سرفصل‌های این مبحث

تشابه در هندسه

قضایای تشابه

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: تشابه در هندسه
امتیاز:
بازدید: 54 مرتبه

دو n ضلعی در صورتی متشابه هستند که:

  • زاویه‌هایشان دوبه‌دو مساوی باشند.
  • اضلاع‌شان متناسب باشند.

دریافت مثال

مثلث‌های متشابه

تشابه، طول ‌پاره‌خط‌ها را به یک نسبت بزرگ یا کوچک می‌کند ولی اندازه زوایا را تغییر نمی‌دهد.

با توجه به مفهوم تشابه، دو مثلث ABC  و A'B'C' وقتی متشابه هستند هرگاه زوایای متناظر با هم برابر باشند و نسبت  اضلاع متناظرشان در دو مثلث یکسان باشد، یعنی:

ABC~A'B'C'A^=A^'  ,   B^=B^'    ,   C^=C^'   ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'

در دو مثلث متشابه، دو ضلع مقابل به دو زاویه مساوی را اضلاع متناظر می‌نامند.

نسبت اضلاع متناظر در دو مثلث را نسبت تشابه دو مثلث می‌نامند.

تشابه - پیمان گردلو

قضایای تشابه

قضیه

قضیه اساسی تشابه مثلث

اگر خطی به موازات یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن را قطع کند، با آن دو ضلع مثلثی می‌سازدکه با مثلث اصلی متشابه است.

تشابه - پیمان گردلو

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

DEBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ADE~ABC

DEBCAB(movarab)  D^=B^DEBCAC(movarab)  E^=C^A^=A^

از قضایای قبل می‌دانیم:

ADAB=AEAC=DEBC

بنابراین اضلاع دو مثلث متناسبند و زوایایشان دوبه‌دو مساویند، لذا:

ADE~ABC

قضیه

اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

تشابه - پیمان گردلو

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

A^=D^B^=E^

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم:

AM=DEA^=D^AN=DF

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

AMN=DEFM^=E^

M^=E^B^=E^  M^=B^MNBCAMN~ABCDEF~ABC

قضیه

اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلثی دیگر متناسب بوده و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث مساوی باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

تشابه - پیمان گردلو

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

A^=D^DEAB=DFAC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم، خواهیم داشت:

AM=DEA^=D^AN=DF

دو مثلث زیر از طریق دو ضلع و زاویه بینشان برابرند:

AMN=DEF

DEAB=DFACAMAB=ANACMNBCAMN~ABCDEF~ABC

قضیه

اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه هستند.

تشابه - پیمان گردلو

اثبات

فرض آن ‌است‌که:

DEAB=DFAC=EFBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ABC~DEF

پاره خط‌های AM و AN را به‌ترتیب مساوی DE و DF بر اضلاع AB و AC جدا کرده و از M به N وصل می‌کنیم، خواهیم داشت:

DEAB=DFACAMAB=ANACMNBCAMN~ABC    ;    1AMAB=ANAC=MNBCDEAB=DFAC=EFBC  MNBC=EFBCMN=EF

AM=DEAN=DFMN=EF

دو مثلث زیر از طریق سه ضلع بینشان برابرند:

AMN=DEF    ;    21  ,  2  :  ABC~DEF

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

تشابه - پیمان گردلو

اگر BCDE باشد، اندازه پاره‌خط‌های DE و CA را به‌دست آورید.

دو مثلث ABC و ADE را در نظر می‌گیریم:

BCDEBD(movarab)B^=D^


حالا می‌توانیم بنویسم:

A^1=A^2B^=D^

دو مثلث زیر از طریق دو زاویه و ضلع بینشان متشابهند:

ABΔC  ~   ADΔEBCDE=ACAE=ABAD


با جایگزینی مقادیر معلوم در نسبت تشابه می‌نویسم:

21DE=AC18=3322=32  21DE=32DE  =14      AC18=32AC  =27  

تمرین

در هر یک از شکل‌های زیر، تشابه مثلث‌ها را ثابت کنید و مقادیر x و y را محاسبه کنید:

تشابه - پیمان گردلو

2aa=2bb=2cc=2


سه ضلع متناسب و دو مثلث متشابه هستند، پس زوایای متناظر آنها برابرند:

x+60°+20°=180x=100°

تشابه - پیمان گردلو

24=36=12c^1=c^2    


دو ضلع متناسب و زاویه‌ بین آنها برابرند پس دو مثلث متشابه‌اند:

24=36=2/5x  2/5x=12x=5

تشابه - پیمان گردلو

c^1=c^2B^=D^=90


دو مثلث به حالت دو زاویه متشابه‌اند، پس سه ضلع متناسب هستند:

x16= 203y=412x16=13x=163 203y=13y=20

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

تشابه - پیمان گردلو

نسبت محیط‌ها و مساحت‌های دو مثلث قائم‌الزاویه را به‌دست آورید.

c^1=c^2B^=D^=90


دو مثلث ABC و DEC به حالت دو زاویه متشابه‌اند:

EDAB=DCBC=ECAC=155EDAB=3ED=3ABDCBC=3DC=3BCECAC=3EC=3AC

PEDCPABC=ED+DC+ECAB+BC+AC=3AB+3BC+3ACAB+BC+AC=3AB+BC+ACAB+BC+AC=3SEDCSABC=12EDDC12ABBC=123AB3BC12ABBC=9

دریافت مثال

نکته

1- دو n ضلعی را متشابه گویند درصورتی‌که زوایای آنها دوبه‌دو مساوی بوده و اضلاعشان متناسب باشد.

2- در مثلث ABC اگر DEBC باشد، آن‌گاه: 

تشابه - پیمان گردلو

ADDB=AEECADAB=AEAC=DEBCBDAB=CEACADDB=AEECDEBC

3-دو لوزی که یک زاویه مساوی داشته باشند، متشابه هستند.

4- دو مستطیل متشابه نیستند.

5- در شکل زیر داریم:

تشابه - پیمان گردلو

AH2=BH×CHb2=a×CHc2=a×BH

6- دو مثلث متساوی‌الساقین که زاویه برابر داشته باشند، همواره متشابه نیستند.

7- در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع‌های متناظر با نسبت اضلاع (نسبت تشابه) برابر است.

8- در دو مثلث متشابه نسبت نیمسازهای متناظر با نسبت تشابه برابر است. 

9- در دو مثلث متشابه نسبت میانه‌های متناظر با نسبت تشابه برابر است.

10- در دو مثلث متشابه، نسبت محیط‌ها با نسبت تشابه برابر است.

11- در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت تشابه برابر است.

12- به‌طور کلی نسبت محیط‌های دو n ضلعی متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

13- به‌طور کلی نسبت مساحت‌های دو n ضلعی متشابه با مجذور نسبت اضلاع مساوی است.

14- نسبت قطرهای متناظر هر چند ضلع متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.

15- اگر AB=AC باشد، آن‌گاه:

AB2=AD×AE

تشابه - پیمان گردلو

16- در شکل زیر:

x2=y.z

تشابه - پیمان گردلو

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای تشابه

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید