قوانین قدرمطلق و تعیین علامت عبارات قدرمطلقی

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402
دسته‌بندی: قدرمطلق
امتیاز:

قضایا و قوانین قدرمطلق

قضیه

xR      ;      x=x

اثبات

a

if    x0x0x=x=xx<0x>0x=a

x=xx=xx=x

قضیه

x,yR     ;      x=yx=±y

اثبات

چهار حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

1   x>0x=xy>0y=yif  x=yx=y

2   x<0x=xy>0y=yif  x=yx=yx=y

3   x>0x=xy<0y=yif  x=yx=y

4   x<0x=xy<0y=yif  x=yx=yx=y

در هر چهار حالت فوق و در حالت کلی، به نتیجه زیر می‌رسیم:

x,yR     ;      x=yx=±y

قضیه

if  a>0      ;       x=ax=±a

قضیه

if  a>0     ;     xaaxa

اثبات

حالت اول-

فرض کنیم xa باشد، ثابت می‌کنیم:

axa

بنابراین داریم:

xax2a2x2a2x2a20xax+a0

نامساوی فوق را تعیین علامت می‌کنیم:

xax+a=0xa=0x=ax+a=0x=a

قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

D=a,a=x      axa

در فرایند فوق نامساوی قدرمطلقی xa به نامساوی درجه دوم تبدیل و سپس تعیین علامت شده است. 


حالت دوم- 

فرض می‌کنیم axa باشد، ثابت می‌کنیم:

xa

بنابراین داریم:

axaaxx+a0xaxa0x+axa0

x+axa0x2a20x2a2x2a2xa          a0xa

قضیه

if   a>0    ;    xaxaxa

اثبات

فرض می‌کنیم xa باشد، ثابت می‌کنیم:

xaxa

بنابراین داریم:

xax2a2x2a2x2a20

نامساوی فوق را تعیین علامت می‌کنیم:

x2a2=0x2=a2x=±a

قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

D=xxaxa

قضیه

xy=x  y

اثبات

با فرض این‌که x و y دو عدد حقیقی باشند، داریم: 

xy=xy2=x2y2=x2y2=xy

قضیه

xy=xy  ;   y0

اثبات

xy=xy2=x2y2=x2y2=xy;y0

قضیه

xxx

اثبات

x0x=xxxx<0x=xxxxxx

قضیه

x+yx+y    ;    x+y+z++tx+y+z++t

شرط تساوی در نامساوی فوق آن است که x.y0 یعنی هم‌علامت باشند.

اثبات

روش اول:

xxxyyyx+yx+yx+yx+yx+y

روش دوم:

x+y2=x2+y2+2xyx+y2x2+y2+2xyx+y2x+y2x+yx+y

قضیه

xyxy

اثبات

x+yx+y ; xx-yxy+yxy+yxxy+yxyxy

نکته

1- وقتی x و y هم‌علامت باشند یعنی x.y>0 و x>y باشد، آن‌گاه: 

xy=xy

2- وقتی x و y هم‌علامت باشند یعنی x.y>0 و x<y باشد، آن‌گاه: 

xy=yx

3- وقتی x و y هم‌علامت نباشند یعنی x.y<0 آن‌گاه: 

xy>xy

قضیه

x+yxy

اثبات

x+yx+yx=x+yyxx+y+yxx+y+yx+yxy

x+yyxx+yxyxyx+y

x+yxyxyx+yx+yxyx+yxyx+y

نکته

شرط این‌که نامساوی فوق به تساوی تبدیل شود، آن است که: 

xy=x+yxy2=x+y2

x2+y22xy=x2+y2+2xy2xy=2xy

xy=xyxy=xyxy0

قضیه

x2=x2=x2

 

اثبات

x0x=xx2=x2x<0x=xx2=x2=x2x2=x2

قضیه

xn=xn

قضیه

x2n=x2n=x2n

قضیه

if   x2n=y2nx=y

قضیه

if   axbb>0a<00xmaxa  b

به‌عنوان نمونه، داریم:

if    4x1b>0a<00xmax410x4

if   1x4b>0a<00xmax140x4

 

قضیه

if   axb   b<0a<0  mina  bxmaxab

به‌عنوان نمونه، داریم:

if   4x2    b<0a<0   min4  2  xmax<422|x|4

قضیه

if    axb  b>0a>0  axb

قضیه

x,y,zR   ;   xyxz+zy

نامساوی فوق به نامساوی مثلثی معروف است.

اثبات

x+yx+y    ;    xxzyzy

xz+zyxz+zy

xz+zyxy

قضیه

xyxyxyxyxy

قضیه

maxa,b=a+b2+ab2mina,b=a+b2ab2

اثبات

حالت اول:

if   a>bab>0|ab|=+(ab)

maxa,b=a+b2+ab2=a+b2+ab2=amaxa,b=a

mina,b=a+b2ab2=a+b2ab2=bmina,b=b

maxa,b+mina,b=a+b


حالت دوم:

if   a<bab<0ab=(ab)

maxa,b=a+b2+ab2=a+b2ab2=bmaxa,b=b

mina,b=a+b2ab2=a+b2+ab2=amina,b=a

maxa,b+mina,b=a+b


نتیجه این قضیه به‌صورت زیر است:

maxa,0=a+a2mina,0=aa2maxa,b+mina,b=a+b

یادآوری

 تبدیل نامساوی‌‌های مضاعف به نامساوی‌‌های قدرمطلقی

اگر نامساوی مضاعف bxa مفروض باشد، میانگین عددی a و b یعنی a+b2 را از طرفین نامساوی کم می‌کنیم: 

ba+b2xa+b2aa+b2

ab2xa+b2ab2

xa+b2<ab2 

یادآوری

باید توجه داشت که در حالت کلی a 122 با a2 12 فرق دارد. 

a 122=a2=a

غیر منفی بودن a از خود عبارت ناشی می‌شود.

a2 12=a2=a

مقدار a می‌تواند دارای هر علامتی باشد و بایستی به‌صورت قدرمطلق ظاهر شود.

به طورکلی این حالت، برای هر رادیکال با فرجه زوج درست است:

a2m2m=a    ;    mN

تعیین علامت عبارات قدرمطلقی

برای تعیین علامت عبارات جبری شامل قدرمطلق ‌های مجهول‌ دار، ابتدا عبارت درون هر قدرمطلق را در جدولی تعیین علامت می‌کنیم سپس در هر فاصله به‌دست آمده از جدول، عبارت جبری را ساده و تعیین علامت می‌کنیم.

تمرین

عبارات زیر را تعیین علامت کنید.

P=2x+6x1

2x+6=0x=3x1=0x=1


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

if   x3    ;    P=2x+6x1=2x+6+x1=x7


x7=0x=7


if  3x1    ;    P=+2x+6x1=2x+6+x1=3x+5


3x+5=0x=53


if    x1    ;    P=+2x+6+x1=x+7


x+7=0x=7


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

در سطر اول از جدول فوق -x-7 در بازه x-3 تعریف شده است پس خانه‌های این بازه جواب است و بقیه خانه‌ها هاشور می‌خورند.


توجه کنید چون x=-7 ریشه عبارت -x-7 در بازه x-3 صادق است، در سطر آخر P را صفر می‌کند.


به‌همین ترتیب بقیه خانه‌ها بررسی می‌شود.   

P=2x+2x+24x

x+2=0x=2x=0


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

if   x2P=2x2x+2+4x=2x2x4+4x=4x4


4x4=0x=1


if  2x0    ;    P=2x+2x+2+4x=8x+4


8x+4=0x=12


if    x0P=2x+2x+24x=4>0


قوانین قدرمطلق - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید