اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
بازدید: 138 مرتبه

اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول)

قضیه

a,bR:a+b2=a2+2ab+b2

اثبات

a+b2=a+b1.a+b1=aa+ab+ba+bb=a2+ab+ba+b2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

تمرین

توان رسانی را در عبارت x+52 انجام می‌دهیم و یک اتحاد از طریق آن می‌نویسیم:

x+52=x+51.x+51=xx+x5+5x+55=x2+5x+5x+25=x2+5x+5x+25=x2+10x+25

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) به‌دست می‌آوریم:

x+12

=x2+2x1+12=x2+2x+1

2a+b2

=2a2+22ab+b2=4a2+4ab+b2

2x+122

=2x2+22x12+122=4x2+2x+14

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) توجه کنید:

اتحاد اول - پیمان گردلو

    SACEG     =SABIH+SBCDI+SIDEF+SHIFG                                                         a+ba+b=a2  +   ab   +   b2   +    ab     a+b2      =   a2     +2ab   +     b2

به عبارت دیگر:

اتحاد اول - پیمان گردلو

دریافت مثال

 اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم)

قضیه

a,bR:ab2=a22ab+b2

اثبات

ab2=abab=aa+ab+ba+bb=a2abba+b2=a22ab+b2

تمرین

توان رسانی را در عبارت 2x-62 انجام می‌دهیم و یک اتحاد از طریق آن می‌نویسیم:

2x62=2x61.2x61=2x2x+2x6+62x+66=4x212x12x+36=4x2+12x12x+36=4x224x+36

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) به دست می‌آوریم:

x12

=x22x1+12=x22x+1

a3b2

=a22a3b+3b2=a26ab+9b2

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) توجه کنید:

اتحاد دوم - پیمان گردلو

SACDG =    SABHG      +         SBCDH                                                aab=abab+    bab                                                 a2ab=         ab2        +    bab2   a22ab+b2=ab2

تذکر

در اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) داریم :

ab20a22ab+b20a2+b22aba22+b22ab


با استفاده از روش هندسی به اثبات نامساوی فوق می‌‌پردازیم:

اتحاد دوم - پیمان گردلو

SOAC+SODFSOABF12OAAB+BC+12OFDFa×b12ab+b+12bBF2a×b12a2b+12ba2a×b12aa+12bba×b12a2+12b2a×ba22+b22a×b

دریافت مثال

اتحادهای فرعی حاصل از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل دو جمله

a2+b2=a+b22ab

اثبات

a+b2=a2+2ab+b2a2+b2=a+b22ab

a2+b2=a-b2+2ab

اثبات

ab2=a22ab+b2a2+b2=ab2+2ab

a+b2ab2=4ab

اثبات

a+b2ab2=a2+2ab+b2a22ab+b2=a2+2ab+b2a2+2abb2=4ab

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید:

اتحاد فرعی اول ودوم - پیمان گردلو

a+b2+ab2=2a2+b2

اثبات

a+b2+ab2=a2+2ab+b2+a22ab+b2=a2+2ab+b2+a22ab+b2=2a2+2b2=2a2+b2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید