مثلث قائمالزاویه که در آن است را درنظر بگیرید:
در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم میگویند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
- اندازه ضلع مقابل به زاویه را با نشان میدهند.
قضیه فیثاغورس
قضیه
در هر مثلث قائمالزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.
اثبات
فرض آن استکه:
میخواهیم ثابت کنیم: (حکم)
مربعی بهضلع بهصورت زیر در نظر میگیریم:
مثلثهای زیر بهواسطه دوضلع و زاویه بینشان مساویند:
چهارضلعی مربعی است بهضلع :
تمرین
در شکل های زیر مقدار را حساب کنيد.
تمرین
در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، طول ميانه های نظير اضلاع زاويه قائم و میباشند.
طول وتر مثلث را حساب کنيد.
تمرین
ثابت کنید اعداد زیر، اعداد فیثاغورسی هستند.
دریافت مثال
عکس قضیه فیثاغورس
قضیه
اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائمالزاویه است.
اثبات
فرض آن استکه:
میخواهیم ثابت کنیم: (حکم)
مثلث قائمالزاویهای که ضلعهای زاویه قائم آن برابر و باشد، رسم میکنیم و نشان میدهیم آن مثلث با مثلث مساوی است.
دو مثلث زیر بهواسطه سهضلع بینشان مساویند:
اعداد فیثاغورس
اگر سهعدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دوتای دیگر مساوی باشد، بهعبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی مینامند.
بهعنوان نمونه اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:
تمرین
اگر اعداد فيثاغورسی باشند، ثابت کنيد اعداد زیر، نيز اعداد فيثاغورسی هستند.
فرض آن است که:
میخواهیم ثابت کنیم:
دریافت مثال
فاصله دو نقطه
قضیه
اگر و دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه بهصورت زیر محاسبه میشود:
اثبات
دریافت مثال
نکته
1- در هر مثلث قائمالزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.
2- در هر مثلث قائمالزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
3- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه نصف وتر است.
4- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه با وتر مساوی است.
اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائمالزاویه باشد، زاویه حاده دیگر نیز میشود، بنابراین مثلث قائمالزاویه به مثلث قائمالزاویه متساویالساقین تبدیل میشود:
5- در هر مثلث قائمالزاویه، ضلع مقابل به زاویه با وتر مساوی است.
6- سهعدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده میشوند.
7- قطر مربعی بهضلع برابر است با .
8- قطر مستطیلی به ابعاد و برابر است با:
9- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائمالزاویه نصف وتر است.
10- شعاع دایره محاطی مثلث قائمالزاویه برابر است با:
11- در مثلث قائمالزاویه به وتر و بهاضلاع زاویه قائمه و داریم:
12- مجموع مساحتهای هلالین با مساحت مثلث قائمالزاویه مساوی است.
13- در شکلهای زیر داریم:
14- اگر و اضلاع مجاور به زاویه قائمه و ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائمالزاویه باشد، آنگاه:
تمرین
قطر مستطیلی و عرض آن است.
طول مستطیل چقدر است؟
تمرین
در ذوزنقه قائم الزاويه ای يکی از زاويه ها و قاعده کوچک و ساق قائم آن بهترتيب و سانتی متر است.
ساق مايل و قاعده بزرگ را حساب کنيد.
ارتفاع را رسم میکنيم، چهارضلعی مستطيل است.
تمرین
اضلاع مثلثی میباشد.
مساحت مثلث را حساب کنيد.
تمرین
خط راستی دو دايره هم مرکز را قطع کرده و روی آنها وترهايی به طول و سانتی متر ايجاد کرده است.
مساحت حلقه بين دو دايره چقدر است؟
مساحت حلقه:
تمرین
مثلث متساوی الاضلاع با طول سانتی متر مفروض است.
شعاع دايره محيطی مثلث را محاسبه کنید.
مرکز دايره محيطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث میباشد.
در مثلث متساوی الاضلاع عمود منصف های هر ضلع نيمساز زاويه مقابل آن نيز هست.
تمرین
ضلع مثلث متساوی الاضلاع در شکل زیر سانتی متر است.
ارتفاع مثلث را بهدست آوريد؟
در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع نظير يک ضلع ، ميانه آن ضلع هم هست.
تمرین
در مثلث متساوی الساقين زیر، ارتفاع را رسم میکنيم.
ثابت کنيد مجموع مربعات سه ضلع مثلث مساوی است با:
طرفين تساوی های فوق را با هم جمع میکنيم:
تمرین
در شکل زیر، طول ضلع مربع است.
مطلوب است طول قطر مربعی که ضلع آن مساوی قطر مربع اول باشد.
اگر قطر مربع بزرگ را فرض کنيم، خواهيم داشت:
تمرین
ذوزنقه متساوی الساقين را در نظر بگیرید که در آن داشته باشیم:
مطلوب است محاسبه ارتفاع و اقطار ذوزنقه متساوی الساقين.
تمرین
در شکل زیر و شعاع دايره سانتی متر است.
طول پاره خط چقدر است؟
تمرین
در شکل زیر، مثلث قائم الزاويه و وسط است.
از نقطه پاره خطی بر وتر عمود میکنيم تا آن را در قطع کند. ثابت کنيد:
از به وصل میکنیم:
دریافت مثال
قضایا و روابط طولی در مثلث قائم الزاویه
فرض کنید مثلث مانند شکل زیر یک مثلث قائمالزاویه و ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:
برخی روابط طولی در مثلث فوق بهصورت زیر است:
قضیه
اثبات
نشان میدهیم که دومثلث و متشابه هستند:
قضیه
اثبات
نشان میدهیم که دو مثلث و متشابه هستند:
قضیه
اثبات
قضیه
اثبات
قضیه
اثبات
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را بهدست آورید:
تمرین
شکل زیر را در نظر بگیرید:
اگر از نقطه عمودی بر قطر رسم کنیم و پای این عمود را بنامیم، است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.
در مثلث با استفاده از فیثاغورس داریم:
برای محاسبه قطر مینویسم: