سرفصل‌های این مبحث

اتحادهای جبری

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: اتحادهای جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما! برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر.

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم.

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوا دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول)

قضیه

$\forall a, b \in R : {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} \\ = {(a + b)}^{1} . {(a + b)}^{1} \\ = (a) (a) + (a) (b) + (b) (a) + (b) (b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = a^{2} + (a b + a b) + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

تمرین

توان رسانی را در عبارت ${(x + 5)}^{2}$ انجام دهید و یک اتحاد از طریق آن بنویسید.

$\begin{array}{l} {(x + 5)}^{2} \\ = {(x + 5)}^{1} . {(x + 5)}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x) (x) + (x) (5) + (5) (x) + (5) (5) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{2} + 5 x + 5 x + 25 \\ = x^{2} + (5 x + 5 x) + 25 \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) به‌دست می‌آوریم:

${(x + 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(x)}^{2} + 2 (x) (1) + {(1)}^{2} \\ = x^{2} + 2 x + 1 \end{array}$

${(2 a + b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 a)}^{2} + 2 (2 a) (b) + {(b)}^{2} \\ = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} \end{array}$

${(2 x + \frac{1}{2})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} + 2 (2 x) (\frac{1}{2}) + {(\frac{1}{2})}^{2} \\ = 4 x^{2} + 2 x + \frac{1}{4} \end{array}$

$105^{2}$

$\begin{array}{l} {(100 + 5)}^{2} \\ = {(100)}^{2} + 2 (100) (5) + {(5)}^{2} \\ = 10000 + 1000 + 25 \\ = 11025 \end{array}$

${(5 x^{3} + 3 x^{2})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(5 x^{3})}^{2} + 2 (5 x^{3}) (3 x^{2}) + {(3 x^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 25 x^{6} + 30 x^{5} + 9 x^{4} \end{array}$

${(2 x y^{2} + 3 x^{2} y)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2 x y^{2})}^{2} + 2 (2 x y^{2}) (3 x^{2} y) + {(3 x^{2} y)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 x^{2} y^{4} + 12 x^{3} y^{3} + 9 x^{4} y^{2} \end{array}$

${(- a - b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(- a)}^{2} + 2 (- a) (- b) + {(- b)}^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

$235^{2} - 230^{2} - 5^{2}$

$\begin{array}{l} = {(230 + 5)}^{2} - 230^{2} - 5^{2} \end{array}$

$= [{(230)}^{2} + 2 (230) (5) + {(5)}^{2}] - 230^{2} - 5^{2}$

$\begin{array}{l} = 2 (230) \times (5) \\ = 2300 \end{array}$

تمرین

جاهای خالی را چنان پر کنید که عبارات زیر کامل شوند:

$x^{4} + \dots + \frac{1}{x^{4}}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2})}^{2} + \dots + {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2})}^{2} + 2 (x^{2}) (\frac{1}{x^{2}}) + {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} \end{array}$

$= {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2}$

$9 a + \dots + 4 b$

$\begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} + \dots + {(2 \sqrt{b})}^{2} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} + 2 (3 \sqrt{a}) (2 \sqrt{b}) + {(2 \sqrt{b})}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$= {(3 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b})}^{2}$

تمرین

تمام مقادیر حقیقی $x, y$ را در تساوی زیر بیابید:

$x^{2} + y^{2} + x y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (x^{2} + y^{2} + x y) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + x^{2} + y^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + y)}^{2} + x^{2} + y^{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x = y = 0$

تمرین

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$25^{x} + 25^{- x} = 14$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$5^{x} + 5^{- x}$

$\begin{array}{l} A = 5^{x} + 5^{- x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = {(5^{x} + 5^{- x})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = {(5^{x})}^{2} + 2 (5^{x}) (5^{- x}) + {(5^{- x})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 5^{2 x} + 2 (5^{x}) (\frac{1}{5^{x}}) + 5^{- 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = (25^{x} + 25^{- x}) + 2 \end{array}; 25^{x} + 25^{- x} = 14$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 14 + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 16 \end{array}$

$\Rightarrow A = \pm 4; A > 0$

$\Rightarrow A = 4$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a^{2} = a + 3 \end{array}$

نشان دهید تساوی زیر برقرار است.

$a^{5} = 19 a + 21$

$\begin{array}{l} a^{5} \\ = a . a^{4} \\ = a {(a^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a {(a + 3)}^{2} \\ = a (a^{2} + 6 a + 9) \\ = a [(a + 3) + 6 a + 9] \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (7 a + 12) \\ = 7 a^{2} + 12 a \\ = 7 (a + 3) + 12 a \\ = 19 a + 21 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a^{2} = 2 a + 1 \end{array}$

نشان دهید تساوی زیر برقرار است.

$a^{5} = 29 a + 12$

$\begin{array}{l} a^{5} = a . a^{4} \\ = a . {(a^{2})}^{2} \\ = a {(2 a + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (4 a^{2} + 4 a + 1) \\ = a [4 (2 a + 1) + 4 a + 1] \\ = a (8 a + 4 + 4 a + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a (12 a + 5) \\ = 12 a^{2} + 5 a \end{array}$

$\begin{array}{l} = 12 (2 a + 1) + 5 a \\ = 24 a + 12 + 5 a \\ = 29 a + 12 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را بیابید.

$\begin{array}{l} i f 3 x + \frac{1}{2 x} = 4 \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 x + \frac{1}{2 x} = 4 \\ \Rightarrow {(3 x + \frac{1}{2 x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(3 x)}^{2} + 2 (3 x) (\frac{1}{2 x}) + {(\frac{1}{2 x})}^{2} = 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9 x^{2} + 3 + \frac{1}{4 x^{2}} = 16 \\ \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = 16 - 3 \\ \Rightarrow 9 x^{2} + \frac{1}{4 x^{2}} = 13 \end{array}$

$i f x = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = ?$

$\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{{(2 + \sqrt{3})}^{2} + 1}{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{[{(2)}^{2} + 2 (2) (\sqrt{3}) + {(\sqrt{3})}^{2}] + 1}{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{(4 + 4 \sqrt{3} + 3) + 1}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = \sqrt{4} \\ \Rightarrow \sqrt{x + \frac{1}{x}} = 2 \end{array}$

تمرین

المپیاد ریاضی

مقدار $A$ را در زیر به‌دست آورید.

$A = \sqrt{\sqrt{61 \times 63 \times 65 \times 67 + 16} - 122}$

$\begin{array}{l} i f x = 61 \\ x (x + 2) (x + 4) (x + 6) + 16 \\ = [x (x + 6)] [(x + 2) (x + 4)] + 16 \end{array}$

$= (x^{2} + 6 x) (x^{2} + 6 x + 8) + 16; x^{2} + 6 x = t$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = t (t + 8) + 16 \\ = t^{2} + 8 t + 16 \\ = {(t + 4)}^{2}; t = x^{2} + 6 x \\ = {(x^{2} + 6 x + 4)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

برای محاسبه $A$ داریم:

$\begin{array}{l} A = \sqrt{\sqrt{61 \times 63 \times 65 \times 67 + 16} - 122}; \{\begin{cases} x = 61 \\ x (x + 2) (x + 4) (x + 6) + 16 = {(x^{2} + 6 x + 4)}^{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{\sqrt{{(x^{2} + 6 x + 4)}^{2}} - 122} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{\sqrt{{(x^{2} + 6 x + 4)}^{2}} - 122}; \{\begin{cases} x = 61 \\ 2 x = 122 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{(x^{2} + 6 x + 4) - 2 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} \\ \Rightarrow A = x + 2; x = 61 \\ \Rightarrow A = 61 + 2 \\ \Rightarrow A = 63 \end{array}$

تمرین

به عدد مثبتی که در شرط زیر صدق کند، عدد طلایی می‌گویند:

$t^{2} = t + 1$

مقدار $t^{5}$ را محاسبه کنید.

$t^{2} = t + 1$

طرفین را به توان عدد دو می‌رسانیم:

${(t^{2})}^{2} = {(t + 1)}^{2}$

$\Rightarrow t^{4} = t^{2} + 2 t + 1; t^{2} = t + 1$

$\Rightarrow t^{4} = (t + 1) + 2 t + 1$

$\Rightarrow t^{4} = 3 t + 2$

طرفین تساوی را در $t$ ضرب می‌کنیم:

$\Rightarrow t \times (t^{4}) = t \times (3 t + 2)$

$\Rightarrow t^{5} = 3 t^{2} + 2 t; t^{2} = t + 1$

$\Rightarrow t^{5} = 3 (t + 1) + 2 t$

$\Rightarrow t^{5} = 5 t + 3$

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول) توجه کنید:

اتحاد اول

$S_{A C E G} = S_{A B I H} + S_{B C D I} + S_{I D E F} + S_{H I F G}$

$\Rightarrow \begin{array}{l} (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b^{2} + a b \end{array}$

$\Rightarrow {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

به عبارت دیگر:

اتحاد اول

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم)

قضیه

$\forall a, b \in R : {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} \end{array}$

$= (a - b) (a - b)$

$\begin{array}{l} = (a) (a) + (a) (- b) + (- b) (a) + (- b) (- b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} - a b - b a + b^{2} \end{array}$

$= a^{2} - 2 a b + b^{2}$

تمرین

توان رسانی را در عبارت ${(2 x - 6)}^{2}$ انجام می‌دهیم و یک اتحاد از طریق آن می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} {(2 x - 6)}^{2} \\ = {(2 x - 6)}^{1} . {(2 x - 6)}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (2 x) (2 x) + (2 x) (- 6) + (- 6) (2 x) + (- 6) (- 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36 \\ = 4 x^{2} + (- 12 x - 12 x) + 36 \\ = 4 x^{2} - 24 x + 36 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) به دست می‌آوریم:

${(x - 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(x)}^{2} - 2 (x) (1) + {(1)}^{2} \\ = x^{2} - 2 x + 1 \end{array}$

${(a - 3 b)}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(a)}^{2} - 2 (a) (3 b) + {(3 b)}^{2} \\ = a^{2} - 6 a b + 9 b^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(4 x - 3 y)}^{2} \end{array}$

$= {(4 x)}^{2} - 2 (4 x) (3 y) + {(3 y)}^{2}$

$= 16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2}$

$\begin{array}{l} {(3 x^{2} - 2 x)}^{2} \end{array}$

$= {(3 x^{2})}^{2} - 2 (3 x^{2}) (2 x) + {(2 x)}^{2}$

$= 9 x^{4} - 12 x^{3} + 4 x^{2}$

$9999^{2}$

$\begin{array}{l} = {(10.000 - 1)}^{2} \\ = {(10.000)}^{2} - 2 (10.000) (1) + {(1)}^{2} \\ = 100.000.000 - 20.000 + 1 \\ = 99.980.001 \end{array}$

${(2^{\frac{1}{5}} - 2^{0.5})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(2^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2 (2^{\frac{1}{5}}) (2^{0.5}) + {(2^{0.5})}^{2} \\ = (2^{\frac{2}{5}}) - 2 (2^{\frac{1}{5} + 0.5}) + (2^{1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{\frac{2}{5}} - 2 \times 2^{\frac{7}{10}} + 2 \\ = 2^{\frac{2}{5}} - 2^{\frac{17}{10}} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} (2 a - 3 b) (3 b - 2 a) \end{array}$

$\begin{array}{l} = - (2 a - 3 b) (2 a - 3 b) \\ = - {(2 a - 3 b)}^{2} \\ = - [{(2 a)}^{2} - 2 (2 a) (3 b) + {(3 b)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = - (4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}) \\ = 12 a b - 4 a^{2} - 9 b^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 99^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(100 - 1)}^{2} \\ = [{(100)}^{2} - 2 (100) (1) + {(1)}^{2}] \\ = 10000 - 200 + 1 \\ = 9801 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} - {(x - 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [{(x)}^{2} + 2 (x) (2) + {(2)}^{2}] - [{(x)}^{2} - 2 (x) (1) + {(1)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 4 x + 4) - (x^{2} - 2 x + 1) \\ = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} - x^{2}) + (4 x + 2 x) + (4 - 1) \\ = 0 + 6 x + 3 \\ = 6 x + 3 \end{array}$

تمرین

جاهای خالی را چنان پر کنید که عبارات زیر به مربع تفاضل دو جمله تبدیل شوند.

$4 x^{2} - \dots + y^{2}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} - \dots + {(y)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(2 x)}^{2} - 2 (2 x) (y) + {(y)}^{2} \end{array}$

$= {(2 x - y)}^{2}$

$9 a - 6 \sqrt{a} b + \dots$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} - \dots + {(b)}^{2} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(3 \sqrt{a})}^{2} - 2 (3 \sqrt{a}) (b) + {(b)}^{2} \end{array}$

$= {(3 \sqrt{a} - b)}^{2}$

تمرین

با استفاده از اتحاد دوم (اتحاد مربع تفاضل دو جمله) محل‌ های نقطه ‌چین را با عبارت مناسب پر کنید.

$\begin{array}{l} {(x - 6 y)}^{2} = x^{2} - \dots + 36 y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x - 6 y)}^{2} \\ = {(x)}^{2} - 2 (x) (6 y) + {(6 y)}^{2} \\ = x^{2} - (12 x y) + 36 y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a x - 3)}^{2} = \dots - 6 a x + \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} {(a x - 3)}^{2} \\ = {(a x)}^{2} - 2 (a x) (3) + {(3)}^{2} \\ = (a^{2} x^{2}) - 6 a x + (9) \end{array}$

${(x^{2} - y z)}^{2} = x^{4} - \dots + \dots$

$\begin{array}{l} {(x^{2} - y z)}^{2} \\ = {(x^{2})}^{2} - 2 (x^{2}) (y z) + {(y z)}^{2} \\ = x^{4} - (2 x^{2} y z) + (y^{2} z^{2}) \end{array}$

تمرین

عبارت زیر را به‌صورت مجموع مربعات چهار عدد صحیح بنویسید.

$4 a^{2} + 4 b^{2} + 4 a b$

$\begin{array}{l} = 4 a^{2} + 4 b^{2} + 4 a b + 2 a b - 2 a b \end{array}$

$\begin{array}{l} = (3 a^{2} + 3 b^{2} + 6 a b) + (a^{2} + b^{2} - 2 a b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 3 (a^{2} + b^{2} + 2 a b) + (a^{2} + b^{2} - 2 a b) \end{array}$

$= 3 {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}$

تمرین

حاصل عبارات زیر را به‌دست آورید:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

${\begin{array}{l} A^{2} = (\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}) \end{array}}^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = (2 + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} + (2 - \sqrt{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 \sqrt{4 - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 4 - 2 (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 2 \end{array}$

$\Rightarrow A = \pm \sqrt{2}; A > 0$

$\Rightarrow A = \sqrt{2}$

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{1^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) - |1 - \sqrt{2}| \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) - [- (1 - \sqrt{2})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) \end{array}$

$= 2$

نکته

به تحلیل هندسی اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) توجه کنید:

$S_{A C D G} = S_{A B H G} + S_{B C D H}$

$\Rightarrow a (a - b) = (a - b) (a - b) + b (a - b)$

$\Rightarrow a^{2} - a b = {(a - b)}^{2} + (b a - b^{2})$

$\Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

تذکر

در اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم) داریم :

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{2} \geq a b$

با استفاده از روش هندسی به اثبات نامساوی فوق می‌‌پردازیم:

$\begin{array}{l} S_{O A C} + S_{O D F} \geq S_{O A B F} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (O A) (A B + B C) + \frac{1}{2} (O F) (D F) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (b + b) + \frac{1}{2} (b) (\frac{B F}{2}) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (2 b) + \frac{1}{2} (b) (\frac{a}{2}) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} (a) (a) + \frac{1}{2} (b) (b) \geq a \times b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} \geq a \times b \end{array}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{2} \geq a \times b$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اتحادهای فرعی حاصل از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل دو جمله

قضیه

$a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$

اثبات

$\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b \end{matrix}$

قضیه

$a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$

اثبات

$\begin{matrix} {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b \end{matrix}$

قضیه

${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} \\ = 4 a b \end{array}$

به تحلیل هندسی اتحاد فوق توجه کنید:

قضیه

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

اثبات

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a b + b^{2}) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} \\ = 2 a^{2} + 2 b^{2} \\ = 2 (a^{2} + b^{2}) \end{array}$

تمرین

اگر تساوی های زیر برقرار باشد:

$\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 10 \end{cases}$

با شرط $x > y$ حاصل عبارات زير را به دست آوريد.

$x^{2} + y^{2}$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(7)}^{2} - 2 (10) \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 49 - 20 \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 29 \end{array}$

$x - y$

$\begin{array}{l} {(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \\ \Rightarrow {(x - y)}^{2} = (29) - 2 (10) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - y)}^{2} = 9 \\ \Rightarrow x - y = \pm 3; x > y \\ \Rightarrow x - y = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + \sqrt{y} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2} = x + y + 2 \sqrt{x y} \\ \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2} = 7 + 2 \sqrt{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \pm \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}; x > y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} \end{array}$

$x^{4} + y^{4}$

$\begin{array}{l} x^{4} + y^{4} \\ = {(x^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} \\ = {(29)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(29)}^{2} - 2 {(10)}^{2} \\ = 641 \end{array}$

تمرین

اگر $a + \frac{1}{a} = A$ باشد، حاصل زیر را به‌دست آورید:

$a^{2} + \frac{1}{a^{2}}; a > 0$

$\begin{array}{l} = {(a + \frac{1}{a})}^{2} - 2 a (\frac{1}{a}) \\ = A^{2} - 2 \end{array}$

$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 (\sqrt{a}) (\frac{1}{\sqrt{a}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = a + \frac{1}{a} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = A + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |a + \frac{1}{\sqrt{a}}| = \sqrt{A + 2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{A + 2} \\ \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = - \sqrt{A + 2} \end{cases}$

چون $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}$ مثبت است، پس تنها جواب زیر قابل قبول است:

$\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{A + 2}$

تمرین

اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$\{\begin{cases} x, y \in R \\ (x^{2} + 1) (y^{2} + 1) + 9 = 6 (x + y) \end{cases}$

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$x^{2} + y^{2}$

$\begin{array}{l} (x^{2} + 1) (y^{2} + 1) + 9 = 6 (x + y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 1) + 9 = 6 x + 6 y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 1 + 9 - 6 x - 6 y = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} y^{2} - 2 x y + 1) + (x^{2} + y^{2} + 9 + 2 x y - 6 x - 6 y) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x y - 1)}^{2} + {(x + y - 3)}^{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x y - 1 = 0 \Rightarrow x y = 1 \\ x + y - 3 = 0 \Rightarrow x + y = 3 \end{cases}$

$x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y \Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(3)}^{2} - 2 (1) = 7$

تمرین

اگر مجموع دو عدد $a$ و $b$ مقداری ثابت باشد، ثابت كنيد:

$a b$ وقتی ماکزیمم است که $a = b$ باشد.

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \\ \Rightarrow 2 a b = a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a b = \frac{1}{2} [a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}] \\ \Rightarrow a b = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) - \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} \end{array}$

در تساوی فوق $a b$ وقتی حداكثر مقدار خود را داراست كه ${(a - b)}^{2}$ مينيموم شود.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow a - b = 0 \\ \Rightarrow a = b \end{array} \end{array}$

تمرین

با توجه به شرط های بیان شده، مقدار مناسبی برای هریک از عبارت ها زیر به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 5 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \end{array} = ?$

یادآوری)

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b \\ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(5)}^{2} - 2 \\ = 25 - 2 \\ = 23 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x - \frac{1}{x} = ?; x > \frac{1}{x} \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \\ \Rightarrow a^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(x - \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} - 4 \\ \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array} \end{array}$

$i f x > \frac{1}{x} \Rightarrow x - \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = + (x - \frac{1}{x})$

$\begin{matrix} |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \Rightarrow x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^{2} - 4} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = ?; x > \frac{1}{x} \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a)}^{2} - {(x - \frac{1}{x})}^{2} = 4 \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array}$

$i f x > \frac{1}{x} \Rightarrow x - \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow |x - \frac{1}{x}| = + (x - \frac{1}{x})$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} |x - \frac{1}{x}| = \sqrt{a^{2} - 4} \Rightarrow x - \frac{1}{x} = \sqrt{a^{2} - 4} \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = (x - \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) = (\sqrt{a^{2} - 4}) (a) = a \sqrt{a^{2} - 4} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f a^{2} - 6 a b + b^{2} = 0 \Rightarrow \frac{a + b}{a - b} = ?; a > b > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} - 6 a b + b^{2} = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - 2 a b - 4 a b + b^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} = 4 a b \\ \Rightarrow {(a - b)}^{2} = 4 a b \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b \\ \Rightarrow {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = {(a - b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a - b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} \\ \Rightarrow 2 {(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{2} |a - b| = |a + b|; i f a > b > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} |a - b| = + (a - b) \\ |a + b| = + (a + b) \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{2} (a - b) = (a + b) \\ \Rightarrow \frac{a + b}{a - b} = \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{2}{5} \\ \Rightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} \\ \Rightarrow (x + \frac{1}{x} + 2) = \frac{25}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{17}{4} \\ \Rightarrow \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{4}{17} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow A^{2} = {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \\ \Rightarrow A^{2} = (x + 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = x + 2 + \frac{1}{x} \\ \Rightarrow A^{2} = (x + \frac{1}{x}) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{2} = 2 + 2 \\ \Rightarrow A^{2} = 4; A > 0 \\ \Rightarrow A = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x \times \frac{1}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(2)}^{2} - 2 \\ = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{4} + \frac{1}{x^{4}} \\ = {(x^{2})}^{2} + \frac{1}{{(x^{2})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2} - 2 x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} \\ = {(2)}^{2} - 2 \\ = (4) - 2 \\ = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = 1 \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{8} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = 1 \\ \Rightarrow \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 1 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{2} = 1 \\ \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2 x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 1 - 2 \\ \Rightarrow \frac{x^{8} + 1}{x^{4}} = - 1 \\ \Rightarrow \frac{x^{4}}{x^{8} + 1} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} - 2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\frac{x + 1}{\sqrt{x}})}^{2} - 2 = 4 \\ \Rightarrow {(\frac{x + 1}{\sqrt{x}})}^{2} = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{6} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{x + 1} = \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}$

$i f \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = ?$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 2 x \times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 16 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 16 - 2 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = 14 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = \frac{1}{14} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x - \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x^{2} + x^{- 2} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = {(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 2 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 2 + 2 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} + 4 \\ \Rightarrow x^{2} + x^{- 2} = x + \frac{1}{x} + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 2 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x + y = ? \end{array}$

یادآوری)

$\begin{array}{l} i f u^{2} + v^{2} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} u = 0 \\ v = 0 \end{cases} \\ 2 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y - 2 x + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 2 x + 1) + (4 y^{2} - 4 x y + x^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(2 y - x)}^{2} = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ 2 y - x = 0 \Rightarrow 2 y = x \Rightarrow 2 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} x + y = (1) + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow x^{500} + \frac{1}{x^{500}} = ? \end{array}$

$\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} + x = - 1 \Rightarrow - x^{2} - x = 1 \\ x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow x (x + 1 + \frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow (x + 1 + \frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = - 1 \\ x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{3} = - x^{2} - x \Rightarrow x^{3} = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} x^{500} + \frac{1}{x^{500}} \\ = {(x^{3})}^{166} \cdot x^{2} + \frac{1}{{(x^{3})}^{166} \cdot x^{2}} \\ = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \\ = {(- 1)}^{2} - 2 \\ = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow 5 x^{234} - x^{99} = ? \end{array}$

$x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} - x^{2} - x = 1 \\ x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{3} = - x^{2} - x \Rightarrow x^{3} = 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} 5 x^{234} - x^{99} \\ = 5 {(x^{3})}^{78} - {(x^{3})}^{33} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = 5 {(1)}^{78} - {(1)}^{33} \\ = 5 - 1 \\ = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \frac{x}{x^{2} + 1} = a \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x^{2} + 1} = a \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = {(\frac{1}{a})}^{2} - 2 \\ \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{1}{a^{2}} - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{A} = \frac{1 - 2 a^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow A = \frac{a^{2}}{1 - 2 a^{2}} \end{array}$

$i f x - \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = ?; x > 0$

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{x} = 4 \\ \Rightarrow {(x - \frac{1}{x})}^{2} = {(4)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = 16 \\ \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 18 \\ \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 18 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} = 20; x > 0 \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt{20} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \sqrt{5} \end{array}$

$A = x^{2} - \frac{1}{x^{2}} = (x - \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) = (4) (2 \sqrt{5}) = 8 \sqrt{5}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$a + b = 1$

ثابت کنید:

$a^{2} (a + 1) + b^{2} (b + 1) = 2 - 5 a b$

$\begin{array}{l} a + b = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} b = 1 - a \\ a = 1 - b \end{cases} \\ a^{2} (a + 1) + b^{2} (b + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} = a^{2} [(1 - b) + 1] + b^{2} [(1 - a) + 1] \\ = a^{2} (2 - b) + b^{2} (2 - a) \\ = 2 a^{2} - a^{2} b + 2 b^{2} - a b^{2} \\ = (2 a^{2} + 2 b^{2}) - a b (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 (a^{2} + b^{2}) - a b (a + b) \\ = 2 [{(a + b)}^{2} - 2 a b] - a b (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 [{(1)}^{2} - 2 a b] - a b (1) \\ = 2 - 4 a b - a b \\ = 2 - 5 a b \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y - 6 x + 9 = 0 \Rightarrow x, y = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} + y^{2} - 2 x y - 6 x + 9 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \Rightarrow x = y \\ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3 \end{cases} \end{array}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 8 z + 29 = 0 \Rightarrow x, y, z = ?$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 8 z + 29 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) + (z^{2} - 8 z + 16) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ y + 3 = 0 \Rightarrow y = - 3 \\ z - 4 = 0 \Rightarrow z = 4 \end{cases} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

اگر $x^{2} + \frac{10}{x^{2} + 1} = 9$ باشد، مقدار زیر کدام است؟

${(x^{2} + 1)}^{2} + \frac{100}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$98$
$90$
$88$
$80$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{9}$

$38 \sqrt{5} + 17$
$38 \sqrt{5} - 17$
$17 \sqrt{5} + 38$
$17 \sqrt{5} - 38$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 3

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$9 a^{2} + 4 b^{2} + 12 a b = 0$

تمام مقادیر حقیقی $a$ و $b$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$(a, b) = (- \frac{1}{3} x, x)$
$(a, b) = (\frac{1}{3} x, x)$
$(a, b) = (- \frac{2}{3} x, x)$
$(a, b) = (\frac{2}{3} x, x)$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 4

برای اعداد حقیقی و مثبت $x, y > 0$ داریم:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x^{4} + y^{4} = \frac{17}{18} \end{cases}$

مقدار $x y$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 5

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a$

$a + b + c$ کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$3 a$
$2 b$
$a b c$
$2 c$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 6

معادله زیر چند ریشه دارد؟

$x^{2} - 5 x - 4 \sqrt{x} + 13 = 0$

یک ریشه
ریشه ندارد
دو ریشه
سه ریشه

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 7

المپیاد مقدماتی ریاضی

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$\sqrt{5 + \sqrt{2}} + \sqrt{5 - \sqrt{2}}$

این عبارت مساوی کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$\sqrt{10 + 3 \sqrt{23}}$
$\sqrt{10 + 2 \sqrt{23}}$
$\sqrt{10 + 2 \sqrt{22}}$
$\sqrt{10 + 3 \sqrt{22}}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 8

المپیاد مقدماتی ریاضی

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{8} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{8}$

این عبارت مساوی کدام‌یک از گزینه های زیر است؟

$36$
$35$
$49$
$47$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 9

المپیاد مقدماتی ریاضی

در تساوی زیر، مقدار $a$ چند است؟

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} - a b - b c - c d - d + \frac{2}{5} = 0; d, c, b, a \in R > 0$

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 10

المپیاد ریاضی

مجموعه $S$ را مجموعه همه اعداد حقیقی مثل $a$ می‌گیریم که برای آنها اعداد حقیقی $x, y$ موجود باشند به‌گونه ای که:

$a (a - 1) + x (x - 1) + y (y - 1) = \frac{3}{2}$

می‌دانیم که $S$ یک بازه است، طول این بازه چقدر است؟

$[- 2, 1]$
$[- 2, - 1]$
$[2, - 1]$
$[- 1, 2]$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

اتحادهای جبری

اتحاد مربع مجموع و تفاضل دو جمله

اتحاد مربع مجموع دو جمله (اتحاد اول)

اتحاد مربع تفاضل دو جمله (اتحاد دوم)

اتحادهای فرعی حاصل از اتحادهای مربع مجموع و تفاضل دو جمله

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟