سرفصل‌های این مبحث

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل جمع و ضرب

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399

آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400

دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

امتیاز:

بازدید: 37 مرتبه

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه‌ای بر شمارش

شاید شمارش در نظر برخی افراد، یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و تنها یک عمل ساده باشد، اما آیا واقعا شمردن همیشه آسان است؟

می‌دانید که دو اتومبیل نباید پلاک یکسان داشته باشند.

با پلاک‌هایی به‌صورت زیر، با استفاده از حروف و اعداد، چند اتومبیل را می‌توان شماره گذاری کرد؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

امروزه به افراد جهت شناسایی آنها شناسه‌های مختلفی نسبت می‌دهند، از جمله:

شماره شناسنامه
کد ملی
پلاک ماشین

نیز جهت تعیین مالکیت آنها، شماره و کدهایی نسبت داده می‌شود که گاهی از چند رقم یا حروفی در کنار هم تشکیل شده‌اند.

در این بخش به دنبال یافتن روش‌هایی برای شمارش اعضای یک مجموعه محدود با قوانین معین و تعیین تعداد حالات ممکنه بدون شمردن هر یک از حالات هستیم به‌عبارت دیگر آنالیز ترکیبی روش‌های شمارش را ارائه می‌دهد.

اصل جمع

اگر برای انجام عمل $A$ تعداد $n (A)$ روش و برای انجام عمل $B$ تعداد $n (B)$ روش وجود داشته باشد، با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل $A$ (یا) عمل $B$ عبارت است از:

$n (A) + n (B)$

اصل جمع را می‌توان برای $n$ عمل $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ که به‌ترتیب به $n (A_{n}), ..., n (A_{2}), n (A_{1})$ روش انجام آنها امکان پذیر است، تعمیم داد که در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل $A_{1}$ (یا) $A_{2}$ (یا) .... (یا) $A_{n}$ عبارت است از:

$\sum_{i = 1}^{n} n (A_{i}) = n (A_{1}) + n (A_{2}) + \cdot \cdot \cdot + n (A_{n})$

تمرین

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به $(2)$ طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک زن از میان سه زن به $(3)$ طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به $(2 + 3 = 5)$ طریق امکان پذیر است.

تمرین

امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون دوستش پوریا را دعوت کند.

او با خود فکر می‌کند که پوریا را به یکی از دو مکان، رستوران (یا) آب‌میوه فروشی دعوت کند.

اگر به رستوران برود، تنها یکی از دو نوع غذای چلوخورشت قورمه سبزی و قیمه را می‌تواند انتخاب کند و اگر به آب‌میوه فروشی برود، تنها یکی از سه نوع آب میوه هویج، سیب و پرتقال را می‌تواند انتخاب کند.

چند انتخاب برای پوریا وجود دارد؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

امین یکی از دو مکان را رفته یا به رستوران می‌رود و یکی از دو غذا را انتخاب می‌کند و یا به آب‌میوه فروشی می‌رود و یکی از سه نوع آب‌میوه را انتخاب می‌کند.

در این سوال به علت استفاده از (یا) تعداد حالت‌ها با هم جمع می‌شوند:

$2 + 3 = 5$

اصل ضرب

اگر برای انجام عمل $A$ تعداد $n (A)$ روش و برای انجام عمل $B$ تعداد $n (B)$ روش وجود داشته باشد، با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل $A$ (و) عمل $B$ عبارت است از:

$n (A) \times n (B)$

اصل ضرب را می‌توان برای $n$ عمل $A_{n}, ..., A_{2}, A_{1}$ که به‌ترتیب به $n (A_{n}), ..., n (A_{2}), n (A_{1})$ روش انجام آنها امکان پذیر است، تعمیم داد که در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل $A_{1}$ (و) $A_{2}$ (و) .... (و) $A_{n}$ عبارت است از:

$\prod_{i = 1}^{n} n (A_{i}) = n (A_{1}) \times \cdot \cdot \cdot \times n (A_{n})$

تمرین

پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند.

اما او می‌خواهد امین را هم به رستوران (و) هم به آب میوه فروشی ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آب‌میوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد.

امین چند نوع انتخاب خواهد داشت؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

در این سوال پوریا هر دو مکان را رفته که در رستوران $(2)$ انتخاب و در آب‌میوه فروشی $(3)$ انتخاب دارد.

در این تمرین به‌علت استفاده از (و) تعداد حالت‌ها در هم ضرب می‌شوند:

$2 \times 3 = 6$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضیه

تعداد روش‌های پر کردن یک ردیف متشکل از $n$ مکان متمایز با استفاده از $m$ نوع شی که از هر نوع به تعداد کافی موجود است، در صورتی که تکرار مجاز باشد $m^{n}$ است.

اثبات

برای پر کردن مکان اول می‌توان هر یک از $m$ شی را انتخاب کرد که به $m$ روش صورت می‌گیرد، چون تکرار مجاز است بنابراین در مکان دوم نیز می‌توان هر یک از $m$ شی را قرار داد و به‌همین ترتیب تا مکان $n$ ام لذا، تعداد روش‌های پر کردن $n$ مکان مذکور با استفاده از $m$ نوع شی که تکرار مجاز است، برابر است با:

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

$m \times m \times ... \times m = m^{n}$

قضیه

تعداد توابع از یک مجموعه $n$ عضوی به یک مجموعه $m$ عضوی برابر $m^{n}$ است.

اثبات

فرض کنیم $A = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}\}$ و $B = \{b_{1}, b_{2}, ..., b_{m}\}$ دو مجموعه متناهی داده شده‌اند، برای ایجاد هر تابع از $A$ به $B$ باید به هر عضو $A$ یک و تنها یک عضو از $B$ نسبت دهیم، پس برای این‌کار $m$ روش وجود دارد.

چون $A$ شامل $n$ عضو می‌باشد لذا طبق اصل ضرب این عمل به تعداد روش زیر صورت می‌گیرد:

$m \times m \times ... \times m = m^{n}$

$m$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.

در این‌جا منظور از تابع، قانونی است که از هر عضو مجموعه $A$ فقط یک عضو از مجموعه $B$ را نسبت دهد.

مثال‌ها و جواب‌ها

اصل جمع و ضرب

7,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل جمع و ضرب

مقدمه‌ای بر شمارش

اصل جمع

اصل ضرب

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع