سرفصل‌های این مبحث

پیوستگی و ناپیوستگی

پیوستگی راست و چپ

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

پیوستگی راست در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

$1) f (a) = L^{'}$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L^{'} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) = L^{'}$

مقدار تابع با حد راست برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی راست دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در یک همسایگی راست نقطه $a$ یعنی بازه $[a, a + α)$ با شرط $α > 0$ تعریف شده باشد.

$y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوستگی از راست دارد اگر و فقط اگر:

$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) \in R$

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

$f (x) = \sqrt{x}; x = 0$

$D_{f} : x \geq 0 \Rightarrow D_{f} = [0, + \infty)$

$1) f (0) = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = ?$

چون $0^{-} \notin D_{f}$ نيست، تابع حد چپ ندارد.

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = [2 x]; x = \frac{1}{2}$

$1) f (\frac{1}{2}) = [2 \times \frac{1}{2}] = [1] = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = \frac{1}{2}$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to \frac{1}{2}} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = [2 \times {\frac{1}{2}}^{+}] = [2 \times (\frac{1}{2} + α)] = [1 + 2 α] = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} f (x) = [2 \times {\frac{1}{2}}^{-}] = [2 \times (\frac{1}{2} - α)] = [1 - 2 α] = 0$

$3) \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} f (x) = f (\frac{1}{2})$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = \frac{1}{2}$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = x + [x]; x = 2$

$1) f (2) = 2 + [2] = 2 + 2 = 4$

مقدار تابع در نقطه $x = 2$ موجود و متناهی است.

$\underset{x \to 2}{2) \lim} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 2 + [2^{+}] = 2 + 2 = 4 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2 + [2^{-}] = 2 + 1 = 3$

$3) L_{1} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = f (2) = 4$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 2$ پیوستگی راست دارد.

$g (x) = [\frac{x + 1}{2}] + [\frac{x - 1}{2}]; x = 1$

$1) g (1) = [\frac{1 + 1}{2}] + [\frac{1 - 1}{2}] = [1] + [0] = 1 + 0 = 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} g (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} g (x) = [\frac{1^{+} + 1}{2}] + [\frac{1^{+} - 1}{2}] = [\frac{2^{+}}{2}] + [\frac{0^{+}}{2}] = [1^{+}] + 0 = 1 + 0 = 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} g (x) = [\frac{1^{-} + 1}{2}] + [\frac{1^{-} - 1}{2}] = [\frac{(1 - α) + 1}{2}] + [\frac{(1 - α) - 1}{2}] = [\frac{2 - α}{2}] + [\frac{- α}{2}] = 0 + (- 1) = - 1$

$3) \lim_{x \to 1^{+}} g (x) = g (1)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $g$ در نقطه $x = 1$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = {(- 1)}^{[x]}; x \in D_{f}$

$D_{f} = R$

اگر $n$ عددی صحيح باشد، آن‌گاه:

$1) f (n) = {(- 1)}^{[n]} = \{\begin{cases} 1, n = 2 k \\ - 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to n} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to n^{+}} f (x) = {(- 1)}^{[n^{+}]} = {(- 1)}^{n} \end{array} = \{\begin{cases} 1, n = 2 k \\ - 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to n^{-}} f (x) = {(- 1)}^{[n^{-}]} = {(- 1)}^{n - 1} \end{array} = \{\begin{cases} - 1, n = 2 k \\ 1, n = 2 k + 1 \end{cases}$

$3) \lim_{x \to n^{+}} f (x) = f (n)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = n$ پیوستگی راست دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی راست را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 & x = 0 \\ \frac{\sin x}{|x|} & x \neq 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (0) = 1 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{(+ x)} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin x}{(- x)} = \frac{0}{0} \overset{(\equiv)}{\Rightarrow} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{- x} = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} - \sin x}{|x|} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = - 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی است.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} - \sin x}{(+ x)} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} - x}{x} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{x} = - 1 \end{array}$

$L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - \sin x}{(- x)} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} - x}{- x} \overset{(\equiv)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{- x} = 1$

$3) \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 0$ پیوستگی راست دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} (1 - x) \tan (\frac{π}{2} x) & x < 1 \\ π & x = 1 \\ \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{1 - \sqrt{x}} & x > 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = π$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی است.

$2) \lim_{x \to 1} f (x) = ?$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) \\ \Rightarrow L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{1 - \sqrt{x}} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2} x)}{\frac{1}{- 2 \sqrt{x}}} \\ \Rightarrow L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} (- \frac{π}{2}) \times (- 2 \sqrt{x}) \times \sin (\frac{π}{2} x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L_{1} = \frac{π}{2} \times 2 \times \sin \frac{π}{2} \\ \Rightarrow L_{1} = π \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \\ \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \tan (\frac{π}{2} x) = 0 \times \infty \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) . \tan (\frac{π}{2} x) \\ \Rightarrow L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(1 - x)}{\cot g (\frac{π}{2} x)} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{H}{\to} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 1}{- \frac{π}{2} [1 + \cot g^{2} (\frac{π}{2} x)]} \\ \Rightarrow L_{2} = \frac{- 1}{- \frac{π}{2}} \\ \Rightarrow L_{2} = \frac{2}{π} \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1)$

حد راست با مقدار تابع برابر است.

تابع‌ $f$ در نقطه $x = 1$ پیوستگی راست دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

پیوستگی چپ در یک نقطه

مقدمه

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی می‌کنیم.

$1) f (a) = L$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = L^{'} \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) = L$

مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی چپ دارد.

تعریف

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در یک همسایگی چپ نقطه $a$ یعنی بازه $(a - α, a]$ با شرط $α > 0$ تعریف شده باشد.

$y = f (x)$ در نقطه $x = a$ پیوستگی از چپ دارد اگر و فقط اگر:

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) \in R$

تمرین

نمودار زیر را در نظر می‌گیریم:

پیوستگی نمودار فوق را بررسی کنید.

$1) f (a) = L$

مقدار تابع در نقطه $x = a$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{matrix} \underset{x \to a}{2) \lim} f (x) = ? \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty \end{array}$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$

حدهای چپ و راست نابرابر هستند.

$3) \lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) = L$

مقدار تابع با حد چپ برابر است، تابع در نقطه $x = a$ پیوستگی چپ دارد.

تمرین

پيوستگی توابع زير را در نقاط داده شده بررسی كنيد.

$f (x) = - [- x]; x = n \in Z$

همان‌طور كه ملاحظه می‌كنيد $f$ در نقاط $x = n \in Z$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = [- x + [x - [x]]]; x = 0$

$\begin{array}{l} f (x) = [- x + [x - [x]]] \\ \Rightarrow f (x) = [- x] + [x - [x]] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = [- x] + [x] - [x] \\ \Rightarrow f (x) = [- x] \end{array}$

$1) f (0) = [- 0] = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} [- x] = [- 0^{+}] = [- (α)] = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} [- x] = [- 0^{-}] = [- (- α)] = [α] = 0 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} 4 - x^{2} & x \leq 1 \\ 1 + x^{2} & x > 1 \end{matrix}$

$1) f (1) = 4 - {(1)}^{2} = 3$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 + x^{2}) = 1 + {(1)}^{2} = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (4 - x^{2}) = 4 - {(1)}^{2} = 3 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد.

در نمودار زیر، پیوستگی چپ را مشاهده می‌کنید:

$f (x) = \{\begin{matrix} x |1 + \frac{1}{x}| & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$1) f (0) = - 1$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (+ x (1 + \frac{1}{x})) = \lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x (1 + \frac{1}{x})) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x - 1) = - 0 - 1 = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{|x|}{x} & x \neq 0 \\ - 1 & x = 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (0) = - 1 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 0$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 0} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{+ (x)}{x} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{- (x)}{x} = - 1 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 0$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}} & x \neq 1 \\ - 4 & x = 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 1) f (1) = - 4 \end{array}$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 3)}{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 3)}{|x - 1|} = \frac{0}{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 1)} = \lim_{x \to 1^{+}} (x + 3) = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 3)}{- (x - 1)} = \lim_{x \to 1^{-}} (- x - 3) = - 4 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد.

$f (x) = \{\begin{matrix} 1 + x & x \leq - 1 \\ 1 - x^{2} & - 1 < x \leq 2 \\ \frac{1}{1 - x} & x > 2 \end{matrix}$

الف) بررسی پيوستگی تابع در نقطه $x = - 1$ :

$1) f (- 1) = 1 + (- 1) = 0$

مقدار تابع در نقطه $x = - 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to - 1} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (1 - x^{2}) = (1 - {(- 1)}^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (1 + x) = 1 + (- 1) = 0 \end{array}$

$3) L_{1} = L_{2} = f (- 1) = 0$

تابع $f$ در $x = - 1$ پيوسته است.

ب) بررسی پيوستگی تابع در نقطه $x = 2$ :

$1) f (2) = (1 - {(2)}^{2}) = - 3$

مقدار تابع در نقطه $x = 2$ موجود و متناهی می‌باشد.

$\begin{array}{l} 2) \lim_{x \to 2} f (x) = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{3} = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{1 - 2} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{4} = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (1 - x^{2}) = 1 - {(2)}^{2} = - 3 \end{array}$

$3) \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$

حد چپ با مقدار تابع برابر است.

تابع $f$ در $x = 2$ پيوستگی چپ دارد.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f (x) = \{\begin{matrix} k [- x] & x \geq 1 \\ \frac{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}{x - 1} & x < 1 \end{matrix}$

به‌ازای چه مقدار $k$ ، تابع فوق در $x = 1$ پيوستگی چپ دارد؟

$1) f (1) = k [- 1] = - k$

مقدار تابع در نقطه $x = 1$ موجود و متناهی می‌باشد.

$2) L_{2} = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{|x - 1|}{x - 1} = \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \to 1^{-}} \frac{|x - 1|}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- (x - 1)}{x - 1} = - 1$