تغییر مبنا

آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: مبنای شمارش
امتیاز:

دسته‌بندی زیر را در نظر بگیرید:

تغییر مبنا - پیمان گردلو

در این‌جا دو‌دسته ده‌تایی و یک‌دسته هشت‌تایی موجود است که عدد28 را برای ما به‌وجود می‌آورند.

تمرین

عدد 1354در نظر بگیرید:  

جایگاه ارقام آن را مشخص کنید.

عددی است چهار رقمی که یکان آن 4، ده‌گان آن 5، صدگان آن 5 و هزارگان آن 1 می‌باشد. 

ارزش هر مکان را مشخص کنید.

هر یک از ارقام این عدد در مکانی خاص قرار گرفته و هر مکان برای خودش ارزشی جداگانه دارد. 

1354=4×100+5×101+3×102+1×103


این طرز نوشتن را بسط عدد 1354 می‌نامیم.  

سوال اول- چرا در عدد 1354 توان‌های عدد 10 مورد نظر بودند؟

بهترین دلایلی که برای انتخاب توان‌های مختلف 10 می‌توان آورد، عبارتند از: 

تعداد انگشتان دو دست برابر 10 است.

عدد 10 را مبنای اعشاری (دهدهی) گویند.  

سوال دوم- آیا می‌توانستیم توان‌های عدد دیگری به‌غیر از 10 را مورد توجه قرار دهیم؟

می‌توانیم هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 را مبنا قرار دهیم.

تمرین

دسته‌بندی زیر را در نظر بگیرید:

تغییر مبنا - پیمان گردلو

مهره‌های شکل فوق را در مبنای عدد 3 دسنه‌بندی کنید.

یک‌دسته 33=27 موجود است.


یک‌دسته 32=9 موجود است.


یک‌دسته 31=3 موجود است.


دو‌دسته 30=1 موجود است.

چه عددی با دسته‌بندی‌های انجام شده در مبنای 3 تولید می‌شود؟

این مهره‌ها با دسته‌بندی‌های انجام شده، عدد 1112را در مبنای 3 می‌سازند.

11123=2×30+1×31+1×32+1×3311123=2+3+9+2711123=4110


تعداد مهره‌ها در مبنای دهدهی 41 می‌باشد.

حالت مختلف تغییر مبنا

حالت اول) عددی در مبنای 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنایی غیر از 10 ببریم.  

برای بردن عددی از مبنای 10 به مبناهای دیگر، کافی است آن عدد به‌طور متوالی بر مبنای جدید تقسیم کنیم تا جایی که خارج قسمت از مقسوم‌علیه کوچک‌تر شود، پس آخرین خارج قسمت و همه باقیمانده‌ها را می‌نویسیم.

دریافت مثال

 حالت دوم) عددی در مبنای غیر 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنای 10 ببریم.  

برای بردن یک عدد از مبنای غیر 10 به مبنای 10 ابتدا عدد را بسط داده و محاسبات را انجام می‌دهیم، عدد به‌دست آمده در مبنای 10 می‌باشد.

دریافت مثال

حالت سوم) عددی در مبنای غیر 10 داده شده و می‌خواهیم این عدد را به مبنایی غیر از 10 ببریم.  

ابتدا عدد را به مبنای 10 می‌بریم، سپس عدد حاصل را به مبنایی که می‌خواهیم، می‌بریم.

دریافت مثال

نکته

1- اگر مبنای عددی ذکر نشود، منظور مبنای 10 خواهد بود.

2- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 4 کافی‌است از سمت راست عدد، دو رقم دو رقم جدا کنیم سپس به‌جای هر عدد دو رقمی در مبنای 2 مقدار آن در مبنای 4 را بنویسیم.

تمرین

عدد 1101102 را مستقیما به مبنای 4 ببرید.

112012102=1×20+1×2131×20+0×2110×20+1×212=3124

نکته

3- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 2 به مبنای 8 کافی‌است از سمت راست عدد، سه رقم سه رقم جدا کنیم سپس به‌جای هر عدد دو رقمی در مبنای 2 مقدار آن در مبنای 8 را بنویسیم.

تمرین

عدد 1101102 را مستقیما به مبنای 8 ببرید.

11021102=0×20+1×21+1×2260×20+1×21+1×226=668

نکته

4- به‌طور کلی در مبنای n، عددی بر n-1 بخش‌پذیر است که مجموع ارقام آن بر n-1 بخش‌پذیر باشد.  

5- در مبنای دهدهی هیچ رقمی کم‌تر از صفر و بیش‌تر از 9 نیست، به‌عبارتی اگر a یک رقم در مبنای دهدهی باشد، داریم:

0a9

به‌طور کلی در مبنای عدد طبیعی n>1، رقم a باید در شرط زیر صدق کند:   

0an1


6- اگر عدد abcde¯ در مبنای x نوشته شده باشد، برای نوشتن این عدد در مبنای 10 به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:  

abcde¯x=ax4+bx3+cx2+dx1+ex0=ax4+bx3+cx2+dx+e


7- اگر n عددی طبیعی باشد، حاصل جمع زیر: 

20+21+22+...+2n

از طریق مبنا قابل محاسبه است و مقدار آن 2n+1-1 می‌شود. 


8- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 4 به مبنای 2 هر رقم را به‌صورت یک عدد دو رقمی در مبنای 2 می‌نویسیم.

اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر می‌گذاریم.

تمرین

عدد 132214 را مستقیما به مبنای 2 ببرید.

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای 2 ببریم و به‌صورت یک عدد دو رقمی بنویسیم: 

 13221 0111101001132214=01111010012=1111010012

نکته

9- برای تبدیل مستقیم یک عدد از مبنای 8 به مبنای 2 هر رقم را به‌صورت یک عدد سه رقمی در مبنای 2 می‌نویسیم. 

اگر نیاز شد سمت چپ عدد هم صفر می‌گذاریم.

تمرین

عدد 12345678 را مستقیما به مبنای 2 ببرید.

در این‌جا هر رقم را جداگانه باید به مبنای 2 ببریم و به‌صورت یک عدد سه رقمی بنویسیم: 

   1234567   00101001110010111011112345678=0010100111001011101112=10100111001011101112

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تغییر مبنا

3,600تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید