برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1400
دسته‌بندی: قضیه فیثاغورس
امتیاز:

مثلث قائم‌الزاویه ABC که در آن A^=90 است را درنظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو  

در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم می‌گویند.

  • اندازه ضلع مقابل به زاویه A را با BC=a نشان می‌دهند.
  • اندازه ضلع مقابل به زاویه B را با AC=b نشان می‌دهند.
  • اندازه ضلع مقابل به زاویه C را با AB=c نشان می‌دهند.

قضیه فیثاغورس

قضیه

در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

A^=90

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

a2=b2+c2

مربعی به‌ضلع b+c به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

مثلث‌های زیر به‌واسطه دوضلع و زاویه بین‌شان مساویند:

ABC=GMQ=FPQ=ENP=DMNMN=NP=PQ=QM=a

چهارضلعی MNPQ مربعی است به‌ضلع a:

SDEFG=b+c2=b2+2bc+c2SDEFG=4SDMN+SMNPQ=4×b×c2+a2=2bc+a2b2+2bc+c2=2bc+a2b2+c2=a2

تمرین

در شکل های زیر مقدار x را حساب کنيد.

پیمان گردلو

132=x2+52169=x2+25x2=16925x2=144x=12

پیمان گردلو

252=7x2+24x2625=49x2+576x2625=625x2x2=1x=1

تمرین

در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، طول ميانه های نظير اضلاع زاويه قائم 6 و 8 می‌باشند.

پیمان گردلو

طول وتر مثلث را حساب کنيد.

BM=6  ,  CN=8  ,  AN=c2  ,  AM=b2


AN2+AC2=CN2c22+b2=64c24+b2=64AM2+AB2=BM2b22+c2=36b24+c2=36c24+b2+b24+c2=100b2+c24+b2+c2=100a24+a2=1005a24=100a2=80a=80a=45

تمرین

ثابت کنید اعداد زیر، اعداد فیثاغورسی هستند.

3k,4k,5k ; kN

3k2+4k2=9k2+16k23k2+4k2=25k23k2+4k2=5k2

دریافت مثال

عکس قضیه فیثاغورس

قضیه

اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

AB2+AC2=BC2

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

A^=90

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که ضلع‌های زاویه قائم آن برابر b و c  باشد، رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم آن مثلث با مثلث ABC مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

A'B'2+A'C'2=B'C'2c2+b2=B'C'2AB2+AC2=BC2c2+b2=BC2  BC2=B'C'2BC=B'C'


AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C'

دو مثلث‌ زیر به‌واسطه سه‌ضلع بین‌شان مساویند:

ABC=A'B'C'A^=A^'=90

اعداد فیثاغورس

اگر سه‌عدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دو‌تای دیگر مساوی باشد، به‌عبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی می‌نامند.

 قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه 5,4,3 اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:

32+42=52

تمرین

اگر a,b,c اعداد فيثاغورسی باشند، ثابت کنيد اعداد زیر، نيز اعداد فيثاغورسی هستند.

ma,mb,mc

فرض آن‌ است که:

b2+c2=a2


می‌خواهیم ثابت کنیم:

mb2+mc2=ma2


mb2+mc2=m2b2+m2c2=m2b2+c2=m2a2=ma2

دریافت مثال

فاصله دو نقطه

قضیه

اگر A=x1y1 و B=x2y2 دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه AB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

AB=x1x22+y1y22

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

MB=CD=ODOC=x2x1MA=EF=OFOE=y1y2


AB2=MB2+MA2AB2=x2x12+y1y22AB=x2x12+y1y22AB=x2x12+y1y22

دریافت مثال

نکته

1- در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.

قضیه قیثاغورس - پیمان گردلو

2- در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

3- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 30 نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


4- 
در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 45 با 22 وتر مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائم‌الزاویه 45 باشد، زاویه حاده دیگر نیز 45 می‌شود، بنابراین مثلث قائم‌الزاویه به مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین تبدیل می‌شود:  

AB=AC=xx2+x2=a22x2=a22x=ax=12ax=22a


5-
در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 60 با 32 وتر مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

x2+a22=a2x2+a24=a2x2=a2a24x2=3a24x=32a


6-
 سه‌عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده می‌شوند.

7- قطر مربعی به‌ضلع a برابر است با a2.  

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

x2=a2+a2x2=2a2x=2a


8-
 قطر مستطیلی به ابعاد a و b برابر است با:

d=a2+b2

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


9- 
شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


10- 
شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه ABC برابر است با: 

bca+b+c

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


11-
 در مثلث قائم‌الزاویه به وتر a و به‌اضلاع زاویه قائمه b و c داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

S=PbPc=PPa    ;    P=a+b+c2


12-
 مجموع مساحت‌های هلالین با مساحت مثلث قائم‌الزاویه مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


13-
 در شکل‌های زیر داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

S1=S2+S3


14-
 اگر b و c اضلاع مجاور به زاویه قائمه و h ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویه باشد، آن‌گاه:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

1h2=1b2+1c2

تمرین

قطر مستطیلی 7.5 و عرض آن 4.5 است.

پیمان گردلو

طول مستطیل چقدر است؟

x2+4.52=7.52x2+20.5=56.25x2=56.2520.25x2=36x=6

تمرین

در ذوزنقه قائم الزاويه ای يکی از زاويه ها 135 و قاعده کوچک و ساق قائم آن به‌ترتيب 10 و 8 سانتی متر است.

ساق مايل و قاعده بزرگ را حساب کنيد.

پیمان گردلو

ارتفاع BH را رسم می‌کنيم، چهارضلعی ABHD مستطيل است.

AB^H=90HB^C=13590=45C^=45BH=HC=8x2=82+82=64+64=128x=128x=82DC=DH+HC=10+8=18

تمرین

اضلاع مثلثی 4,6,8 می‌باشد.

پیمان گردلو

مساحت مثلث را حساب کنيد.

h2=42x2h2=628x216x2=368x216x2=368x216x2=368228x+x216x2=3664x2+16x16x=44x=114


h2=16x2=161142=1612116=13516h2=13516h=3154S=12BC×h=123154×8=315

تمرین

خط راستی دو دايره هم مرکز را قطع کرده و روی آنها وترهايی به طول 10 و 26 سانتی متر ايجاد کرده است.

پیمان گردلو

مساحت حلقه بين دو دايره چقدر است؟

OB2=OH2+HB2R2=OH2+2622R2=OH2+132OD2=OH2+HD2r2=OH2+1022r2=OH2+52R2r2=16925=144


مساحت حلقه:

πR2πr2=πR2r2=144π

تمرین

مثلث متساوی الاضلاع با طول 63 سانتی متر مفروض است.

پیمان گردلو

شعاع دايره محيطی مثلث را محاسبه کنید.

مرکز دايره محيطی محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث می‌باشد.


در مثلث متساوی الاضلاع عمود منصف های هر ضلع نيمساز زاويه مقابل آن نيز هست.

B^=60OB^H=30OH=OB2OB2=OH2+BH2OB2=OB22+6322OB2=OB22+332OB2OB24=2734OB2=27OB2=36OB=6

تمرین

ضلع مثلث متساوی الاضلاع در شکل زیر 10 سانتی متر است.

پیمان گردلو

ارتفاع مثلث را به‌دست آوريد؟

در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع نظير يک ضلع ، ميانه آن ضلع هم هست. 

AC2=HC2+AH2AH2=AC2HC2AH2=10252AH2=10025AH2=75AH=75AH=53

تمرین

در مثلث متساوی الساقين زیر، ارتفاع BH را رسم می‌کنيم.

پیمان گردلو

ثابت کنيد مجموع مربعات سه ضلع مثلث مساوی است با:

CH2+2AH2+3BH2

AB=AC


BC2=BH2+HC2AB2=BH2+AH2AC2=AB2=BH2+AH2


طرفين تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنيم: 

BC2+AB2+AC2=BH2+HC2+BH2+AH2+BH2+AH2=3BH2+2AH2+CH2

تمرین

در شکل زیر، طول ضلع مربع a است. 

پیمان گردلو

مطلوب است طول قطر مربعی که ضلع آن مساوی قطر مربع اول باشد.

x2=a2+a2x2=2a2x=2a


اگر قطر مربع بزرگ را y فرض کنيم، خواهيم داشت:

y2=2a2+2a2y2=2a2+2a2y2=4a2y=2a

تمرین

ذوزنقه متساوی الساقين ABCD را در نظر بگیرید که در آن داشته باشیم:

AB=50

پیمان گردلو

مطلوب است محاسبه ارتفاع و اقطار ذوزنقه متساوی الساقين.

BF=50142=18CF2=BC2BF2=302182=900324=576CF=24AC2=AF2+CF2=14+182+242=1024+576=1600AC=40

تمرین

در شکل زیر OA^C=30 و شعاع دايره 10 سانتی متر است.

پیمان گردلو

طول پاره خط AE چقدر است؟ 

OB=AC=10OA^C=30OC=AC2=102=5OA2=AC2OC2=10252=10025OA2=75OA=53AE=OEOA=1053=523

تمرین

در شکل زیر، مثلث ABC قائم الزاويه و M وسط AC است. 

پیمان گردلو

از نقطه M پاره خطی بر وتر BC عمود می‌کنيم تا آن را در H قطع کند. ثابت کنيد:

AB2=BH2HC2

AM=MC


از M به B وصل می‌کنیم:

پیمان گردلو


AB2=BM2AM2AB2=BM2MC2AB2=BH2+MH2MH2+HC2AB2=BH2+MH2MH2HC2AB2=BH2HC2

دریافت مثال

قضایا و روابط طولی در مثلث قائم‌ الزاویه

فرض کنید مثلث ABC مانند شکل زیر یک مثلث قائم‌الزاویه و AH ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

برخی روابط طولی در مثلث فوق به‌صورت زیر است: 

قضیه

AC2=BC×HC

اثبات

نشان می‌دهیم که دومثلث ABC و AHC متشابه هستند: 

A^=H^=90C^=C^ABΔC  ~  AHΔCABΔC  ~AHΔC  AHAB=ACBC=HCACAC2=BC×HC

قضیه

AB2=BC×HB

اثبات

نشان می‌دهیم که دو مثلث AHB و ABC متشابه هستند:

A^=H^=90B^=B^ABΔC  ~  AHBΔ

ABΔC  ~HBΔA  AHAC=  ABBC=HBABAB2=BC×HB

قضیه

AH2=HB×HC

اثبات

AHΔB  ~AHΔCAHHB  =ACAB=HCAH  AH2=HB×HC

قضیه

AC2  +AB2=BC2

اثبات

AC2  +AB2=BC×HC+BC×HB=BCHC+HB=BC×BC=BC2

قضیه

AB×AC=AH×BC

اثبات

SABC=12AB×ACSABC=12AH×BC  AB×AC=AH×BC

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را به‌دست آورید: 

d=7h=5e=?

AH2=HC×HBh2=e×d52=e×7  e=257

d=5e=3b=?c=?

AC2=HC×BCb2=e×d+eb2=3(8)b2=24b=24AB2=HB×BCc2=dd+ec2=5(8)c2=40c=40

c=8b=6h=?

BC2=AB2+AC2=82+62=100BC=10AB×AC=AH×BC8×6=h×10h=8×610h=4/8

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر از نقطه A عمودی بر قطر BD رسم کنیم و پای این عمود را H بنامیم، BH=11 است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


در مثلث ABH با استفاده از فیثاغورس داریم:

AB2=AH2+HB2122=AH2+112AH2=144121AH2=23AH=23


برای محاسبه‌ قطر می‌نویسم:

AB2=BH×BD122=11×BDBD=14411

BD=DH+HB14411=DH+11DH=1441111DH=2311AD2=DH×BD=2311×14411  AD=1211  23

خرید پاسخ‌ها

بیان قضیه فیثاغور

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری