لیست

پیوستگی در یک نقطه

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی
امتیاز:

مقدمه: برای ورود به بحث به تمرین های زیر توجه کنید.

تمرین

دو تابع زیر را نظر می‌گیریم:

fx=x+1

gx=x+1    ;    x21            ;    x=2

نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم: 

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

حد این دو تابع را در نقطه x=2 محاسبه می‌کنیم:

limx2fx=limx2x+1=2+1=3limx2gx=limx2x+1=2+1=3


حد این دو تابع در نقطه‌ x=2 با هم مساوی هستند زیرا هر دو تابع در همسایگی این نقطه‌ ضابطه‌ یکسانی دارند.   

مقدار دو تابع را در نقطه x=2 بدست می‌آوریم: 

f2=2+1=3g2=1

آیا مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

f2=2+1=3limx2fx=3f2=limx2fx=3


مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند.


در تابع f، تساوی حد و مقدار تابع در x=2 موجب پیدایش پیوستگی در کُل شکل شده است. 

آیا مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

g2=1limx2gx=2+1=3g2limx2gx


مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر نیستند.


در تابع g، تفاوت حد و مقدار تابع در x=2 موجب ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f-2=?

f-2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=-2 تعریف نشده است.

limx2fx=?

limx2fx موجود و متناهی نمی‌باشد زیرا حد راست و حد چپ در نقطه x=-2 برابر نیستند. 

آیا تساوی limx2fx=f2 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx2fxf2


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f1=?

f1 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف نشده است.

limx1fx=?

limx1fx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx1fxf1


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f0=?

f0=L یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=0 تعریف شده است. 

limx0fx=?

limx0fx=L' موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx0fx=f0 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx0fxf0


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f1=?

f1=2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف شده است. 

limx1fx=?

limx1fx=2 موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

limx1fx=f1=2


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف نشده است.

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

limxafx=fa=L


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

 تعریف پیوستگی در یک نقطه

تابع y=fx را در نقطه x=a پیوسته گویند، هر گاه: 

  1. fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 
  2. limxafx=L موجود و متناهی ‌باشد.
  3. حد تابع با مقدار تابع برابر باشد ،یعنی limxafx=fa.

تذکر

اگر یکی یا بیشتر، از این سه شرط در x=a برقرار نباشد، تابع y=fx  را در نقطه x=a  ناپیوسته (گسسته یا منفصل) نامیده می‌شود.  


با توجه به تعریف پیوستگی یعنی limxafx=fa می‌توانیم آن را با استفاده از تعریف حد به صورت زیر معرفی کنیم:  

β>0    α>0    ;    0<xa<αfxfa<β

تمرین

توابع زیر و نیز چند جمله ای ها در هر عدد حقیقی a پیوسته اند:  

y=cosxy=xy=x2

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

توابع زیر پیوسته نیستند:

y=xy=xx

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

دریافت مثال

تذکر

اگر تابع چند ضابطه ای y=fx در R پیوسته باشد، بایستی علاوه بر پیوستگی ضابطه های آن در دامنه های D3,D2,D1 پیوستگی در نقاط شکست تابع برقرار باشد. 

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

پیوستگی در یک نقطه

25,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید