سرفصل‌های این مبحث

تشابه در هندسه

قضایای تشابه

قضایای تشابه

آخرین ویرایش: 01 مهر 1404

دسته‌بندی: تشابه در هندسه

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

دو $n$ ضلعی در صورتی متشابه هستند که:

زاویه‌هایشان دوبه‌دو مساوی باشند.
اضلاع‌شان متناسب باشند.

تمرین

نشان دهيد دو مربع همواره متشابه هستند.

$\begin{array}{l} \hat{A} = {\hat{A}}^{'}, \hat{B} = {\hat{B}}^{'}, \hat{C} = {\hat{C}}^{'}, \hat{D} = {\hat{D}}^{'} \end{array}$

$\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}} = \frac{m}{n}$

نشان دهيد هر دو $n$ ضلعی منتظم، متشابه هستند.

می‌دانيم هر $n$ ضلعی منتظم دارای $n$ زاويه مساوی و $n$ ضلع برابر می‌باشد.

بنابراين می‌توان گفت هر دو $n$ ضلعی منتظم زوايای مساوی دارند و اضلاعشان نيز متناسبند، لذا متشابه هستند.

آيا می‌توان گفت هر دو مستطيل با هم متشابهند؟

خير، ممکن است اضلاع دو مستطيل متناسب نباشند.

به‌عنوان نمونه:

$\frac{2}{4} \neq \frac{5}{7}$

آيا می‌توان گفت هر دو لوزی با هم متشابهند؟

خير، زيرا ممکن است زاويه هايشان مساوی نباشد.

دو چند ضلعی متشابهند و نسبت اضلاع يکی بر ديگری $2$ به $5$ است. اگر يک ضلع يکی از دو چند ضلعی $20$ سانتی متر باشد، ضلع ديگری چقدر است؟

حالت اول)

$\frac{2}{5} = \frac{x}{20} \Rightarrow x = \frac{20 \times 2}{5} = 8 c m$

حالت دوم)

$\frac{2}{5} = \frac{20}{y} \Rightarrow y = \frac{20 \times 5}{2} = 50 c m$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مثلث‌های متشابه

تشابه، طول ‌پاره‌خط‌ها را به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌کند ولی اندازه زوایا را تغییر نمی‌دهد.

با توجه به مفهوم تشابه، دو مثلث $A \overset{△}{B} C$ و $A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'}$ وقتی متشابه هستند:

هرگاه زوایای متناظر با هم برابر باشند و نسبت اضلاع متناظرشان در دو مثلث یک‌سان باشد، یعنی داشته باشیم:

$A \overset{△}{B} C ~ A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \hat{A} = {\hat{A}}^{'}, \hat{B} = {\hat{B}}^{'}, \hat{C} = {\hat{C}}^{'} \\ \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} \end{cases}$

در دو مثلث متشابه، دو ضلع مقابل به دو زاویه مساوی را اضلاع متناظر می‌نامند.

نسبت اضلاع متناظر در دو مثلث را نسبت تشابه دو مثلث می‌نامند.

قضایای تشابه

قضیه

قضیه اساسی تشابه مثلث

اگر خطی به موازات یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن را قطع کند، با آن دو ضلع مثلثی می‌سازدکه با مثلث اصلی متشابه است.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$D E ||B C$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A \overset{△}{D} E ~ A \overset{△}{B} C$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} D E ||B C \\ A B (m o var a b) \end{cases}〉 \hat{D} = \hat{B} \\ \{\begin{cases} D E ||B C \\ A C (m o var a b) \end{cases}〉 \hat{E} = \hat{C} \\ \hat{A} = \hat{A} \end{array}$

از قضایای قبل می‌دانیم:

$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

بنابراین اضلاع دو مثلث متناسبند و زوایایشان دوبه‌دو مساویند، لذا:

$A \overset{△}{D} E ~ A \overset{△}{B} C$

قضیه

اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{D} \\ \hat{B} = \hat{E} \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

پاره خط‌های $A M$ و $A N$ را به‌ترتیب مساوی $D E$ و $D F$ بر اضلاع $A B$ و $A C$ جدا کرده و از $M$ به $N$ وصل می‌کنیم:

$\{\begin{cases} A M = D E \\ \hat{A} = \hat{D} \\ A N = D F \end{cases}$

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

$A \overset{△}{M} N = D \overset{△}{E} F \Rightarrow \hat{M} = \hat{E}$

$\{\begin{cases} \hat{M} = \hat{E} \\ \hat{B} = \hat{E} \end{cases}$

$\hat{M} = \hat{B}$

$\Rightarrow M N ||B C$

$\Rightarrow A \overset{△}{M} N ~ A \overset{△}{B} C$

$\Rightarrow D \overset{△}{E} F ~ A \overset{△}{B} C$

قضیه

اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلثی دیگر متناسب بوده و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$\{\begin{cases} \hat{A} = \hat{D} \\ \frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} \end{cases}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

پاره خط‌های $A M$ و $A N$ را به‌ترتیب مساوی $D E$ و $D F$ بر اضلاع $A B$ و $A C$ جدا کرده و از $M$ به $N$ وصل می‌کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} A M = D E \\ \hat{A} = \hat{D} \\ A N = D F \end{cases}$

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

$A \overset{△}{M} N = D \overset{△}{E} F$

$\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C}$

$\Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$

$\Rightarrow M N ||B C$

$\Rightarrow A \overset{△}{M} N ~ A \overset{△}{B} C$

$\Rightarrow D \overset{△}{E} F ~ A \overset{△}{B} C$

قضیه

اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

$\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} = \frac{E F}{B C}$

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

$A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

$\begin{array}{l} \frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} \Rightarrow M N ||B C \Rightarrow A \overset{△}{M} N ~ A \overset{△}{B} C; (1) \end{array}$

$\{\begin{cases} \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} \\ \frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} = \frac{E F}{B C} \end{cases}$

$\frac{M N}{B C} = \frac{E F}{B C} \Rightarrow M N = E F$

$\{\begin{cases} A M = D E \\ A N = D F \\ M N = E F \end{cases}$

دو مثلث زیر از طریق سه ضلع بینشان برابرند:

$\begin{array}{l} A \overset{△}{M} N = D \overset{△}{E} F; (2) \\ (1), (2) : A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F \end{array}$

تمرین

يک زاويه حاده از مثلث قائم الزاويه ای با يک زاويه حاده از مثلث قائم الزاويه ديگر برابر است.

چرا دو مثلث متشابه هستند؟

$\{\begin{cases} \hat{B} = \hat{E} \\ \hat{A} = \hat{D} \end{cases}〉 A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

تمرین

دو ضلع پهلوی زاويه قائمه از مثلث قائم الزاويه ای با دو ضلع پهلوی زاويه قائم از مثلث قائم الزاويه ديگر متناسب هستند.

چرا دو مثلث متشابه هستند؟

$\{\begin{cases} \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} \\ \hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}〉 A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید.

$A B^{2} = B C \times B H$

نشان می‌دهيم دو مثلث $A B C, A H B$ متشابه هستند.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{A} = {\hat{H}}_{1} \\ \hat{B} = \hat{B} \end{cases} \\ A \overset{△}{H} B ~ A \overset{△}{B} C \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B} \\ \Rightarrow A B \times A B = B H \times B C \\ \Rightarrow A B^{2} = B H \times B C \end{array}$

تمرین

در شکل زیر $C B$ بر دايره مماس است:

ثابت کنید.

$B C^{2} = A C \times C D$

در شکل فوق، از $B$ به $D$ وصل می‌کنيم:

$\begin{array}{l} A \hat{D} B = \frac{\overset{⏜}{A B}}{2} = \frac{180^{^{\circ}}}{2} = 90^{^{\circ}} \Rightarrow C \hat{D} B = 90^{^{\circ}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A \hat{B} C = C \hat{D} B = 90^{^{\circ}} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \overset{△}{B} C ~ B \overset{△}{C} D \\ \Rightarrow \frac{B C}{A C} = \frac{C D}{B C} \\ \Rightarrow B C^{2} = A C \times C D \end{array}$

تمرین

ثابت کنيد در دو مثلث متشابه، نسبت محيط ها، مساوی با نسبت تشابه است.

نسبت تشابه را $k$ می‌گيريم.

$\begin{array}{l} A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F \\ \Rightarrow \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = K \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{c}{f} = \frac{b}{e} = \frac{a}{d} = k \\ \Rightarrow \frac{c + b + a}{f + e + d} = \frac{a}{d} = k \end{array}$

ثابت کنيد در هر مثلث قائم الزاويه مربع ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب دو قطعه حادث بر وتر.

می‌خواهیم ثابت کنیم:

$A H^{2} = B H \times C H$

نشان می‌دهيم دو مثلث $A H B, A H C$ متشابهند.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{B} + \hat{C} = 90^{\circ} \\ B + {\hat{A}}_{1} = 90^{^{\circ}} \end{cases}〉 \{\begin{cases} {\hat{A}}_{1} = \hat{C} \\ {\hat{H}}_{1} = {\hat{H}}_{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \overset{△}{H} B ~ A \overset{△}{H} C \\ \Rightarrow \frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H \times A H = B H \times C H \\ \Rightarrow A H^{2} = B H \times C H \end{array}$

ثابت کنيد در هر مثلث قائم الزاويه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر است.

ارتفاع وارد بر وتر را رسم می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} {\hat{H}}_{1} = A \\ \hat{B} = \hat{B} \end{cases}〉 A \overset{△}{H} B ~ A \overset{△}{B} C \end{array}$

$\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B} \Rightarrow A B^{2} = B C \times B H; (Ι)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} {\hat{H}}_{2} = \hat{A} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases}〉 A \overset{△}{H} C ~ A \overset{△}{B} C \end{array}$

$\frac{A C}{B C} = \frac{C H}{A C} \Rightarrow A C^{2} = B C \times C H; (Ι Ι)$

طرفين $(ι), (ι ι)$ را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} A B^{2} + A C^{2} = (B C \times B H) + (B C \times C H) \end{array}$

$\Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = B C \times (B H + C H)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = B C \times B C \\ \Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} \end{array}$

ثابت کنيد در دو چهار ضلعی متشابه، نسبت قطرهای متناظر با نسبت اضلاع مساوی است.

$\begin{array}{l} A B C D ~ A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \Rightarrow \{\begin{cases} \hat{B} = {\hat{B}}^{'} \\ \frac{B A}{B^{'} A^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} \end{cases} \end{array}$

$A \overset{△}{B} C ~ A^{'} \overset{△}{B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}}$

ثابت کنيد در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع های متناظر با نسبت تشابه و نسبت مساحت های دو مثلث با مجذور نسبت تشابه برابر است.

فرض می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = k \end{array}$

$\begin{array}{l} A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F; \{\begin{cases} \hat{B} = \hat{E} \\ \hat{H} = {\hat{H}}^{'} = 90^{^{\circ}} \end{cases} \end{array}$

$A \overset{△}{H} B ~ D H^{'} E \Rightarrow \frac{A H}{D H^{'}} = \frac{A B}{D E} = k$

$\frac{S (A \overset{△}{B} C)}{S (D \overset{△}{E} F)} = \frac{\frac{1}{2} \times A H \times B C}{\frac{1}{2} \times D H^{'} \times E F} = \frac{A H}{D H^{'}} \times \frac{B C}{E F} = k \times k = k^{2}$

ثابت کنيد اگر وتر و يک ضلع از مثلث قائم الزاويه ای با وتر و يک ضلع از مثلث قائم الزاويه ديگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

در شکل فوق داریم:

$\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C}$

می‌خواهیم ثابت کنیم:

$D \overset{△}{E} F ~ A \overset{△}{B} C$

پاره خط های $A N, A M$ را به‌ترتيب مساوی $D F, D E$ بر اضلاع $A C, A B$ جدا کرده و از $M$ به $N$ وصل می‌کنيم، در اين صورت:

$\begin{array}{l} \frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} \\ \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M N ||B C \\ \Rightarrow A \overset{△}{M} N ~ A \overset{△}{B} C; (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} M N ||B C \\ C B ⊥ A B \end{cases}〉 N M ⊥ A B \Rightarrow \hat{M} = 90^{^{\circ}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A N = D F \\ A M = D E \end{cases}〉 A \overset{△}{M} N = D \overset{△}{E} F; (Ι Ι) \end{array}$

$(Ι), (Ι Ι) : D \overset{△}{E} F ~ A \overset{△}{B} C$

تمرین

نسبت اضلاع دو پنج ضلعی متشابه برابر $m$ می‌باشد.

ثابت کنيد نسبت مساحت های آنها برابر $m^{2}$ است.

$\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{D E}{D^{'} E^{'}} = \frac{A E}{A^{'} E^{'}} = m$

$A \overset{△}{B} C ~ A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'} \Rightarrow \frac{S (A \overset{△}{B} C)}{S (A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'})} = m^{2} \Rightarrow S (A \overset{△}{B} C) = m^{2} \times S (A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'})$

$A \overset{△}{C} D ~ A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'} \Rightarrow \frac{S (A \overset{△}{C} D)}{S (A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'})} = m^{2} \Rightarrow S (A \overset{△}{C} D) = m^{2} \times S (A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'})$

$A \overset{△}{D} E ~ A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'} \Rightarrow \frac{S (A \overset{△}{D} E)}{S (A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'})} = m^{2} \Rightarrow S (A \overset{△}{D} E) = m^{2} \times S (A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'})$

$\begin{array}{l} \frac{S (A B C D E)}{S (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{S (A \overset{△}{B} C) + S (A \overset{△}{C} D) + S (A \overset{△}{D} E)}{S (A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'}) + S (A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'}) + S (A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{m^{2} S (A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'}) + m^{2} S (A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'}) + m^{2} S (A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'})}{S (A^{'} \overset{△}{B^{'}} C^{'}) + S (A^{'} \overset{△}{C^{'}} D^{'}) + S (A^{'} \overset{△}{D^{'}} E^{'})} \end{array}$

$= m^{2}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر $B C ||D E$ باشد، اندازه پاره‌خط‌های $D E$ و $C A$ را به‌دست آورید.

دو مثلث $A B C$ و $A D E$ را در نظر می‌گیریم:

$\{\begin{cases} B C ∥ D E \\ B D (m o var a b) \end{cases}〉 \hat{B} = \hat{D}$

حالا می‌توانیم بنویسم:

$\{\begin{cases} {\hat{A}}_{1} = {\hat{A}}_{2} \\ \hat{B} = \hat{D} \end{cases}$

دو مثلث زیر از طریق دو زاویه و ضلع بینشان متشابهند:

$A \overset{Δ}{B} C ~ A \overset{Δ}{D} E \Rightarrow \frac{B C}{D E} = \frac{A C}{A E} = \frac{A B}{A D}$

با جایگزینی مقادیر معلوم در نسبت تشابه می‌نویسم:

$\frac{21}{D E} = \frac{A C}{18} = \frac{33}{22} = \frac{3}{2}$

$\{\begin{cases} \frac{21}{D E} = \frac{3}{2} \Rightarrow D E = 14 \\ \frac{A C}{18} = \frac{3}{2} \Rightarrow A C = 27 \end{cases}$

تمرین

در هر یک از شکل‌های زیر، تشابه مثلث‌ها را ثابت کنید و مقادیر $x$ و $y$ را محاسبه کنید:

$\frac{2 a}{a} = \frac{2 b}{b} = \frac{2 c}{c} = 2$

سه ضلع متناسب و دو مثلث متشابه هستند، پس زوایای متناظر آنها برابرند:

$x + 60 ° + 20 ° = 180^{\circ} \Rightarrow x = 100 °$

$\{\begin{cases} \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ {\hat{c}}_{1} = {\hat{c}}_{2} \end{cases}$

دو ضلع متناسب و زاویه‌ بین آنها برابرند پس دو مثلث متشابه‌اند:

$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{2_{/} 5}{x} \Rightarrow \frac{2_{/} 5}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 5$

$\{\begin{cases} {\hat{c}}_{1} = {\hat{c}}_{2} \\ \hat{B} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}$

دو مثلث به حالت دو زاویه متشابه‌اند، پس سه ضلع متناسب هستند:

$\frac{x}{16} = \frac{\frac{20}{3}}{y} = \frac{4}{12}$

$\{\begin{cases} \frac{x}{16} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{16}{3} \\ \frac{\frac{20}{3}}{y} = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 20 \end{cases}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

نسبت محیط‌ها و مساحت‌های دو مثلث قائم‌الزاویه را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} {\hat{c}}_{1} = {\hat{c}}_{2} \\ \hat{B} = \hat{D} = 90^{\circ} \end{cases}$

دو مثلث $A B C$ و $D E C$ به حالت دو زاویه متشابه‌اند:

$\frac{E D}{A B} = \frac{D C}{B C} = \frac{E C}{A C} = \frac{15}{5}$

$\{\begin{cases} \frac{E D}{A B} = 3 \Rightarrow E D = 3 A B \\ \frac{D C}{B C} = 3 \Rightarrow D C = 3 B C \\ \frac{E C}{A C} = 3 \Rightarrow E C = 3 A C \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{P_{E D C}}{P_{A B C}} = \frac{E D + D C + E C}{A B + B C + A C} = \frac{3 A B + 3 B C + 3 A C}{A B + B C + A C} = \frac{3 (A B + B C + A C)}{(A B + B C + A C)} = 3 \end{array}$

$\frac{S_{E D C}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} (E D) (D C)}{\frac{1}{2} (A B) (B C)} = \frac{\frac{1}{2} (3 A B) (3 B C)}{\frac{1}{2} (A B) (B C)} = 9$

تمرین

ذوزنقه $A B C D$ مفروض است.

از نقطه $O$ محل تلاقی قطرها دو خط به موازات اضلاع $B C, A D$ رسم می‌کنيم تا قاعده $A B$ را در نقاط $M$ و $N$ قطع کنند.

ثابت کنید $A M = B N$ .

$\begin{array}{l} B \overset{△}{A} D : O M ||A D \Rightarrow \frac{B M}{A B} = \frac{B O}{B D} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \overset{△}{B} C : O N ||B C \Rightarrow \frac{A N}{A B} = \frac{A O}{A C} \end{array}$

$\begin{array}{l} A \overset{△}{O} B ~ D \overset{△}{O} C \Rightarrow \frac{B O}{O D} = \frac{A O}{O C} \Rightarrow \frac{B O}{B D} = \frac{A O}{A C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{B M}{A B} = \frac{A N}{A B} \\ \Rightarrow B M = A N \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B M + M N = A N + M N \\ \Rightarrow B N = A M \end{array}$

تمرین

اضلاع دو مثلث $D E F, A B C$ دو به دو موازيند.

ثابت کنيد دو مثلث متشابه هستند.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{E} = \hat{M} \\ \hat{B} = \hat{M} \end{cases}〉 \hat{B} = \hat{E} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{F} = \hat{N} \\ \hat{C} = \hat{N} \end{cases}〉 \hat{C} = \hat{F} \end{array}$

$A \overset{△}{B} C ~ D \overset{△}{E} F$

تمرین

در شکل زير $B C$ برابر نصف شعاع می‌باشد.

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A B = 2 R \\ D C ⊥ A C \end{array}$

ثابت کنید.

$A E \times A D = 5 R^{2}$

از $B$ به $E$ وصل می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \hat{E} = \hat{C} \\ \hat{A} = \hat{A} \end{cases}〉 A \overset{△}{E} B ~ A \overset{△}{C} D \Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A D} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A D} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A E \times A D = A C \times A B; B C = \frac{1}{2} O B \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A E \times A D = \frac{5}{2} R \times 2 R \\ \Rightarrow A E \times A D = 5 R^{2} \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق داریم:

$B D ⊥ A B, A C ⊥ A B$

چرا دو مثلث $D A B, C A B$ متشابه هستند؟

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{B D}{A B} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \\ \frac{A B}{A C} = \frac{21}{31.5} = \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{B D}{A B} = \frac{A B}{A C} \\ B \hat{A} C = A \hat{B} D = 90^{^{\circ}} \end{cases} \\ \Rightarrow C \overset{△}{A} B ~ D \overset{△}{A} B \end{array}$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

آيا دو مثلث $B C D, A B C$ متشابه هستند؟

$\begin{array}{l} \frac{A B}{B C} = \frac{1.6}{4} = \frac{2}{5} \\ \frac{A C}{B D} = \frac{5}{12.5} = \frac{2}{5} \\ \frac{B C}{C D} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \end{array}$

$\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{B D} = \frac{B C}{C D} \Rightarrow A \overset{△}{B} C ~ B \overset{△}{C} D$

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنيد دو مثلث $A B C, C D E$ متشابه هستند و نسبت اضلاع دو مثلث را بنويسيد.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{C E}{C A} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \frac{C D}{C B} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{C E}{C A} = \frac{C D}{C B} \\ \hat{C} = \hat{C} \end{cases} \\ \Rightarrow C \overset{△}{D} E ~ C \overset{△}{A} B \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- دو $n$ ضلعی را متشابه گویند درصورتی‌که زوایای آنها دوبه‌دو مساوی بوده و اضلاعشان متناسب باشد.

2- در مثلث $A B C$ اگر $D E ||B C$ باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \\ \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{B D}{A B} = \frac{C E}{A C} \\ \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \neq \frac{D E}{B C} \end{array}$

3-دو لوزی که یک زاویه مساوی داشته باشند، متشابه هستند.

4- دو مستطیل متشابه نیستند.

5- در شکل زیر داریم:

$\{\begin{cases} A H^{2} = B H \times C H \\ b^{2} = a \times C H \\ c^{2} = a \times B H \end{cases}$

6- دو مثلث متساوی‌الساقین که زاویه برابر داشته باشند، همواره متشابه نیستند.

7- در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع‌های متناظر با نسبت اضلاع (نسبت تشابه) برابر است.

8- در دو مثلث متشابه نسبت نیمسازهای متناظر با نسبت تشابه برابر است.

9- در دو مثلث متشابه نسبت میانه‌های متناظر با نسبت تشابه برابر است.

10- در دو مثلث متشابه، نسبت محیط‌ها با نسبت تشابه برابر است.

11- در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت تشابه برابر است.

12- به‌طور کلی نسبت محیط‌های دو $n$ ضلعی متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

13- به‌طور کلی نسبت مساحت‌های دو $n$ ضلعی متشابه با مجذور نسبت اضلاع مساوی است.

14- نسبت قطرهای متناظر هر چند ضلع متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

15- اگر $A B = A C$ باشد، آن‌گاه:

$A B^{2} = A D \times A E$

16- در شکل زیر:

$x^{2} = y . z$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

در نیم دایره زیر اگر $\sin α = 0.8$ باشد، مقدار $\frac{B E}{E F}$ کدام است؟

$1.2$
$1.3$
$1.4$
$1.5$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور تجربی اردیبهشت 1404

در مثلث $A B C$ ، اندازه زاویه $\overset{\land}{A}$ دو برابر زاویه $\overset{\land}{B}$ است.

اگر $A C = 5$ و $B C = 7$ باشد، اندازه ضلع $A B$ کدام است؟

$\begin{array}{l} 5.2 \end{array}$
$\begin{array}{l} 5.25 \end{array}$
$\begin{array}{l} 4.75 \end{array}$
$4.8$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

کنکور ریاضی اردیبهشت 1403

در شکل زیر $\overset{\land}{D A E} = \overset{\land}{A C D}$ و $B E = D C$ است.

اندازه $D C$ کدام می‌تواند باشد؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

در متوازی الاضلاع شکل زیر، $A D = 14$ و $B F = 6$ و $A E = 8$ است.

اندازه ارتفاع $A F$ کدام است؟

$16$
$14$
$12$
$10$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

کنکور ریاضی 1402

شکل زیر را در نظر بگیرید:

درشکل فوق، اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} \overset{\land}{A B F} = \overset{\land}{C A E} = \overset{\land}{B C D} \\ D F = 2 / 5 \\ E F = 3 \end{cases}$

طول $A B$ کدام است؟

$8.6$
$7.5$
$10.5$
$9.6$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

دو آجر یکسان مطابق شکل قرار گرفته‌اند.

ارتفاع بلندترین نقطه از سطح زمین چقدر است؟

$9.5$
$9.6$
$9.7$
$9.8$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

در شکل زیر اگر $B C = 2 A D$ باشد، مقدار $x$ را کدام گزینه است؟

$9 °$
$10 °$
$11 °$
$12 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

خط $d$ بر دایره مثلثاتی زیر در نقطه $A$ مماس است.

طول BC کدام است؟

$1 - \frac{1}{\sin 36^{\circ}}$
$\frac{1}{\sin 36^{\circ}} - 1$
$\frac{1}{\sin 36^{\circ}}$
$\sin 36^{\circ}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 9

در مثلث زیر $A B = A C, A D = B C$ است.

مقدار $\overset{\land}{B D C}$ کدام است؟

$28 °$
$30 °$
$32 °$
$34 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 10

در شکل زیر $D C$ کدام است؟

$9.5$
$10.6$
$11.7$
$12.8$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 11

با توجه به شکل زیر اندازه زاویه منفرجه $\overset{\land}{A C B}$ کدام است؟

$85 °$
$95 °$
null
null

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 12

آزمون ریاضی آمریکا 2023

مثلث $A B C$ قائم الزاویه و متساوی الساقین است.

نقطه $P$ داخل مثلث است، به‌طوری که:

$∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A$

مساحت مثلث $A B C$ کدام است؟

$225$
$226$
$227$
$228$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 13

المپیاد مقدماتی ریاضی

مجموع مساحت سه مربع زیر کدام گزینه است؟

$53$
$54$
$55$
$56$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 14

المپیاد ریاضی

در شکل زیر مساحت شکل رنگ شده کدام گزینه است؟

$165$
$166$
$167$
$168$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 15

المپیاد ریاضی

در شکل زیر اگر $B D = D C = D E = D F$ باشد، مساحت ناحیه قرمز رنگ کدام یک از گزینه های زیر است؟

$10$
$11$
$12$
$13$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 16

المپیاد ریاضی

در شکل زیر طول پاره خط $y$ کدام گزینه زیر است؟

$2 \sqrt{5}$
$3 \sqrt{5}$
$4 \sqrt{5}$
$5 \sqrt{5}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 17

المپیاد ریاضی

در شکل زیر اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A B = E C \\ A D = D C \end{array}$

زاویه $θ$ کدام یک از گزینه های زیر است؟

$15 °$
$30 °$
$45 °$
$60 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 18

المپیاد ریاضی

مساحت مربع $A B C D$ کدام گزینه است؟

$85.2$
$86.2$
$87.2$
$88.2$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 19

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$\frac{129 - 25 π}{2}$
$\frac{131 - 25 π}{2}$
$\frac{133 - 25 π}{2}$
$\frac{135 - 25 π}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 20

المپیاد ریاضی

مقدار $α$ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$15 °$
$30 °$
$45 °$
$60 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 21

المپیاد ریاضی

مقدار $θ$ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$30 °$
$35 °$
$45 °$
$55 °$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 22

المپیاد ریاضی

اگر $E C = D F$ باشد، مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر، کدام گزینه است؟

$1700 (2 - \sqrt{3})$
$1400 (2 - \sqrt{3})$
$1600 (2 - \sqrt{3})$
$1500 (2 - \sqrt{3})$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 23

المپیاد ریاضی

اگر $\overset{⏜}{A E} = \overset{⏜}{E C}$ مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$\frac{219 π}{32}$
$\frac{221 π}{32}$
$\frac{223 π}{32}$
$\frac{225 π}{32}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 24

المپیاد ریاضی

در شکل زیر مقدار $\frac{R}{r}$ کدام گزینه است؟

$1.6$
$2.6$
$3.6$
$3.6$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 25

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$6 - \frac{9}{8} π$
$7 - \frac{9}{8} π$
$8 - \frac{9}{8} π$
$9 - \frac{9}{8} π$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 26

المپیاد ریاضی

اگر $D E = D B$ باشد، مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$0.37$
$0.47$
$0.57$
$0.67$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 27

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$26$
$27$
$28$
$29$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 28

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$\frac{3 \sqrt{6}}{2}$
$\frac{5 \sqrt{6}}{2}$
$\frac{7 \sqrt{6}}{2}$
$\frac{9 \sqrt{6}}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 29

المپیاد ریاضی

اگر $D M = D C$ باشد، مساحت ناحیه های $x, y, z$ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$40, 15, 65$
$50, 25, 75$
$60, 35, 85$
$20, 15, 65$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 30

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 31

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه قرمز رنگ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$\frac{23 \sqrt{3}}{2}$
$\frac{25 \sqrt{3}}{2}$
$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$
$\frac{29 \sqrt{3}}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 32

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 33

المپیاد ریاضی

مساحت ناحیه رنگ شده در شکل زیر کدام گزینه است؟

$45$
$44$
$43$
$42$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 34

المپیاد ریاضی

مقدار $x$ در شکل زیر کدام گزینه است؟

$9 - \sqrt{15}$
$8 - \sqrt{15}$
$7 - \sqrt{15}$
$6 - \sqrt{15}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 35

المپیاد ریاضی

در مثلث $A B C$ طول اضلاع ،اعداد طبیعی است و اندازه زوایه $B$ دو برابر اندازه زاویه $C$ است.

اگر محیط مثلث کمترین مقدار ممکن باشد، مساحت آن چقدر است؟

$\frac{15}{4} \sqrt{7}$
$\frac{17}{4} \sqrt{7}$
$\frac{19}{4} \sqrt{7}$
$\frac{21}{4} \sqrt{7}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

قضایای تشابه

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تشابه در هندسه

قضایای تشابه

مثلث‌های متشابه

قضایای تشابه

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟