سرفصل‌های این مبحث

تشابه در هندسه

قضایای تشابه

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402
دسته‌بندی: تشابه در هندسه
امتیاز:

دو n ضلعی در صورتی متشابه هستند که:

  • زاویه‌هایشان دوبه‌دو مساوی باشند.
  • اضلاع‌شان متناسب باشند.

تمرین

نشان دهيد دو مربع همواره متشابه هستند.


A^=A^'  ,  B^=B^'  ,  C^=C^'  ,  D^=D^'


ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'=mn

نشان دهيد هر دو n ضلعی منتظم، متشابه هستند.

می‌دانيم هر n ضلعی منتظم دارای n زاويه مساوی و n ضلع برابر می‌باشد. 


بنابراين می‌توان گفت هر دو n ضلعی منتظم زوايای مساوی دارند و اضلاعشان نيز متناسبند، لذا متشابه هستند.

آيا می‌توان گفت هر دو مستطيل با هم متشابهند؟

خير، ممکن است اضلاع دو مستطيل متناسب نباشند.


به‌عنوان نمونه:



2457

آيا می‌توان گفت هر دو لوزی با هم متشابهند؟

خير، زيرا ممکن است زاويه هايشان مساوی نباشد.


دو چند ضلعی متشابهند و نسبت اضلاع يکی بر ديگری 2 به 5 است. اگر يک ضلع يکی از دو چند ضلعی 20 سانتی متر باشد، ضلع ديگری چقدر است؟

حالت اول)



25=x20x=20×25=8cm


حالت دوم)



25=20yy=20×52=50cm

دریافت مثال

مثلث‌های متشابه

تشابه، طول ‌پاره‌خط‌ها را به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌کند ولی اندازه زوایا را تغییر نمی‌دهد.

با توجه به مفهوم تشابه، دو مثلث ABC  و A'B'C' وقتی متشابه هستند:

هرگاه زوایای متناظر با هم برابر باشند و نسبت  اضلاع متناظرشان در دو مثلث یک‌سان باشد، یعنی داشته باشیم:

ABC~A'B'C'A^=A^'  ,   B^=B^'    ,   C^=C^'   ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'

در دو مثلث متشابه، دو ضلع مقابل به دو زاویه مساوی را اضلاع متناظر می‌نامند.

نسبت اضلاع متناظر در دو مثلث را نسبت تشابه دو مثلث می‌نامند.

قضایای تشابه

قضیه

قضیه اساسی تشابه مثلث

اگر خطی به موازات یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن را قطع کند، با آن دو ضلع مثلثی می‌سازدکه با مثلث اصلی متشابه است.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

DEBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ADE~ABC

DEBCAB(movarab)  D^=B^DEBCAC(movarab)  E^=C^A^=A^

از قضایای قبل می‌دانیم:

ADAB=AEAC=DEBC

بنابراین اضلاع دو مثلث متناسبند و زوایایشان دوبه‌دو مساویند، لذا:

ADE~ABC

قضیه

اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

A^=D^B^=E^

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم:

AM=DEA^=D^AN=DF

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

AMN=DEFM^=E^

M^=E^B^=E^

M^=B^

MNBC

AMN~ABC

DEF~ABC

قضیه

اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلثی دیگر متناسب بوده و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

A^=D^DEAB=DFAC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم، خواهیم داشت:

AM=DEA^=D^AN=DF

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

AMN=DEF

DEAB=DFAC

AMAB=ANAC

MNBC

AMN~ABC

DEF~ABC

قضیه

اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

DEAB=DFAC=EFBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم، خواهیم داشت:

DEAB=DFACAMAB=ANACMNBCAMN~ABC    ;    1

AMAB=ANAC=MNBCDEAB=DFAC=EFBC

MNBC=EFBCMN=EF

AM=DEAN=DFMN=EF

دو مثلث زیر از طریق سه ضلع بینشان برابرند:

AMN=DEF    ;    21  ,  2  :  ABC~DEF

تمرین

يک زاويه حاده از مثلث قائم الزاويه ای با يک زاويه حاده از مثلث قائم الزاويه ديگر برابر است.

چرا دو مثلث متشابه هستند؟


B^=E^A^=D^ABC~DEF

تمرین

دو ضلع پهلوی زاويه قائمه از مثلث قائم الزاويه ای با دو ضلع پهلوی زاويه قائم از مثلث قائم الزاويه ديگر متناسب هستند.

چرا دو مثلث متشابه هستند؟


ABDE=ACDFA^=D^=90ABC~DEF

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنید.

AB2=BC×BH

نشان می‌دهيم دو مثلث ABC,AHB متشابه هستند.


A^=H^1B^=B^AHB~ABC


ABBC=BHABAB×AB=BH×BCAB2=BH×BC

تمرین

در شکل زیر CB بر دايره مماس است:

ثابت کنید.

BC2=AC×CD

در شکل فوق، از B به D وصل می‌کنيم:



AD^B=AB2=1802=90CD^B=90


AB^C=CD^B=90C^=C^


ABC~BCDBCAC=CDBCBC2=AC×CD

تمرین

ثابت کنيد در دو مثلث متشابه، نسبت محيط ها، مساوی با نسبت تشابه است.

نسبت تشابه را k می‌گيريم.



ABC~DEFABDE=ACDF=BCEF=K


cf=be=ad=kc+b+af+e+d=ad=k

ثابت کنيد در هر مثلث قائم الزاويه مربع ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب دو قطعه حادث بر وتر.


می‌خواهیم ثابت کنیم:


AH2=BH×CH


نشان می‌دهيم دو مثلث AHB,AHC متشابهند.


B^+C^=90B+A^1=90A^1=C^H^1=H^2


AHB~AHCAHCH=BHAH


AH×AH=BH×CHAH2=BH×CH

ثابت کنيد در هر مثلث قائم الزاويه، مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر است.

ارتفاع وارد بر وتر را رسم می‌کنيم:



H^1=AB^=B^AHB~ABC


ABBC=BHABAB2=BC×BH    ;    Ι


H^2=A^C^=C^AHC~ABC


ACBC=CHACAC2=BC×CH    ;    ΙΙ


طرفين ι,ιι را با هم جمع می‌کنيم:


AB2+AC2=BC×BH+BC×CH


AB2+AC2=BC×BH+CH


AB2+AC2=BC×BCAB2+AC2=BC2

ثابت کنيد در دو چهار ضلعی متشابه، نسبت قطرهای متناظر با نسبت اضلاع مساوی است.


ABCD~A'B'C'D'B^=B^'BAB'A'=BCB'C'


ABC~A'B'C'ACA'C'=ABA'B'

ثابت کنيد در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع های متناظر با نسبت تشابه و نسبت مساحت های دو مثلث با مجذور نسبت تشابه برابر است.


فرض می‌کنيم:


ABDE=ACDF=BCEF=k


ABC~DEF    ;    B^=E^H^=H^'=90


AHB~DH'EAHDH'=ABDE=k


SABCSDEF=12×AH×BC12×DH'×EF=AHDH'×BCEF=k×k=k2

ثابت کنيد اگر وتر و يک ضلع از مثلث قائم الزاويه ای با وتر و يک ضلع از مثلث قائم الزاويه ديگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.


در شکل فوق داریم:


DEAB=DFAC


می‌خواهیم ثابت کنیم:


DEF~ABC


پاره خط های AN,AM را به‌ترتيب مساوی DF,DE بر اضلاع AC,ABجدا کرده و از M به N وصل می‌کنيم، در اين صورت:


DEAB=DFACAMAB=ANAC


MNBCAMN~ABC    ;    Ι


MNBCCBABNMABM^=90


AN=DFAM=DEAMN=DEF    ;    ΙΙ


Ι  ,  ΙΙ  :  DEF~ABC

تمرین

نسبت اضلاع دو پنج ضلعی متشابه برابر m می‌باشد.

ثابت کنيد نسبت مساحت های آنها برابر m2  است.


ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=DED'E'=AEA'E'=m


ABC~A'B'C'SABCSA'B'C'=m2SABC=m2×SA'B'C'


ACD~A'C'D'SACDSA'C'D'=m2SACD=m2×SA'C'D'


ADE~A'D'E'SADESA'D'E'=m2SADE=m2×SA'D'E'


SABCDESA'B'C'D'E'


=SABC+SACD+SADESA'B'C'+SA'C'D'+SA'D'E'


=m2SA'B'C'+m2SA'C'D'+m2SA'D'E'SA'B'C'+SA'C'D'+SA'D'E'


=m2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر BCDE باشد، اندازه پاره‌خط‌های DE و CA را به‌دست آورید.

دو مثلث ABC و ADE را در نظر می‌گیریم:

BCDEBD(movarab)B^=D^


حالا می‌توانیم بنویسم:

A^1=A^2B^=D^

دو مثلث زیر از طریق دو زاویه و ضلع بینشان متشابهند:

ABΔC  ~   ADΔEBCDE=ACAE=ABAD


با جایگزینی مقادیر معلوم در نسبت تشابه می‌نویسم:

21DE=AC18=3322=32


21DE=32DE  =14      AC18=32AC  =27  

تمرین

در هر یک از شکل‌های زیر، تشابه مثلث‌ها را ثابت کنید و مقادیر x و y را محاسبه کنید:

2aa=2bb=2cc=2


سه ضلع متناسب و دو مثلث متشابه هستند، پس زوایای متناظر آنها برابرند:

x+60°+20°=180x=100°

24=36=12c^1=c^2    


دو ضلع متناسب و زاویه‌ بین آنها برابرند پس دو مثلث متشابه‌اند:

24=36=2/5x  2/5x=12x=5

c^1=c^2B^=D^=90


دو مثلث به حالت دو زاویه متشابه‌اند، پس سه ضلع متناسب هستند:

x16= 203y=412


x16=13x=163 203y=13y=20

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

نسبت محیط‌ها و مساحت‌های دو مثلث قائم‌الزاویه را به‌دست آورید.

c^1=c^2B^=D^=90


دو مثلث ABC و DEC به حالت دو زاویه متشابه‌اند:

EDAB=DCBC=ECAC=155


EDAB=3ED=3ABDCBC=3DC=3BCECAC=3EC=3AC


PEDCPABC=ED+DC+ECAB+BC+AC=3AB+3BC+3ACAB+BC+AC=3AB+BC+ACAB+BC+AC=3


SEDCSABC=12EDDC12ABBC=123AB3BC12ABBC=9

تمرین

ذوزنقه ABCD مفروض است.

از نقطه O محل تلاقی قطرها دو خط به موازات اضلاع BC,AD رسم می‌کنيم تا قاعده AB را در نقاط M و N قطع کنند.

ثابت کنید AM=BN.


BAD:OMADBMAB=BOBD


ABC:ONBCANAB=AOAC


AOB~DOCBOOD=AOOCBOBD=AOAC


BMAB=ANABBM=AN


BM+MN=AN+MNBN=AM

تمرین

اضلاع دو مثلث DEF,ABC دو به دو موازيند.

ثابت کنيد دو مثلث متشابه هستند.


E^=M^B^=M^B^=E^


F^=N^C^=N^C^=F^


ABC~DEF

تمرین

در شکل زير BC برابر نصف شعاع می‌باشد.

اگر داشته باشیم:

AB=2RDCAC

ثابت کنید.

AE×AD=5R2

از B به E وصل می‌کنيم:



E^=C^A^=A^AEB~ACDAEAC=ABAD


AEAC=ABAD


AE×AD=AC×AB    ;    BC=12OB


AE×AD=52R×2RAE×AD=5R2

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق داریم:

BDAB  ,  ACAB

چرا دو مثلث DAB,CAB متشابه هستند؟

BDAB=1421=23ABAC=2131.5=23


BDAB=ABACBA^C=AB^D=90CAB~DAB

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

آيا دو مثلث BCD,ABC متشابه هستند؟

ABBC=1.64=25ACBD=512.5=25BCCD=410=25


ABBC=ACBD=BCCDABC~BCD

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

ثابت کنيد دو مثلث ABC,CDE متشابه هستند و نسبت اضلاع دو مثلث را بنويسيد.

CECA=36=12CDCB=48=12


CECA=CDCBC^=C^CDE~CAB

دریافت مثال

نکته

1- دو n ضلعی را متشابه گویند درصورتی‌که زوایای آنها دوبه‌دو مساوی بوده و اضلاعشان متناسب باشد.

2- در مثلث ABC اگر DEBC باشد، آن‌گاه: 

ADDB=AEECADAB=AEAC=DEBC

BDAB=CEACADDB=AEECDEBC

3-دو لوزی که یک زاویه مساوی داشته باشند، متشابه هستند.

4- دو مستطیل متشابه نیستند.

5- در شکل زیر داریم:

AH2=BH×CHb2=a×CHc2=a×BH

6- دو مثلث متساوی‌الساقین که زاویه برابر داشته باشند، همواره متشابه نیستند.

7- در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع‌های متناظر با نسبت اضلاع (نسبت تشابه) برابر است.

8- در دو مثلث متشابه نسبت نیمسازهای متناظر با نسبت تشابه برابر است. 

9- در دو مثلث متشابه نسبت میانه‌های متناظر با نسبت تشابه برابر است.

10- در دو مثلث متشابه، نسبت محیط‌ها با نسبت تشابه برابر است.

11- در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت تشابه برابر است.

12- به‌طور کلی نسبت محیط‌های دو n ضلعی متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

13- به‌طور کلی نسبت مساحت‌های دو n ضلعی متشابه با مجذور نسبت اضلاع مساوی است.

14- نسبت قطرهای متناظر هر چند ضلع متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

15- اگر AB=AC باشد، آن‌گاه:

AB2=AD×AE

16- در شکل زیر:

x2=y.z

خرید پاسخ‌ها

قضایای تشابه

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید