سرفصل‌های این مبحث

قضیه فیثاغورس

بیان قضیه فیثاغورس

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 26 شهریور 1400
دسته‌بندی: قضیه فیثاغورس
امتیاز:
بازدید: 86 مرتبه

مثلث قائم‌الزاویه ABC که در آن A^=90 است را درنظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو  

در این مثلث، ضلع مقابل به زاویه قائم را وتر و دو ضلع دیگر را اضلاع مجاور به زاویه قائم می‌گویند.

  • اندازه ضلع مقابل به زاویه A را با BC=a نشان می‌دهند.
  • اندازه ضلع مقابل به زاویه B را با AC=b نشان می‌دهند.
  • اندازه ضلع مقابل به زاویه C را با AB=c نشان می‌دهند.

قضیه فیثاغورس

قضیه

در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

A^=90

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

a2=b2+c2

مربعی به‌ضلع b+c به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

مثلث‌های زیر به‌واسطه دوضلع و زاویه بین‌شان مساویند:

ABC=GMQ=FPQ=ENP=DMNMN=NP=PQ=QM=a

چهارضلعی MNPQ مربعی است به‌ضلع a:

SDEFG=b+c2=b2+2bc+c2SDEFG=4SDMN+SMNPQ=4×b×c2+a2=2bc+a2b2+2bc+c2=2bc+a2b2+c2=a2

دریافت مثال

عکس قضیه فیثاغورس

قضیه

اگر در مثلثی مربع یک ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مساوی باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

فرض آن ‌است‌که:

AB2+AC2=BC2

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

A^=90

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که ضلع‌های زاویه قائم آن برابر b و c  باشد، رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم آن مثلث با مثلث ABC مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

A'B'2+A'C'2=B'C'2c2+b2=B'C'2AB2+AC2=BC2c2+b2=BC2  BC2=B'C'2BC=B'C'


AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C'

دو مثلث‌ زیر به‌واسطه سه‌ضلع بین‌شان مساویند:

ABC=A'B'C'A^=A^'=90

اعداد فیثاغورس

اگر سه‌عدد طبیعی چنان باشند که مربع یکی با مجموع مربعات دو‌تای دیگر مساوی باشد، به‌عبارتی دیگر سه عدد در رابطه فیثاغورس صدق کنند، آن اعداد را اعداد فیثاغورسی می‌نامند.

 قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه 5,4,3 اعداد فیثاغورسی هستند، زیرا:

32+42=52

دریافت مثال

فاصله دو نقطه

قضیه

اگر A=x1y1 و B=x2y2 دو نقطه باشند، فاصله دو نقطه AB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

AB=x1x22+y1y22

اثبات

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

MB=CD=ODOC=x2x1MA=EF=OFOE=y1y2


AB2=MB2+MA2AB2=x2x12+y1y22AB=x2x12+y1y22AB=x2x12+y1y22

دریافت مثال

نکته

1- در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دیگر برابر است.

2- در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

3- در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 30 نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


4- 
در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 45 با 22 وتر مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر یکی از زوایای حاده مثلث قائم‌الزاویه 45 باشد، زاویه حاده دیگر نیز 45 می‌شود، بنابراین مثلث قائم‌الزاویه به مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین تبدیل می‌شود:  

AB=AC=xx2+x2=a22x2=a22x=ax=12ax=22a


5-
در هر مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل به زاویه 60 با 32 وتر مساوی است. 

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

x2+a22=a2x2+a24=a2x2=a2a24x2=3a24x=32a


6-
 سه‌عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند، اعداد فیثاغورسی نامیده می‌شوند.

7- قطر مربعی به‌ضلع a برابر است با a2.  

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

x2=a2+a2x2=2a2x=2a


8-
 قطر مستطیلی به ابعاد a و b برابر است با:

d=a2+b2

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


9- 
شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم‌الزاویه نصف وتر است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


10- 
شعاع دایره محاطی مثلث قائم‌الزاویه ABC برابر است با: 

bca+b+c

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


11-
 در مثلث قائم‌الزاویه به وتر a و به‌اضلاع زاویه قائمه b و c داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

S=PbPc=PPa    ;    P=a+b+c2


12-
 مجموع مساحت‌های هلالین با مساحت مثلث قائم‌الزاویه مساوی است.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


13-
 در شکل‌های زیر داریم:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

S1=S2+S3


14-
 اگر b و c اضلاع مجاور به زاویه قائمه و h ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویه باشد، آن‌گاه:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

1h2=1b2+1c2

دریافت مثال

روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه

فرض کنید مثلث ABC مانند شکل زیر یک مثلث قائم‌الزاویه و AH ارتفاع وارد بر وتر آن باشد:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

برخی روابط طولی در مثلث فوق به‌صورت زیر است: 

AC2=BC×HC

اثبات

نشان می‌دهیم که دومثلث ABC و AHC متشابه هستند: 

A^=H^=90C^=C^ABΔC  ~  AHΔCABΔC  ~AHΔC  AHAB=ACBC=HCACAC2=BC×HC

AB2=BC×HB

اثبات

نشان می‌دهیم که دو مثلث AHB و ABC متشابه هستند:

A^=H^=90B^=B^ABΔC  ~  AHBΔ

ABΔC  ~HBΔA  AHAC=  ABBC=HBABAB2=BC×HB

AH2=HB×HC

اثبات

AHΔB  ~AHΔCAHHB  =ACAB=HCAH  AH2=HB×HC

AC2  +AB2=BC2

اثبات

AC2  +AB2=BC×HC+BC×HB=BCHC+HB=BC×BC=BC2

AB×AC=AH×BC

اثبات

SABC=12AB×ACSABC=12AH×BC  AB×AC=AH×BC

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

بر اساس اطلاعات زیر، مجهول را به‌دست آورید: 

d=7h=5e=?

AH2=HC×HBh2=e×d52=e×7  e=257

d=5e=3b=?c=?

AC2=HC×BCb2=e×d+eb2=3(8)b2=24b=24AB2=HB×BCc2=dd+ec2=5(8)c2=40c=40

c=8b=6h=?

BC2=AB2+AC2=82+62=100BC=10AB×AC=AH×BC8×6=h×10h=8×610h=4/8

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو

اگر از نقطه A عمودی بر قطر BD رسم کنیم و پای این عمود را H بنامیم، BH=11 است. اندازه عمود رسم شده، طول قطر مستطیل و اندازه عرض مستطیل را محاسبه کنید.

قضیه فیثاغورس - پیمان گردلو


در مثلث ABH با استفاده از فیثاغورس داریم:

AB2=AH2+HB2122=AH2+112AH2=144121AH2=23AH=23


برای محاسبه‌ قطر می‌نویسم:

AB2=BH×BD122=11×BDBD=14411

BD=DH+HB14411=DH+11DH=1441111DH=2311AD2=DH×BD=2311×14411  AD=1211  23

مثال‌ها و جواب‌ها

بیان قضیه فیثاغور

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید