اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

اصل شمول و عدم شمول برای دو مجموعه

اگر A یک مجموعه متناهی باشد، تعداد عضوهای مجموعه A را با A یا nA نشان می‌دهیم.

با توجه به نمودار ون نتیجه می‌گیریم، اگر A1 و A2 دو مجموعه متناهی باشند، رابطه زیر برقرار می‌باشد:

اصل شمول و عدم شمول - پیمان گردلو

A1A2=A1+A2A1A2

تذکر

در شمارش اعضای A1A2 ابتدا همه اعضای A1 و A2 را به‌حساب می‌آوریم .(اصل شمول

اما در این‌صورت اعضای A1A2 دو بار به‌حساب می‌آیند که آنها را یک بار از شمارش خارج می‌کنیم. (عدم شمول

قضیه

تعداد اعضایی از S که نه به A1 و نه به A2 متعلق هستند، از فرمول زیر به‌دست می‌آید:  

A¯1A¯2=SA1+A2A1A2

اثبات

A1A2¯=A¯1A¯2A1A2¯=S(A1A2)A¯1A¯2=SA1A2A¯1A¯2=A1A2¯=SA1A2=SA1+A2A1A2

نکته

AB=AB¯=AAB

BA=BA¯=BAB

تمرین

از دانش آموزان دو كلاس روی هم 72 نفر در درس رياضی، 67 نفر در درس فیزیک و 65 نفر در هر دو درس قبول شده‌اند، اگر 5 نفر در هر دو درس مردود شده باشند، دو كلاس روی هم چند دانش آموز دارد؟

:A مجموعه دانش آموزان  قبول شده در درس ریاضی


:B مجموعه دانش آموزان  قبول شده در درس فیزیک


:ABمجموعه دانش آموزان  قبول شده در هر دو درس


:A¯B¯ مجموعه دانش آموزانی که در هر دو درس مردود شده‌اند

A=72B=67AB=65A¯B¯=5

AB=A+BAB=72+67-65=74


S را مجموعه دانش آموزان دو كلاس می‌ناميم، بنابراين:

S=AB+AB¯=AB+A¯B¯=74+5=79

دریافت مثال

اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه

اصل شمول و عدم شمول در مورد سه مجموعه متناهی A3  ,  A2  ,  A1 با توجه به نمودار ون به‌صورت زیر است:

اصل شمول و عدم شمول - پیمان گردلو

A1A2A3=A1+A2+A3A1A2A1A3                                          A2A3+A1A2A3

نکته

تعداد اعضایی از S که نه به A1 و نه به A2 و نه به A3  متعلق هستند، از فرمول زیر به‌دست می‌آید:  

A¯1A¯2A¯3=A1A2A3¯=SA1A2A3=SA1A2A3+A1A2+A1A3+A2A3A1A2A3

تمرین

مطلوب است تعداد اعداد كمتر از 100 كه بر 2 یا 3 یا 5 بخش پذيرند.

A1A2A3=A1+A2+A3A1A2A1A3A2A3+A1A2A3=992+993+995993×2992×5993×5+992×3×5

دریافت مثال

اصل شمول و عدم شمول برایnمجموعه 

اصل شمول و عدم شمول در مورد n مجموعه متناهی An, .... ,  A2  ,  A1 به‌صورت زیر است:

A1A2An=A1+A2++AnA1A2++An1An       +A1A2A3++An2An1An                                                                                  +-1n+1A1A2An

  • تعداد جملات پرانتز اول n1، تعداد جملات پرانتز دوم n2 و .... و تعداد جملات nام nn می‌باشد.
  • به زبان ساده‌تر اگر فرض کنیم Sk به‌معنی مجموع تعداد اعضای تمام اشتراک‌های k تایی از بین An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 باشد، آن‌گاه:

A1A2An=S1S2++(1)k+1Sk++(1)nSn

نکته

صورت کاربردی اصل شمول و عدم شمول برای n مجموعه

فرض کنید A مجموعه‌ای متناهی و دلخواه باشد و An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 به‌ترتیب شامل آن اعضایی از A باشند که دارای خاصیت mn  ,  ..  ,  m1 باشد.   

mn  ,  ..  ,  m1 خاصیت‌هایی در مورد اعضای A هستند و اگر A¯i نشان دهنده اعضایی از A است که خاصیت mi را ندارند، در این‌صورت:  

A¯1A¯2An¯=AS1+S2++(1)kSk++(1)nSn

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید