تعریف قدرمطلق

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402
دسته‌بندی: قدرمطلق
امتیاز:

هرجا که با قدرمطلق سروکار داشته باشیم، تنها با اعداد مثبت روبرو هستیم، در واقع قدرمطلق هر عدد، خواه مثبت باشد یا منفی، عددی است مثبت.

x یعنی چه؟

وقتی که x منفی نباشد، مقدار x با مقدار x هیچ تفاوتی ندارد، ولی در حالت منفی بودن x، قدرمطلق x نه برابر خود x بلکه برابر با قرینه x است، یعنی داریم:

x=x        ;    x0x    ;    x<0

پیمان گردلو

تمرین

حاصل هریک از عبارات زیر را بدون علامت قدرمطلق بنویسید.

23

23=2+3=1>023=+23=1

12

12<012=12=21

35

35<0

35=35=53

423

=3+123=312


=31    ;    31>0=+31=31

x4+2x2+1

=x2+12=x2+1    ;    x2+1>0=+x2+1=x2+1

2021×2025+4

2021×2025+4    ;    ifx=2021x+4=2025


=x×x+4+4

=x2+4x+4

=x+22

=x+2    ;    x>2

=x+2

=2021+2

=2023

1sinx

1sinx11sinx0

1sinx=+1sinx

1sinx=+1sinx=1sinx

233343+53

aba2+ab+b2=a3b3

ab=a3b3a2+ab+b2    ;    ab0


a2+ab+b2 نمی‌تواند برابر صفر باشد:


if   ab=a3b3a2+ab+b2


5343=54253+203+163=1253+203+163


3323=3293+63+43=193+63+43


1253+203+163<193+63+43


5343<3323


233343+53<0


233343+53=233343+53=33+432353

x+22

if    x2x+20x+2=+x+2


x+2=+x+2x+22=x+22x+22=x



if   x<2x+2<0x+2=x+2


x+2=x+2x+22=x+22x+22=x22x+22=x4


x+22=x                    ;     x2x4         ;     x<2

453525+1

251>4535453525+1<0


453525+1=453525+1=35+25451

x2+x

if     x2x20x2=x2


x2+x=x2+x=x+2+x=2=2


if   x>2x2>0x2=+x2


x2+x=x2+x=2x2=2x1=2x1=2x2


x2+x=2x2     ;      x>22                 ;     x2

تمرین

اگر x,y معكوس يک‌ديگر باشند، حاصل زیر را به‌دست آورید.

x|y|+y|x|

xy+yx=x1x+1xxxy+yx=xx+xx


xy+yx=xx+xx            ;    x>0xx+xx    ;   x<0

xy+yx=2        ;x>02     ;x<0

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

a2+1+2a2=1a    ;    a<0

a2+1+2a2=a2+1+2a


=a2+2|a|+1    ;    a<0a=a


=a22a+1=a12


=a1    ;    if   a<0a1<1a1=(a1)


=a1=1a

a|a|+b|b|ab|ab|+ab|ab|=0    ;    a×b<0

حالت اول)


if   a>0  ,  b<0a|a|+b|b|ab|ab|+ab|ab|

=aa+bbabab+abab

=0abab+abab=0


حالت دوم)


if   a<0  ,  b>0a|a|+b|b|ab|ab|+ab|ab|

=aa+bbabab+abab


=0abab+abab=0


درهر دو حالت، به نتیجه زیر می‌رسیم:


if    ab<0aa+bbabab+abab=0

x+3+4x1x+34x1=2x1      ;1x54                    ;x>5

x+3+4x1x+34x1

=x1+4+4x1x1+44x1

=x1+22x122

=x1+2x12=x1+2x12    ;    Ι

=x1+2x12    ;    1x5x1+2+x12    ;    x>5

=2x1       ;1x54                     ;    x>5

if   1x50x140x122x120x12=x12

if  x>5x1>4x1>2x12>0x12=+x12

1+sinx+1sinx=2cosx2    ;    0<x<π2

1+sinx+1sinx


=sin2x2+cos2x2+2sinx2.cosx2+sin2x2+cos2x22sinx2cosx2

=sinx2+cosx22+sinx2cosx22

=sinx2+cosx2+sinx2cosx2

=sinx2+cosx2+sinx2cosx2    ;    Ι

=sinx2+cosx2sinx2cosx2

=sinx2+cosx2+cosx2sinx2

=2cosx2


Ι  :   if    0<x<π20<x2<π4cosx2>sinx2sinx2cosx2<0sinx2cosx2=sinx2cosx2

1x+2x1+1x2x1=22x    ;    1<x<2

1x+2x1+1x2x1

=1x1+1+2x1+1x1+12x1

=1x1+12+1x112

=1x1+1+1x11

=1x1+1+1x11    ;    Ι

=1x1+1+1x11=x11x1+1x1+1x11


=2x11=2x2=22x


Ι   :  if    1<x<20<x1<10<x1<11<x11<0x11=x11

xx42x2+14x2+1x2+1=12    ;    x>012    ;    x<0

xx42x2+14x2+1x2+1=xx42x2+1+4x24x2x2+1


=xx2+122x2x2+1=x.x2+12xx2+1


=x|2x|=12    ;    x>012    ;    x<0

x24x2+4+x2+4x2+4=4    ;    2<x<0

x24x2+4+x2+4x2+4

=x24x+4+x2+4x+4

=x24x+4+x2+4x+4


=x22+x+22

=x2+x+2    ;    2<x<0|x|=x


=x2+x+2    ;    Ι=x2+x+2=x+2+x+2=4

2<x<00<x<22<x2<0x2=x2

2<x<00<x<22<x+2<4x+2=+x+2

a24a+4+a2+6a+9=2a+1    ;    a2

a24a+4+a2+6a+9=a22+a+32


=a2+a+3    ;    Ι=a2+a+3=2a+1


Ι   :   if  a2a20a2=+a2a+35a+3=+a+3

1+sinx1sinx1sinx1+sinx1+cosx1cosx1cosx1+cosx=4    ;    x2kπ,2kπ+π22kπ+π,2kπ+3π24    ;    x2kπ+π2,2kπ+π2kπ+3π2,2kπ+2π

1+sinx1sinx1sinx1+sinx


=1+sinx1+sinx1sinx1+sinx1sinx1sinx1+sinx1sinx


=1+sinx21sin2x1sinx21sin2x=1+sinx2cos2x1sinx2cos2x


=1+sinxcosx1sinxcosx    ;    Ι=1+sinxcosx1sinxcosx=2sinx|cosx|


Ι   :   1sinx1sinx+101+sinx=+1+sinx1sinx01sinx=+1sinx



1+cosx1cosx1cosx1+cosx


=1+cosx1+cosx1cosx1+cosx1cosx1cosx1+cosx1cosx


=1+cosx21cos2x1cosx21cos2x=1+cosx2sin2x1cosx2sin2x


=1+cosxsinx1cosxsinx    ;    ΙΙ=1+cosxsinx1cosxsinx=2cosxsinx


ΙΙ   :   1cosx1cosx+101+cosx=+1+cosx1cosx01cosx=+1cosx


A=1+sinx1sinx1sinx1+sinx1+cosx1cosx1cosx1+cosx=2sinx|cosx|.2cosxsinx=4sinxcosxsinxcosx


وقتی كه انتهای كمان x در ربع اول يا سوم دايره مثلثاتی باشد، سینوس و کسینوس هم علامت هستند در نتيجه حاصل ضرب آنها مثبت است:


if2kπ<x<2kπ+π22kπ+π<x<2kπ+3π2A=4sinxcosxsinxcosxA=4


وقتی كه انتهای كمان x در ربع دوم يا چهارم دايره مثلثاتی باشد، سینوس و کسینوس علامت های مختلف دارند يعنی حاصل ضربشان منفی است.


if  2kπ+π2<x<2kπ+π2kπ+3π2<x<2kπ+2πA=4sinxcosxsinxcosx=4

نکته

با نماد قدرمطلق نشان می‌دهیم که فاصله‌ بین دو عدد x و a کم‌تر از b است:

xa<b

تمرین

هریک از عبارت های زیر را با استفاده از قدرمطلق به‌صورت یک معادله یا نامعادله بنویسید.

فاصله بین x و 3 برابر 7 است.

x3=7x3=7x=10x3=7x=4


دو برابر فاصله بین x و 6 برابر 4 است.

2x6=4x6=2x6=2x=8x6=2x=4


فاصله بین x و -3 بزرگ‌تر از 2 است.

x3>2x+3>2x+3>2x>1x+3<2x<5

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف قدرمطلق

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید