مجانب قائم

آخرین ویرایش: 25 دی 1402
دسته‌بندی: مجانب در ریاضی
امتیاز:

تعریف مجانب قائم

خط x=a را مجانب قائم منحنی تابع y=fx گوئیم، هر گاه:

limxafx=

تمرین

اگر خط x=a  مجانب قائم  تابع y=fx باشد، برای حکم‌های زیر منحنی مناسبی رسم می‌کنیم:

limxa+fx=+

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxafx=+

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxafx=+

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxa+fx=

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxafx=

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxafx=

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxa+fx=limxafx=+

مجانب قائم - پیمان گردلو

limxa+fx=+limxafx=

مجانب قائم - پیمان گردلو

تمرین

مجانب های قائم منحنی توابع زیر را به‌دست آورید.

fx=x24x+3x22x3

محاسبه مجانب قائم:

y±x22x3=0x=1x=3


limx1fx=limx1x24x+3x22x3=limx1x3x1x3x+1=limx1x1x+1=


خط x=-1 مجانب قائم منحنی تابع است.


limx3fx=limx3x24x+3x22x3=limx3x3x1x3x+1=limx3x1x+1=12


خط x=3 مجانب قائم منحنی تابع نیست.

fx=x+1x3+x

fx=x+1x3+xfx=x+1xx2+1     ;    limx0+fx=+limx0fx=


خط x=0 مجانب قائم منحنی تابع است و در مجاورت این خط نمودار تابع به‌صورت زیر خواهد بود:

مجانب قائم - پیمان گردلو

نکته

1- مجانب قائم فقط در توابع کسری وجود دارد، زیرا اگر x به‌سمت ریشه های مخرج میل کند، حد تابع به سمت  میل می کند.

در عمل برای تعیین مجانب قائم منحنی، مخرج کسر را مساوی صفر قرار می‌دهیم.


2-
 مجانب های قائم به‌صورت x=a جزء دامنه تعریف تابع نیستند، ولی همسایگی چپ یا راست آنها یعنی a+α یا a-α عضو دامنه هستند. به عبارت دیگر:

الف) شرط آن‌که f وقتی xa+ دارای مجانب قائم باشد آن است که تابع در همسایگی راست a,a+α از a تعریف شده و بی‌کران باشد.  

ب) شرط آن‌که f وقتی xa- دارای مجانب قائم باشد آن است که تابع در همسایگی چپ a-α,a از a تعریف شده و بی‌کران باشد.  


3-  اگر تابع f کراندار باشد، آن‌گاه مجانب قائم نداریم. 

توابع به‎‌صورت y=Arcsingx و سایر Arc ها هرگز مجانب قائم ندارند.

تمرین

مجانب قائم توابع زير را به‌دست آوريد.

y=x2+3x13

x13=0x1=3x1=±3

x=4x=2Df=R2,4


توجه شود كه x=-2,4 به دامنه تعلق ندارند.


حداقل همسايگی چپ يا راستشان يعنی 4+,4 یا 2+,2 در دامنه هست.


پس خطوط x=-2,4 را به‌عنوان مجانب قائم معرفی می‌كنيم.   

y=x1x24

Df:x10x1x24=0x2=4x=±2


Df=1,++2,2


از بين خطوط x=-2,2 خط x=2 را به‌عنوان مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا 2+ در دامنه تعريف هست.


اما خط x=-2 را به‌عنوان مجانب قائم قبول نداريم زيرا 2 یا 2+ در دامنه تعريف نيست.  

y=1x32x2+x

x32x2+x=0xx22x+1=0xx12=0

x=0x=1Df=R0,1


خطوط x=0,1 مجانب قائم هستند و همسايگی راست و چپ هر دو نقطه در دامنه تعريف هست.

if  x0x1y

y=tanx2cosx1    ;    0,2π

y=tanx2cosx1= sinxcosx2cosx1=sinxcosx2cosx1


cosx2cosx1=0


cosx=0x=π2   ,   x=3π2


2cosx1=02cosx=1cosx=12cosx=cosπ3x=2kπ±π3x=π3x=5π3


خطوط زیر در فاصله 0,2π مجانب های قائم تابع می‌باشد.

y=4x2

Df:x2>0x>2    ;    Df=2,+


x2=0x22=02x2=0x=2


خط x=2 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل 2+ در دامنه تعريف موجود است.


if  x2+y+

y=5x+4x

Df:x>0x<0    ;    Df=,0


x=0x=0x=0


خط x=0 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل 0- در دامنه تعريف موجود است.


ifx0y+

y=x21x12

Df:x12=0x1=0x=1    ;    Df=R1


خط x=1 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا  1+,1- در دامنه تعريف موجود است.


if  x1y

y=x2x2

Df:x2=0x=2    ;    Df=R2


if  x2+y1if  x2y1


مجانب قائم نداريم.

y=x21x

Df:x210x21x1x1x1x=0


Df=,11,+0


خط x=0 را مجانب قائم نیست، زيرا  0+ یا 0- در دامنه تعريف موجود است.

y=2x1x3

Df:x0x3=0x=3x=9


Df=0,+9


خط x=9 را مجانب قائم است.


if  x9y

y=2x+x2+1x1

x1=0x=1    ;    Df=R1


خط x=1 را مجانب قائم است.


if  x1y

y=5x2x

Df:2x>0x<22x=02x=0x=2


Df=,2


خط x=2 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل 2- در دامنه تعريف موجود است.

y=tanx

y=tanx=sinxcosx


Df  :  cosx=0x=kπ+π2    ;    Df=Rkπ+π2


خطوط زیر همگی مجانب های قائم تابع هستند:


x=kπ+π2

y=x23x+2x25x+6

Df:x25x+6=0x2x3=0x=2x=3


Df=R2,3


limx2x23x+2x25x+6=limx2x1x2x3x2=limx2x1x3=1


خط x=2 مجانب قائم نيست.


limx3x23x+2x25x+6=limx3x1x2x3x2=limx3x1x3=


خط x=3 مجانب قائم است.


if  x3y

y=1x2+1x3+1

Df:x2>0x>2x3>0x>3


Df=3,+


x2=0x2=0x=2


خط x=2 مجانب قائم نيست زیرا تابع در همسایگی این نقطه تعریف نشده است.


x3=0x3=0x=3


خط x=3 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل 3+ در دامنه تعريف موجود است.

y=Lnx1

Df:x1>0x>1    ;    Df=1,+


limx1+lnx1=


خط x=1 را مجانب قائم معرفی می‌كنيم زيرا حداقل 1+ در دامنه تعريف موجود است.

y=1x3+lnx

Df:x3=0x=3x>0


Df=0,+3


limx3fx=


خط x=3 را مجانب قائم است.


limx0+fx=


خط x=0 را مجانب قائم است.

y=1+tanx2sinx1    ;    x0,2π

y=1+tanx2sinx1=1+ sinxcosx2sinx1=cosx+sinxcosx2sinx1


cosx2sinx1=0


cosx=0x=π2  ,  3π2


2sinx1=0sinx=12sinx=sinπ6


x=2kπ+π6x=2kπ+ππ6x=π6  ,  5π6

y=sin2xcos3x

y=sin2x4cos3x3cosx=2sinxcosxcosx4cos2x3=2sinx4cos2x3


4cos2x3=0cos2x=34cosx=±32


ifcosx=32=cosπ6x=2kπ±π6x=π6   ,  11π6


if  cosx=32=cosππ6=cos5π6x=2kπ±5π6x=5π6  ,  7π6

y=sin3xsin2x    ;    0,2π

y=sin3xsin2x=3sinx4sin2x2sinxcosx=34sinx2cosx


cosx=0x=π2  ,  3π2

تمرین

m را چنان بيابيد تا منحنی تابع به معادله زیر فقط يک مجانب قائم داشته باشد. 

y=x2+1x2+mx+4

برای یافتن مجانب قائم، ریشه مخرج را به‌دست می‌آوریم:

x2+mx+4=0


شرط آن‌که منحنی فقط یک مجانب قائم داشته باشد،آن است که معادله درجه دوم فوق فقط یک ریشه داشته باشد، یعنی داشته باشیم:

Δ=0b24ac=0m2414=0


m216=0m2=16m=±4


يعنی هر يک از توابع زیر فقط دارای يک مجانب قائم می‌باشند.

y=x2+1x24x+4y=x2+1x2+4x+4

تمرین

m را چنان تعيين كنيد تا منحنی تابع به معادله زیر فقط يک مجانب قائم داشته باشد.

y=x1x2+mx4

برای یافتن مجانب قائم، ریشه مخرج را به‌دست می‌آوریم:


x2+mx4=0


شرط آن‌که منحنی فقط یک مجانب قائم داشته باشد،آن است که معادله درجه دوم فوق فقط یک ریشه داشته باشد:

Δ=0b24ac=0


m2414=0m2+16=0


دلتا همواره مثبت است و از اين طريق نمی‌توانيم m را بيابيم.


بايد ريشه صورت را در مخرج قرار دهيم:


x1=0x=1


12+m14=01+m4=0m=3


وضع جديد تابع به‌صورت زیر است كه اين تابع بيان‌گر اين مطلب است كه فقط يک مجانب قائم دارد.


y=x1x2+3x4=x1x1x+4limx1y=15limx4y=±


خط x=-4 را مجانب قائم است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

y=x2+x+1mx2+m+nx+mn

اگر خطوط x=10,100 معادلات مجانب های قائم منحنی تابع باشد، آن‌گاه:

m,n را بیابید.

معادله زیر را در نظر بگیرید:


mx2+m+nx+mn=0


ريشه های معادله فوق، اعداد زیر هستند:

x'=10 , x''=100


x'x''=ca10×100=mnmn=1000


x'+x''=ba10+100=m+nm110=m+1000m


110m=m+1000111m=1000m=1000111

دریافت مثال

تذکر

در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 داریم:

if  a0x'x''cbif  a,b0x'x''

تمرین

معادلات مجانب های قائم منحنی به معادله زیر را بيابيد.

x2y24xy4x2+5xy2=0

x2y24xy4x2+5xy2=0x21ay24yx+5x4x2=0


مجانب های قائم:

if  yx210x±1

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مجانب قائم

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید