سرفصل‌های این مبحث

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399

آخرین ویرایش: 26 شهریور 1400

دسته‌بندی: قضیه فیثاغورس

امتیاز:

بازدید: 86 مرتبه

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ که در آن $\hat{A} = 90^{\circ}$ است را درنظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم می‌گویند.

اندازه ضلع مقابل به زاویه $A$ را با $B C = a$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $B$ را با $A C = b$ نشان می‌دهند.
اندازه ضلع مقابل به زاویه $C$ را با $A B = c$ نشان می‌دهند.

قضیه فیثاغورس

قضیه

در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

$\hat{A} = 90^{\circ}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

مربعی به‌ضلع $b + c$ به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

مثلث‌های زیر به‌واسطه دوضلع و زاویه بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = G \overset{△}{M} Q = F \overset{△}{P} Q = E \overset{△}{N} P = D \overset{△}{M} N \Rightarrow M N = N P = P Q = Q M = a$

چهارضلعی $M N P Q$ مربعی است به‌ضلع $a$ :

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S (D E F G) = {(b + c)}^{2} = b^{2} + 2 b c + c^{2} \\ S (D E F G) = 4 S (D \overset{△}{M} N) + S (M N P Q) = 4 \times \frac{b \times c}{2} + a^{2} = 2 b c + a^{2} \end{cases} \\ b^{2} + 2 b c + c^{2} = 2 b c + a^{2} \Rightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

عکس قضیه فیثاغورس

قضیه

اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$\hat{A} = 90^{\circ}$

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که ضلع‌های زاویه قائم آن برابر $b$ و $c$ باشد، رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم آن مثلث با مثلث $A B C$ مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\{\begin{cases} A^{'} {B^{'}}^{2} + A^{'} {C^{'}}^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \\ A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \Rightarrow c^{2} + b^{2} = B C^{2} \end{cases}〉 B C^{2} = B^{'} {C^{'}}^{2} \Rightarrow B C = B^{'} C^{'}$

$\{\begin{cases} A B = A^{'} B^{'} \\ A C = A^{'} C^{'} \\ B C = B^{'} C^{'} \end{cases}$

دو مثلث‌ زیر به‌واسطه سه‌ضلع بین‌شان مساویند:

$A \overset{△}{B} C = A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'} \Rightarrow \hat{A} = {\hat{A}}^{'} = 90^{\circ}$

اعداد فیثاغورس

اگر سه‌عدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دو‌تای دیگر مساوی باشد، به‌عبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی می‌نامند.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه $5, 4, 3$ اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

فاصله دو نقطه

قضیه

اگر $A = [\begin{array}{l} x_{1} \\ y_{1} \end{array}]$ و $B = [\begin{array}{l} x_{2} \\ y_{2} \end{array}]$ دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه $A B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} M B = C D = O D - O C = x_{2} - x_{1} \\ M A = E F = O F - O E = y_{1} - y_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} A B^{2} = M B^{2} + M A^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.

2- در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

3- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $30^{\circ}$ نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

4- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $45^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائم‌الزاویه $45^{\circ}$ باشد، زاویه حاده دیگر نیز $45^{\circ}$ می‌شود، بنابراین مثلث قائم‌الزاویه به مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین تبدیل می‌شود:

$\begin{array}{l} A B = A C = x \\ x^{2} + x^{2} = a^{2} \Rightarrow 2 x^{2} = a^{2} \Rightarrow \sqrt{2} x = a \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} a \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2} a \end{array}$

5- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه $60^{\circ}$ با $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وتر مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} \Rightarrow x^{2} + \frac{a^{2}}{4} = a^{2} \Rightarrow x^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow x^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

6- سه‌عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده می‌شوند.

7- قطر مربعی به‌ضلع $a$ برابر است با $a \sqrt{2}$ .

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$x^{2} = a^{2} + a^{2} \Rightarrow x^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2} a$

8- قطر مستطیلی به ابعاد $a$ و $b$ برابر است با:

$d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

9- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

10- شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه $A B C$ برابر است با:

$\frac{b c}{a + b + c}$

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

11- در مثلث قائم‌الزاویه به وتر $a$ و به‌اضلاع زاویه قائمه $b$ و $c$ داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S = (P - b) (P - c) = P (P - a); P = \frac{a + b + c}{2}$

12- مجموع مساحت‌های هلالین با مساحت مثلث قائم‌الزاویه مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

13- در شکل‌های زیر داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$S_{1} = S_{2} + S_{3}$

14- اگر $b$ و $c$ اضلاع مجاور به زاویه قائمه و $h$ ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویه باشد، آن‌گاه:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه

فرض کنید مثلث $A B C$ مانند شکل زیر یک مثلث قائم‌الزاویه و $A H$ ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

برخی روابط طولی در مثلث فوق به‌صورت زیر است:

$A C^{2} = B C \times H C$

اثبات

نشان می‌دهیم که دومثلث $A B C$ و $A H C$ متشابه هستند:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \\ A \overset{Δ}{B} C ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{A B} = \frac{A C}{B C} = \frac{H C}{A C} \Rightarrow A C^{2} = B C \times H C \end{array}$

$A B^{2} = B C \times H B$

اثبات

نشان می‌دهیم که دو مثلث $A H B$ و $A B C$ متشابه هستند:

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{H} = 90^{\circ} \\ \hat{B} = \hat{B} \end{cases}〉 A \overset{Δ}{B} C ~ A \overset{Δ}{H B}$

$A \overset{Δ}{B} C ~ H \overset{Δ}{B} A \Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{A B}{B C} = \frac{H B}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \times H B$

$A H^{2} = H B \times H C$

اثبات

$A \overset{Δ}{H} B ~ \overset{Δ}{A H} C \Rightarrow \frac{A H}{H B} = \frac{A C}{A B} = \frac{H C}{A H} \Rightarrow A H^{2} = H B \times H C$

$A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$

اثبات

$A C^{2} + A B^{2} = (B C \times H C) + (B C \times H B) = B C (H C + H B) = B C \times B C = B C^{2}$

$A B \times A C = A H \times B C$

اثبات

$\{\begin{cases} S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \times A C \\ S_{A B C} = \frac{1}{2} A H \times B C \end{cases}〉 A B \times A C = A H \times B C$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را به‌دست آورید:

$\{\begin{cases} d = 7 \\ h = 5 \\ e = ? \end{cases}$

$A H^{2} = H C \times H B \Rightarrow h^{2} = e \times d \Rightarrow 5^{2} = e \times 7 \Rightarrow e = \frac{25}{7}$

$\{\begin{cases} d = 5 \\ e = 3 \\ b = ? \\ c = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} A C^{2} = H C \times B C \Rightarrow b^{2} = e \times (d + e) \Rightarrow b^{2} = 3 (8) \Rightarrow b^{2} = 24 \Rightarrow b = \sqrt{24} \\ A B^{2} = H B \times B C \Rightarrow c^{2} = d (d + e) \Rightarrow c^{2} = 5 (8) \Rightarrow c^{2} = 40 \Rightarrow c = \sqrt{40} \end{array}$

$\{\begin{cases} c = 8 \\ b = 6 \\ h = ? \end{cases}$

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 \Rightarrow B C = 10 \\ A B \times A C = A H \times B C \Rightarrow 8 \times 6 = h \times 10 \Rightarrow h = \frac{8 \times 6}{10} \Rightarrow h = 4_{/} 8 \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر از نقطه $A$ عمودی بر قطر $B D$ رسم کنیم و پای این عمود را $H$ بنامیم، $B H = 11$ است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

در مثلث $A B H$ با استفاده از فیثاغورس داریم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = A H^{2} + H B^{2} \\ \Rightarrow 12^{2} = A H^{2} + 11^{2} \\ \Rightarrow A H^{2} = 144 - 121 \\ \Rightarrow A H^{2} = 23 \\ \Rightarrow A H = \sqrt{23} \end{array}$

برای محاسبه‌ قطر می‌نویسم:

$A B^{2} = B H \times B D \Rightarrow 12^{2} = 11 \times B D \Rightarrow B D = \frac{144}{11}$

$\begin{array}{l} B D = D H + H B \Rightarrow \frac{144}{11} = D H + 11 \Rightarrow D H = \frac{144}{11} - 11 \Rightarrow D H = \frac{23}{11} \\ A D^{2} = D H \times B D = \frac{23}{11} \times \frac{144}{11} \Rightarrow A D = \frac{12}{11} \sqrt{23} \end{array}$

مثال‌ها و جواب‌ها

بیان قضیه فیثاغور

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورس

عکس قضیه فیثاغورس

اعداد فیثاغورس

فاصله دو نقطه

روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع