حاصل‌ ضرب دکارتی n مجموعه

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنید $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ ، به تعداد $n$ مجموعه دل‌خواه باشند، حاصل‌ضرب دکارتی $A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\begin{array}{l} \prod_{i = 1}^{n} A_{i} \end{array} \begin{array}{l} = A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n} \end{array}$

$\prod_{i = 1}^{n} A_{i} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) | a_{1} \in A_{1} \land a_{2} \in A_{2} \land ... \land a_{n} \in A_{n}\}$

و هر یک از عناصر $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ را یک $n$ تایی مرتب می‌گوییم.

واضح است که اگر $A_{1} = A_{2} = \dots = A_{n} = ℝ$ باشد ،در این‌صورت مجموعه $ℝ \times ℝ \times \dots \times ℝ$ را با $ℝ^{n}$ نشان می‌دهیم، یعنی:

$ℝ^{n} = \{(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) | a_{i} \in ℝ\}$

نکته

1- اگر $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ مجموعه‌های با پایان باشند، آن‌گاه تعداد اعضای حاصل‌ضرب دکارتی $n$ مجموعه برابر است با:

$n (A_{1} \times A_{2} \times ... \times A_{n}) = n (A_{1}) \times n (A_{2}) \times ... \times n (A_{n})$

2- عمل حاصل‌ضرب را می‌توان به‌صورت‌های زیر بین مجموعه‌های متفاوت تعریف کرد و تعمیم داد:

$(A \times B) \times (C \times D) = \{(x, y), (z, t) | (x, y) \in A \times B \land (z, t) \in C \times D\}$

توجه کنید اگر زوج مرتب $(x, y)$ متعلق به $(A \times B)$ باشد فقط می‌توان نتیجه گرفت که $\{\begin{cases} x \in A \\ y \in B \end{cases}$ اما در صورتی‌که زوج مرتب $(x, y)$ در $(A \times B)$ نباشد، سه حالت زیر ممکن است اتفاق بیافتد:

$(x, y) \notin (A \times B) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \notin A \land y \in B \\ x \in A \land y \notin B \\ x \notin A \land y \notin B \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

حاصل ضرب دکارتی

حاصل‌ ضرب دکارتی n مجموعه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟