قوانین قدر مطلق و تعیین علامت عبارات قدر مطلقی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: قدرمطلق
امتیاز:
بازدید: 55 مرتبه

قوانین قدرمطلق

xR      ;      x=x

اثبات

aif    x0x0x=x=xx<0x>0x=ax=xx=xx=x

x,yR     ;      x=yx=±y

if  a>0      ;       x=ax=±a

if  a>0     ;     xaaxa

اثبات

حالت اول-

فرض می‌کنیم xa  ثابت می‌کنیم  axa است.  

xax2a2x2a2x2a20xax+a0

نامساوی فوق را تعیین علامت می‌کنیم:

xax+a=0xa=0x=ax+a=0x=a

قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

D=a,a=x      axa

در فرایند فوق نامساوی قدرمطلقی xa به نامساوی درجه دوم تبدیل و سپس تعیین علامت شده است. 


حالت دوم- 

فرض می‌کنیم axa ثابت می‌کنیمxa  است.  

axaaxx+a0xaxa0x+axa0

x+axa0x2a20x2a2x2a2xa          a0xa

if   a>0    ;    xaxaxa

اثبات

فرض می‌کنیم xa  ثابت می‌کنیم xaxa است.  

xax2a2x2a2x2a20

نامساوی فوق را تعیین علامت می‌کنیم:

x2a2=0x2=a2x=±a

قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

D=xxaxa

xy=x  y

اثبات

با فرض این‌که x و y دو عدد حقیقی باشند، داریم: 

xy=xy2=x2y2=x2y2=xy

xy=xy  ;   y0

اثبات

xy=xy2=x2y2=x2y2=xy;y0

xxx

اثبات

x0x=xxxx<0x=xxxxxx

x+yx+y    ;    x+y+z++tx+y+z++t

شرط تساوی در نامساوی فوق آن است که x.y0 یعنی هم‌علامت باشند.

اثبات

روش اول:

xxxyyyx+yx+yx+yx+yx+y

روش دوم:

x+y2=x2+y2+2xyx+y2x2+y2+2xyx+y2x+y2x+yx+y

xyxy

اثبات

x+yx+y ; xx-yxy+yxy+yxxy+yxyxy

نکته

1- وقتی x و y هم‌علامت باشند یعنی x.y>0 و x>y باشد، آن‌گاه: 

xy=xy

2- وقتی x و y هم‌علامت باشند یعنی x.y>0 و x<y باشد، آن‌گاه: 

xy=yx

3- وقتی x و y هم‌علامت نباشند یعنی x.y<0 آن‌گاه: 

xy>xy

x+yxy

اثبات

x+yx+yx=x+yyxx+y+yxx+y+yx+yxy

x+yyxx+yxyxyx+yx+yxyxyx+yx+yxyx+yxyx+y

نکته

شرط این‌که نامساوی فوق به تساوی x+y=xy تبدیل شود، آن است که: 

xy=x+yxy2=x+y2x2+y22x  y=x2+y2+2xy2x  y=2xyx  y=xyxy=xyxy0                                  

x2=x2=x2

اثبات

x0x=xx2=x2x<0x=xx2=x2=x2x2=x2

xn=xn

x2n=x2n=x2n

if   x2n=y2nx=y

if   axbb>0a<00xmaxa  b

تمرین

if    4x1  b>0a<0  0xmax4    10x4if   1x4    b>0a<0  0xmax1    4  0x4

if   axb   b<0a<0  mina  bxmaxab

تمرین

if   4x2    b<0a<0   min4  2  xmax<422|x|4

if    axb  b>0a>0  axb

x,y,zR   ;   xyxz+zy

نامساوی فوق به نامساوی مثلثی معروف است.

اثبات

x+yx+y    ;    xxzyzyxz+zyxz+zyxz+zyxy

xyxyxyxyxy

maxa,b=a+b2+ab2mina,b=a+b2ab2

اثبات

حالت اول:

if   a>bab>0|ab|=+(ab)

maxa,b=a+b2+ab2=a+b2+ab2=amaxa,b=amina,b=a+b2ab2=a+b2ab2=bmina,b=bmaxa,b+mina,b=a+b


حالت دوم:

if   a<bab<0ab=(ab)

maxa,b=a+b2+ab2=a+b2ab2=bmaxa,b=bmina,b=a+b2ab2=a+b2+ab2=amina,b=amaxa,b+mina,b=a+b


نتیجه این قضیه به‌صورت زیر است:

maxa,0=a+a2mina,0=aa2maxa,b+mina,b=a+b

یادآوری

 تبدیل نامساوی‌‌های مضاعف به نامساوی‌‌های قدرمطلقی

اگر نامساوی مضاعف bxa مفروض باشد، میانگین عددی a و b یعنی a+b2 را از طرفین نامساوی کم می‌کنیم: 

ba+b2xa+b2aa+b2ab2xa+b2ab2xa+b2<ab2

یادآوری

باید توجه داشت که در حالت کلی a122 با a212 فرق دارد. 

a122=a2=a

غیر منفی بودن a از خود عبارت ناشی می‌شود.

a212=a2=a

مقدار a می‌تواند دارای هر علامتی باشد و بایستی به‌صورت قدرمطلق ظاهر شود.

به طورکلی این حالت، برای هر رادیکال با فرجه زوج درست است:

a2m2m=a    ;    mN

تعیین علامت عبارات قدرمطلقی

برای تعیین علامت عبارات جبری شامل قدرمطلق ‌های مجهول‌ دار، ابتدا عبارت درون هر قدرمطلق را در جدولی تعیین علامت می‌کنیم سپس در هر فاصله به‌دست آمده از جدول، عبارت جبری را ساده و تعیین علامت می‌کنیم.

تمرین

عبارات زیر را تعیین علامت کنید.

P=2x+6x1

2x+6=0x=3x1=0x=1


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

if   x3    ;    P=2x+6x1=2x+6+x1=x7x7=0x=7


if  3x1    ;    P=+2x+6x1=2x+6+x1=3x+53x+5=0x=53


if    x1    ;    P=+2x+6+x1=x+7x+7=0x=7


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

در سطر اول از جدول فوق -x-7 در بازه x-3 تعریف شده است پس خانه‌های این بازه جواب است و بقیه خانه‌ها هاشور می‌خورند.


توجه کنید چون x=-7 ریشه عبارت -x-7 در بازه x-3 صادق است، در سطر آخر P را صفر می‌کند.


به‌همین ترتیب بقیه خانه‌ها بررسی می‌شود.   

P=2x+2x+24x

x+2=0x=2x=0


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

if   x2  P=2x2x+2+4x=2x2x4+4x=4x44x4=0x=1


if  2x0    ;    P=2x+2x+2+4x=8x+48x+4=0x=12


if    x0P=2x+2x+24x=4>0


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید