حاصل‌ ضرب دکارتی سه‌ مجموعه

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: حاصل ضرب دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنیم $A$ و $B$ و $C$ سه مجموعه دل‌خواه باشند، می‌خواهیم حاصل‌ضرب دکارتی $A \times B \times C$ را تعریف کنیم.

نخست ببینیم حاصل‌ضرب $(A \times B) \times C$ چیست؟

برای این‌کار فرض می‌کنیم:

$(A \times B) = D$

باشد، بنابراین:

$(A \times B) \times C = D \times C = \{(d, z) | d \in D \land z \in C\}$

اما هر عنصر $D = A \times B$ زوج مرتبی به‌صورت $d = (x, y)$ است، بنابراین:

$(A \times B) \times C = \{((x, y), z) | x \in A \land y \in B \land z \in C\}$

و حاصل‌ضرب دکارتی $A \times (B \times C)$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$A \times (B \times C) = \{(x, (y, z)) | x \in A \land y \in B \land z \in C\}$

در مجموعه‌های $\{\begin{cases} A \times (B \times C) \\ (A \times B) \times C \end{cases}$ عناصر $\{\begin{cases} ((x, y), z) \\ (x, (y, z)) \end{cases}$ با هم تفاوت دارند.

در $((x, y), z)$ مولفه اول $(x, y)$ است.
در $(x, (y, z))$ مولفه اول $x$ است.

پس موقتا داریم:

$A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$

در ریاضیات قرار داد شده که بین $((x, y), z)$ و $(x, (y, z))$ فرقی نباشد و در این‌صورت هردوی این‌ها را با نماد $(x, y, z)$ نشان می‌دهیم و همان‌طور که گفتیم آن‌را یک سه‌تایی مرتب می‌گوییم و داریم:

$\begin{array}{l} A \times B \times C \end{array}$

$\begin{array}{l} = (A \times B) \times C \end{array}$

$\begin{array}{l} = A \times (B \times C) \end{array}$

$= \{(x, y, z) | x \in A \land y \in B \land z \in C\}$

نکته

1- اگر $A$ مجموعه‌ای $m$ عضوی و $B$ مجموعه‌ای $n$ عضوی و $C$ مجموعه‌ای $p$ باشد، برای تعیین تعداد اعضای مجموعه $A \times B \times C$ یعنی تعداد سه‌تایی‌های مرتب داریم:

$n (A \times B \times C) = n (A) \times n (B) \times n (C) = m \times n \times p$

2- اگر $A = B = C = ℝ$ باشد، $A \times B \times C$ را با $ℝ^{3} = ℝ \times ℝ \times ℝ$ نشان می‌دهیم، بنابراین:

$ℝ^{3} = \{(x, y, z) | x \in ℝ \land y \in ℝ \land z \in ℝ\}$

می‌توان گفت $ℝ^{3}$ کلیه نقاط موجود در فضا را در بر می‌گیرد و هر نقطه از فضا دارای سه‌بعد طول، عرض و ارتفاع می‌باشد، بنابراین هرنقطه از آن در فضای سه‌بعدی به‌صورت یک‌سه تایی مرتب است و حجم در مجموعه $ℝ^{3}$ تعریف شده است.

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A = \{1\} \\ B = \{a, b\} \\ C = \{x, y\} \end{array}$

هر يک از مجموعه های زير را مشخص كنيد.

$\begin{array}{l} A \times (B \times C) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{(1, (a, x)), (1, (a, y)), (1, (b, x)), (a, (b, y))\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (a, b, y)\} \end{array}$

$(A \times B) \times C$

$\begin{array}{l} = \{((1, a), x), ((1, a), y), ((1, b), x), ((1, b), y\} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (a, b, y)\} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} A = \{1, 2\} \\ B = \{a, b, c\} \\ C = \{3, 4\} \end{array}$

مجموعه زیر را با نمودار درختی مشخص كنيد.

$A \times B \times C$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} A \times B \times C \end{array}$

$\begin{array}{l} = \{(1, a, 3), (1, a, 4), (1, b, 3), (1, b, 4), (1, c, 3), (1, c, 4), (2, a, 3), (2, a, 4), (2, b, 3), (2, b, 4), (2, c, 3), (2, c, 4)\} \end{array}$