برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)

اصل جمع و ضرب

آخرین ویرایش: 04 مرداد 1401
دسته‌بندی: ترکیبیات (ابزارهای شمارشی)
امتیاز:

مقدمه‌ ای بر شمارش

شاید شمارش در نظر برخی افراد، یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و تنها یک عمل ساده باشد، اما آیا واقعا شمردن همیشه آسان است؟

می‌دانید که دو اتومبیل نباید پلاک یکسان داشته باشند.

با پلاک‌هایی به‌صورت زیر، با استفاده از حروف و اعداد، چند اتومبیل را می‌توان شماره گذاری کرد؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

امروزه به افراد جهت شناسایی آنها شناسه‌های مختلفی نسبت می‌دهند، از جمله:

  • شماره شناسنامه
  • کد ملی
  • پلاک ماشین

نیز جهت تعیین مالکیت آنها، شماره و کدهایی نسبت داده می‌شود که گاهی از چند رقم یا حروفی در کنار هم تشکیل شده‌اند.

در این بخش به دنبال یافتن روش‌هایی برای شمارش اعضای یک مجموعه محدود با قوانین معین و تعیین تعداد حالات ممکنه بدون شمردن هر یک از حالات هستیم به‌عبارت دیگر آنالیز ترکیبی روش‌های شمارش را ارائه می‌دهد.

اصل جمع

اگر برای انجام عمل A تعداد nA روش و برای انجام عمل B تعداد nB روش وجود داشته باشد، با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل A (یا) عمل B عبارت است از:

nA+nB

اصل جمع را می‌توان برای n عمل An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 که به‌ترتیب به nAn  ,  ...  ,  nA2  ,  nA1 روش انجام آنها امکان پذیر است، تعمیم داد که در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل A1 (یاA2 (یا) .... (یاAn عبارت است از:

i=1nnAi=nA1+nA2++nAn

تمرین

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد به 2 طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک زن از میان سه زن به 3 طریق امکان پذیر است.

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به چند طریق امکان پذیر است؟

انتخاب یک مرد از میان دو مرد (یا) یک زن از میان سه زن به 2+3=5 طریق امکان پذیر است.

تمرین

امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون دوستش پوریا را دعوت کند.

او با خود فکر می‌کند که پوریا را به یکی از دو مکان، رستوران (یا) آب‌میوه فروشی دعوت کند.

اگر به رستوران برود، تنها یکی از دو نوع غذای چلوخورشت قورمه سبزی و قیمه را می‌تواند انتخاب کند و اگر به آب‌میوه فروشی برود، تنها یکی از سه نوع آب میوه هویج، سیب و پرتقال را می‌تواند انتخاب کند. 

چند انتخاب برای پوریا وجود دارد؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو


امین یکی از دو مکان را رفته یا به رستوران می‌رود و یکی از دو غذا را انتخاب می‌کند و یا به آب‌میوه فروشی می‌رود و یکی از سه نوع آب‌میوه را انتخاب می‌کند.


در این سوال به علت استفاده از (یا) تعداد حالت‌ها با هم جمع می‌شوند:

2+3=5

اصل ضرب

اگر برای انجام عمل A تعداد nA روش و برای انجام عمل B تعداد nB روش وجود داشته باشد، با فرض مستقل بودن دو عمل آن‌گاه تعداد روش‌های انجام عمل A (و) عمل B عبارت است از:

nA×nB

اصل ضرب را می‌توان برای n عمل An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 که به‌ترتیب به nAn  ,  ...  ,  nA2  ,  nA1 روش انجام آنها امکان پذیر است، تعمیم داد که در این‌صورت تعداد روش‌های انجام عمل A1 (وA2 (و) .... (وAn عبارت است از:

i=1nnAi=nA1××nAn

تمرین

پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند.

اما او می‌خواهد امین را هم به رستوران (و) هم به آب میوه فروشی ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آب‌میوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد.

امین چند نوع انتخاب خواهد داشت؟

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو


در این سوال پوریا هر دو مکان را رفته که در رستوران 2 انتخاب و در آب‌میوه فروشی 3 انتخاب دارد. 


در این تمرین به‌علت استفاده از (و) تعداد حالت‌ها در هم ضرب می‌شوند: 

2×3=6

تمرین

چند کلمه دو حرفی با استفاده از حروف زیر می‌توان ساخت؟

d,  c,  b,a

برای این کار کافی است مشخص کنیم حرف اول و دوم چه هستند.


خانه اول چهار حالت و خانه دوم نیز چهار حالت دارد:


بنابراین طبق اصل ضرب داریم:

4×4=16

تمرین

ارقام زیر را نظر بگیرید:

0,1,2,3,4,5

چند عدد چهار رقمی با استفاده از ارقام  می‌توان ساخت به طوری که بر 5 بخش پذیر باشد؟ 

اگر چهار جایگاه به‌شکل زیر برای ارقام در نظر بگیریم و تعداد حالت‌های ارقام را بالای هر جایگاه بنویسیم، داریم:


پیمان گردلو

بنابراین طبق اصل ضرب جواب برابر است با:

5×6×6×2=360


توجه کنید رقم 0 نمی‌تواند در جایگاه سمت چپ باشد، بنابراین این جایگاه پنج حالت دارد.


جایگاه سمت راست هم دو حالت دارد، ارقام 0 یا 5 .

تمرین

تعداد اعداد دو رقمی با ارقام فرد را بیابید.

ارقام فرد عبارتند از:

1,3,5,7,9


پیمان گردلو

طبق اصل ضرب داریم:

5×5=25

تمرین

ارقام زیر را در نظر بگیرید:

2,3,4,5,7,9

فرض كنيد تكرار مجاز نيست. 

چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت.

6×5×4=120

چند تا از اين اعداد كوچک‌تر از 400 هستند.

توجه شود که رقم صدگان فقط می‌تواند عدد 2 یا 3 باشد یعنی دو حالت داریم:

2×5×4=40

چند تا از اين اعداد زوج هستند؟

رقم يكان فقط می‌تواند اعداد 2 یا 4 باشد که دو حالت می‌باشد: 

5×4×2=40

چه تعداد فرد هستند؟

رقم يكان را می‌توان با 3,5,7,9 یعنی چهار حالت پر کرد:

5×4×4=80

چه تعداد، مضرب 5 می‌باشد.

رقم يكان فقط عدد 5 می‌باشد که یک حالت می‌باشد:

5×4×1=20

دریافت مثال

قضیه

تعداد روش‌های پر کردن یک ردیف متشکل از n مکان متمایز با استفاده از m نوع شی که از هر نوع به تعداد کافی موجود است، در صورتی که تکرار مجاز باشد mn است. 

اثبات

برای پر کردن مکان اول می‌توان هر یک از m شی را انتخاب کرد که به m روش صورت می‌گیرد، چون تکرار مجاز است بنابراین در مکان دوم نیز می‌توان هر یک از m شی را قرار داد و به‌همین ترتیب تا مکان nام لذا، تعداد روش‌های پر کردن n مکان مذکور با استفاده از m نوع شی که تکرار مجاز است، برابر است با:  

اصل جمع - اصل ضرب - پیمان گردلو

m×m×...×m=mn

قضیه

تعداد توابع از یک مجموعه n عضوی به یک مجموعه m عضوی برابر mn است. 

اثبات

فرض کنیم A=a1  ,  a2  ,  ...  ,  an و B=b1  ,  b2  ,  ...  ,  bm دو مجموعه متناهی داده شده‌اند، برای ایجاد هر تابع از A به B باید به هر عضو A یک و تنها یک عضو از B نسبت دهیم، پس برای این‌کار m روش وجود دارد.

چون A شامل n عضو می‌باشد لذا طبق اصل ضرب این عمل به تعداد روش زیر صورت می‌گیرد: 

m×m×...×m=mn

m به تعداد n بار تکرار شده است.

در این‌جا منظور از تابع، قانونی است که از هر عضو مجموعه A فقط یک عضو از مجموعه B را نسبت دهد.

تست‌های این مبحث

تست کنکور ریاضی 1401

چند عدد طبیعی پنج رقمی با ارقام غیر تکراری می‌توان نوشت که ارقام آن یک در میان زوج و فرد باشند؟

  1. 1840
  2. 1920
  3. 2160
  4. 2400
مشاهده پاسخ تست بستن

خرید پاسخ‌ها

اصل جمع و ضرب

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری