {(4.5)}^{2} = {(7.5)}^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + 20.5 = 56.25 \\ \Rightarrow x^{2} = 56.25 - 20.25 \\ \Rightarrow x^{2} = 36 \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

تمرین

در ذوزنقه قائم الزاويه ای يکی از زاويه ها $135^{\circ}$ و قاعده کوچک و ساق قائم آن به‌ترتيب $10$ و $8$ سانتی متر است.

ساق مايل و قاعده بزرگ را حساب کنيد.

پیمان گردلو

ارتفاع $B H$ را رسم می‌کنيم، چهارضلعی $A B H D$ مستطيل است.

$\begin{array}{l} A \hat{B} H = 90^{\circ} \Rightarrow H \hat{B} C = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ} \Rightarrow \hat{C} = 45^{\circ} \Rightarrow B H = H C = 8 \\ x^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 64 + 64 = 128 \Rightarrow x = \sqrt{128} \Rightarrow x = 8 \sqrt{2} \\ D C = D H + H C = 10 + 8 = 18 \end{array}$

تمرین

اضلاع مثلثی $4, 6, 8$ می‌باشد.

پیمان گردلو

مساحت مثلث را حساب کنيد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} h^{2} = 4^{2} - x^{2} \\ h^{2} = 6^{2} - {(8 - x)}^{2} \end{cases}〉 16 - x^{2} = 36 - {(8 - x)}^{2} \\ 16 - x^{2} = 36 - {(8 - x)}^{2} \\ \Rightarrow 16 - x^{2} = 36 - [{(8)}^{2} - 2 (8) (x) + {(x)}^{2}] \\ \Rightarrow 16 - x^{2} = 36 - 64 - x^{2} + 16 x \\ \Rightarrow - 16 x = - 44 \\ \Rightarrow x = \frac{11}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} h^{2} = 16 - x^{2} = 16 - {(\frac{11}{4})}^{2} = 16 - \frac{121}{16} = \frac{135}{16} \Rightarrow h^{2} = \frac{135}{16} \Rightarrow h = \frac{3 \sqrt{15}}{4} \\ S = \frac{1}{2} (B C \times h) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{15}}{4} \times 8) = 3 \sqrt{15} \end{array}$

تمرین

خط راستی دو دايره هم مرکز را قطع کرده و روی آنها وترهايی به طول $10$ و $26$ سانتی متر ايجاد کرده است.

پیمان گردلو

مساحت حلقه بين دو دايره چقدر است؟

$\begin{array}{l} O B^{2} = O H^{2} + H B^{2} \Rightarrow R^{2} = O H^{2} + {(\frac{26}{2})}^{2} \Rightarrow R^{2} = O H^{2} + 13^{2} \\ O D^{2} = O H^{2} + H D^{2} \Rightarrow r^{2} = O H^{2} + {(\frac{10}{2})}^{2} \Rightarrow r^{2} = O H^{2} + 5^{2} \\ R^{2} - r^{2} = 169 - 25 = 144 \end{array}$

مساحت حلقه:

$π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) = 144 π$

تمرین

مثلث متساوی الاضلاع با طول $6 \sqrt{3}$ سانتی متر مفروض است.

پیمان گردلو

شعاع دايره محيطی مثلث را محاسبه کنید.

مرکز دايره محيطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث می‌باشد.

در مثلث متساوی الاضلاع عمود منصف های هر ضلع نيمساز زاويه مقابل آن نيز هست.

$\begin{array}{l} \hat{B} = 60^{\circ} \Rightarrow O \hat{B} H = 30^{\circ} \Rightarrow O H = \frac{O B}{2} \\ O B^{2} = O H^{2} + B H^{2} \\ \Rightarrow O B^{2} = {(\frac{O B}{2})}^{2} + {(\frac{6 \sqrt{3}}{2})}^{2} \\ \Rightarrow O B^{2} = {(\frac{O B}{2})}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2} \\ \Rightarrow O B^{2} - \frac{O B^{2}}{4} = 27 \\ \Rightarrow \frac{3}{4} O B^{2} = 27 \\ \Rightarrow O B^{2} = 36 \\ \Rightarrow O B = 6 \end{array}$

تمرین

ضلع مثلث متساوی الاضلاع در شکل زیر $10$ سانتی متر است.

پیمان گردلو

ارتفاع مثلث را به‌دست آوريد؟

در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع نظير يک ضلع ، ميانه آن ضلع هم هست.

$\begin{array}{l} A C^{2} = H C^{2} + A H^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = A C^{2} - H C^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = {(10)}^{2} - {(5)}^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = 100 - 25 \\ \Rightarrow A H^{2} = 75 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{75} \\ \Rightarrow A H = 5 \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

در مثلث متساوی الساقين زیر، ارتفاع $B H$ را رسم می‌کنيم.

پیمان گردلو

ثابت کنيد مجموع مربعات سه ضلع مثلث مساوی است با:

$C H^{2} + 2 A H^{2} + 3 B H^{2}$

$A B = A C$

$\{\begin{cases} B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} \\ A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} \\ A C^{2} = A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} \end{cases}$

طرفين تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} B C^{2} + A B^{2} + A C^{2} \\ = (B H^{2} + H C^{2}) + (B H^{2} + A H^{2}) + (B H^{2} + A H^{2}) \\ = 3 B H^{2} + 2 A H^{2} + C H^{2} \end{array}$

تمرین

در شکل زیر، طول ضلع مربع $a$ است.

پیمان گردلو

مطلوب است طول قطر مربعی که ضلع آن مساوی قطر مربع اول باشد.

$x^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2} a$

اگر قطر مربع بزرگ را $y$ فرض کنيم، خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} y^{2} = {(\sqrt{2} a)}^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2} \\ \Rightarrow y^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} \\ \Rightarrow y^{2} = 4 a^{2} \\ \Rightarrow y = 2 a \end{array}$

تمرین

ذوزنقه متساوی الساقين $A B C D$ را در نظر بگیرید که در آن داشته باشیم:

$A B = 50$

پیمان گردلو

مطلوب است محاسبه ارتفاع و اقطار ذوزنقه متساوی الساقين.

$\begin{array}{l} B F = \frac{50 - 14}{2} = 18 \\ C F^{2} = B C^{2} - B F^{2} = {(30)}^{2} - {(18)}^{2} = 900 - 324 = 576 \Rightarrow C F = 24 \\ A C^{2} = A F^{2} + C F^{2} = {(14 + 18)}^{2} + {(24)}^{2} = 1024 + 576 = 1600 \Rightarrow A C = 40 \end{array}$

تمرین

در شکل زیر $O \hat{A} C = 30^{\circ}$ و شعاع دايره $10$ سانتی متر است.

پیمان گردلو

طول پاره خط $A E$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} O B = A C = 10 \\ O \hat{A} C = 30^{\circ} \Rightarrow O C = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ O A^{2} = A C^{2} - O C^{2} = {(10)}^{2} - {(5)}^{2} = 100 - 25 \Rightarrow O A^{2} = 75 \Rightarrow O A = 5 \sqrt{3} \\ A E = O E - O A = 10 - 5 \sqrt{3} = 5 (2 - \sqrt{3}) \end{array}$

تمرین

در شکل زیر، مثلث $A B C$ قائم الزاويه و $M$ وسط $A C$ است.

پیمان گردلو

از نقطه $M$ پاره خطی بر وتر $B C$ عمود می‌کنيم تا آن را در $H$ قطع کند. ثابت کنيد:

$A B^{2} = B H^{2} - H C^{2}$

$A M = M C$

از $M$ به $B$ وصل می‌کنیم:

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} A B^{2} = B M^{2} - A M^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = B M^{2} - M C^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = (B H^{2} + M H^{2}) - (M H^{2} + H C^{2}) \\ \Rightarrow A B^{2} = B H^{2} + M H^{2} - M H^{2} - H C^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = B H^{2} - H C^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضایا و روابط طولی در مثلث قائم‌ الزاویه

فرض کنید مثلث $A B C$ مانند شکل زیر یک مثلث قائم‌الزاویه و $A H$ ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

برخی روابط طولی در مثلث فوق به‌صورت زیر است:

قضیه

$A C^{2} = B C \times H C$

اثبات

نشان می‌دهیم که دومثلث $A B C$ و $A H C$ متشابه هستند:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \\ A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{A B} = \frac{A C}{B C} = \frac{H C}{A C} \Rightarrow A C^{2} = B C \times H C \end{array}$

قضیه

$A B^{2} = B C \times H B$

اثبات

نشان می‌دهیم که دو مثلث $A H B$ و $A B C$ متشابه هستند:

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{B} = \hat{B} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ A \overset{Δ}{H B}$

$A \overset{Δ}{B} C ~ H \overset{Δ}{B} A \Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{A B}{B C} = \frac{H B}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \times H B$

قضیه

$A H^{2} = H B \times H C$

اثبات

$A \overset{Δ}{H} B ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{H B} = \frac{A C}{A B} = \frac{H C}{A H} \Rightarrow A H^{2} = H B \times H C$

قضیه

$A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$

اثبات

$A C^{2} + A B^{2} = (B C \times H C) + (B C \times H B) = B C (H C + H B) = B C \times B C = B C^{2}$

قضیه

$A B \times A C = A H \times B C$

اثبات

$\{\begin{cases} S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \times A C \\ S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \times B C \end{cases}〉 A B \times A C = A H \times B C$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را به‌دست آورید:

$\{\begin{cases} d = 7 \\ h = 5 \\ e = ? \end{cases}$

$A H^{2} = H C \times H B \Rightarrow h^{2} = e \times d \Rightarrow 5^{2} = e \times 7 \Rightarrow e = \frac{25}{7}$

$\{\begin{cases} d = 5 \\ e = 3 \\ b = ? \\ c = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} A C^{2} = H C \times B C \Rightarrow b^{2} = e \times (d + e) \Rightarrow b^{2} = 3 (8) \Rightarrow b^{2} = 24 \Rightarrow b = \sqrt{24} \\ A B^{2} = H B \times B C \Rightarrow c^{2} = d (d + e) \Rightarrow c^{2} = 5 (8) \Rightarrow c^{2} = 40 \Rightarrow c = \sqrt{40} \end{array}$

$\{\begin{cases} c = 8 \\ b = 6 \\ h = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 \Rightarrow B C = 10 \\ A B \times A C = A H \times B C \Rightarrow 8 \times 6 = h \times 10 \Rightarrow h = \frac{8 \times 6}{10} \Rightarrow h = 4_{/} 8 \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر از نقطه $A$ عمودی بر قطر $B D$ رسم کنیم و پای این عمود را $H$ بنامیم، $B H = 11$ است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

در مثلث $A B H$ با استفاده از فیثاغورس داریم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = A H^{2} + H B^{2} \\ \Rightarrow 12^{2} = A H^{2} + 11^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = 144 - 121 \\ \Rightarrow A H^{2} = 23 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{23} \end{array}$

برای محاسبه‌ قطر می‌نویسم:

$A B^{2} = B H \times B D \Rightarrow 12^{2} = 11 \times B D \Rightarrow B D = \frac{144}{11}$

$\begin{array}{l} B D = D H + H B \Rightarrow \frac{144}{11} = D H + 11 \Rightarrow D H = \frac{144}{11} - 11 \Rightarrow D H = \frac{23}{11} \\ A D^{2} = D H \times B D = \frac{23}{11} \times \frac{144}{11} \Rightarrow A D = \frac{12}{11} \sqrt{23} \end{array}$

خرید پاسخ‌ها

بیان قضیه فیثاغور

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

قضیه فیثاغورس

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

بیان قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورس

عکس قضیه فیثاغورس

اعداد فیثاغورس

فاصله دو نقطه

قضایا و روابط طولی در مثلث قائم‌ الزاویه

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟