سرفصل‌های این مبحث

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

آخرین ویرایش: 06 اسفند 1402

دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

اصل شمول و عدم شمول برای دو مجموعه

اگر $A$ یک مجموعه متناهی باشد، تعداد عضوهای مجموعه $A$ را با $|A|$ یا $n (A)$ نشان می‌دهیم.

با توجه به نمودار ون نتیجه می‌گیریم، اگر $A_{1}$ و $A_{2}$ دو مجموعه متناهی باشند، رابطه زیر برقرار می‌باشد:

اصل شمول و عدم شمول - پیمان گردلو

$|A_{1} \cup A_{2}| = |A_{1}| + |A_{2}| - |A_{1} \cap A_{2}|$

تذکر

در شمارش اعضای $A_{1} \cup A_{2}$ ابتدا همه اعضای $A_{1}$ و $A_{2}$ را به‌حساب می‌آوریم .(اصل شمول)

اما در این‌صورت اعضای $A_{1} \cap A_{2}$ دو بار به‌حساب می‌آیند که آنها را یک بار از شمارش خارج می‌کنیم. (عدم شمول)

قضیه

تعداد اعضایی از $S$ که نه به $A_{1}$ و نه به $A_{2}$ متعلق هستند، از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$|{\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2}| = |S| - (|A_{1}| + |A_{2}| - |A_{1} \cap A_{2}|)$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \bar{A_{1} \cup A_{2}} = {\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2} \\ \bar{A_{1} \cup A_{2}} = S - (A_{1} \cup A_{2}) \end{cases} \end{array}$

${\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2} = S - (A_{1} \cup A_{2})$

$|{\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2}| = |\bar{A_{1} \cup A_{2}}| = |S| - |A_{1} \cup A_{2}| = |S| - (|A_{1}| + |A_{2}| - |A_{1} \cap A_{2}|)$

نکته

$|A - B| = |A \cap \bar{B}| = |A| - |A \cap B|$

$|B - A| = |B \cap \bar{A}| = |B| - |A \cap B|$

تمرین

از دانش آموزان دو كلاس روی هم $72$ نفر در درس رياضی، $67$ نفر در درس فیزیک و $65$ نفر در هر دو درس قبول شده‌اند، اگر $5$ نفر در هر دو درس مردود شده باشند، دو كلاس روی هم چند دانش آموز دارد؟

$: A$ مجموعه دانش آموزان قبول شده در درس ریاضی

$: B$ مجموعه دانش آموزان قبول شده در درس فیزیک

$: A \cap B$ مجموعه دانش آموزان قبول شده در هر دو درس

$: \bar{A} \cap \bar{B}$ مجموعه دانش آموزانی که در هر دو درس مردود شده‌اند

$\begin{array}{l} |A| = 72 \\ |B| = 67 \\ |A \cap B| = 65 \\ |\bar{A} \cap \bar{B}| = 5 \end{array}$

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 72 + 67 - 65 = 74$

$S$ را مجموعه دانش آموزان دو كلاس می‌ناميم، بنابراين:

$|S| = |A \cup B| + |\bar{A \cup B}| = |A \cup B| + |\bar{A} \cap \bar{B}| = 74 + 5 = 79$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه

اصل شمول و عدم شمول در مورد سه مجموعه متناهی $A_{3}, A_{2}, A_{1}$ با توجه به نمودار ون به‌صورت زیر است:

اصل شمول و عدم شمول - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} |A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}| = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}| - |A_{1} \cap A_{2}| - |A_{1} \cap A_{3}| - |A_{2} \cap A_{3}| + |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}| \end{array}$

نکته

تعداد اعضایی از $S$ که نه به $A_{1}$ و نه به $A_{2}$ و نه به $A_{3}$ متعلق هستند، از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

$\begin{array}{l} |{\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2} \cap {\bar{A}}_{3}| \\ = |\bar{A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}}| \\ = |S| - |A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}| \end{array}$

$= |S| - |A_{1}| - |A_{2}| - |A_{3}| + |A_{1} \cap A_{2}| + |A_{1} \cap A_{3}| + |A_{2} \cap A_{3}| - |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}|$

تمرین

مطلوب است تعداد اعداد كمتر از $100$ كه بر $2$ یا $3$ یا $5$ بخش پذيرند.

$\begin{array}{l} |A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}| \end{array}$

$\begin{matrix} = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}| - |A_{1} \cap A_{2}| - |A_{1} \cap A_{3}| - |A_{2} \cap A_{3}| + |A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}| \end{matrix}$

$\begin{matrix} = [\frac{99}{2}] + [\frac{99}{3}] + [\frac{99}{5}] - [\frac{99}{3 \times 2}] - [\frac{99}{2 \times 5}] - [\frac{99}{3 \times 5}] + [\frac{99}{2 \times 3 \times 5}] \end{matrix}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

اصل شمول و عدم شمول برای $n$ مجموعه

اصل شمول و عدم شمول در مورد $n$ مجموعه متناهی $A_{n}, ...., A_{2}, A_{1}$ به‌صورت زیر است:

$\begin{array}{l} |A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| \end{array}$

$\begin{array}{l} = (|A_{1}| + |A_{2}| + \dots + |A_{n}|) - (|A_{1} \cap A_{2}| + \dots + |A_{n - 1} \cap A_{n}|) \end{array}$

$\begin{array}{l} + (|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}| + \dots + |A_{n - 2} \cap A_{n - 1} \cap A_{n}|) \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \\ ⋮ \end{array}$

$+ {(- 1)}^{n + 1} |A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}|$

تعداد جملات پرانتز اول $(\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix})$ ، تعداد جملات پرانتز دوم $(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})$ و .... و تعداد جملات $n$ ام $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})$ می‌باشد.
به زبان ساده‌تر اگر فرض کنیم $S_{k}$ به‌معنی مجموع تعداد اعضای تمام اشتراک‌های $k$ تایی از بین $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ باشد، آن‌گاه:

$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = S_{1} - S_{2} + \dots + {(- 1)}^{k + 1} S_{k} + \dots + {(- 1)}^{n} S_{n}$

نکته

صورت کاربردی اصل شمول و عدم شمول برای $n$ مجموعه

فرض کنید $A$ مجموعه‌ای متناهی و دلخواه باشد و $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ به‌ترتیب شامل آن اعضایی از $A$ باشند که دارای خاصیت $m_{n}, .., m_{1}$ باشد.

$m_{n}, .., m_{1}$ خاصیت‌هایی در مورد اعضای $A$ هستند و اگر ${\bar{A}}_{i}$ نشان دهنده اعضایی از $A$ است که خاصیت $m_{i}$ را ندارند، در این‌صورت:

$|{\bar{A}}_{1} \cap {\bar{A}}_{2} \cap \dots \cap \bar{A_{n}}| = |A| - S_{1} + S_{2} + \dots + {(- 1)}^{k} S_{k} + \dots + {(- 1)}^{n} S_{n}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

اصل شمول و عدم شمول برای دو مجموعه

اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه

اصل شمول و عدم شمول برای $n$ مجموعه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل شمول و عدم شمول (تعریف)

اصل شمول و عدم شمول برای دو مجموعه

اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه

اصل شمول و عدم شمول برایnمجموعه

اصل شمول و عدم شمول برای $n$ مجموعه