پیوستگی در یک نقطه

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 55 مرتبه

مقدمه: برای ورود به بحث به تمرین های زیر توجه کنید.

تمرین

دو تابع زیر را نظر می‌گیریم:

fx=x+1

gx=x+1    ;    x21            ;    x=2

نمودار این دو تابع را رسم می‌کنیم: 

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

حد این دو تابع را در نقطه x=2 محاسبه می‌کنیم:

limx2fx=limx2x+1=2+1=3limx2gx=limx2x+1=2+1=3


حد این دو تابع در نقطه‌ x=2 با هم مساوی هستند زیرا هر دو تابع در همسایگی این نقطه‌ ضابطه‌ یکسانی دارند.   

مقدار دو تابع را در نقطه x=2 بدست می‌آوریم: 

f2=2+1=3g2=1

آیا مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

f2=2+1=3limx2fx=3f2=limx2fx=3


مقدار تابع f در نقطه x=2 با حد تابع f در همسایگی این نقطه برابر هستند.


در تابع f، تساوی حد و مقدار تابع در x=2 موجب پیدایش پیوستگی در کُل شکل شده است. 

آیا مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر هستند؟  

g2=1limx2gx=2+1=3g2limx2gx


مقدار تابع g در نقطه x=2 با حد تابع g در همسایگی این نقطه برابر نیستند.


در تابع g، تفاوت حد و مقدار تابع در x=2 موجب ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f-2=?

f-2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=-2 تعریف نشده است.

limx2fx=?

limx2fx موجود و متناهی نمی‌باشد زیرا حد راست و حد چپ در نقطه x=-2 برابر نیستند. 

آیا تساوی limx2fx=f2 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx2fxf2


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است. 

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f1=?

f1 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف نشده است.

limx1fx=?

limx1fx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx1fxf1


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f0=?

f0=L یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=0 تعریف شده است. 

limx0fx=?

limx0fx=L' موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx0fx=f0 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limx0fxf0


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

f1=?

f1=2 یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=1 تعریف شده است. 

limx1fx=?

limx1fx=2 موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limx1fx=f1 برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

limx1fx=f1=2


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی نمی‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف نشده است.

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر نمی‌باشد، یعنی داریم:

limxafxfa


ناپیوستگی و گسستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

تمرین

نمودار تابع زیر را در نظر بگیرید و به سوال های زیر پاسخ دهید:

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

fa=?

fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 

limxafx=?

limxafx=L موجود و متناهی می‌باشد.

آیا تساوی limxafx=fa برقرار است؟ 

حد تابع با مقدار تابع برابر می‌باشد، یعنی داریم:

limxafx=fa=L


پیوستگی در کُل شکل ایجاد شده است.

 تعریف پیوستگی در یک نقطه

تابع y=fx را در نقطه x=a پیوسته گویند، هر گاه: 

  1. fa یعنی مقدار تابع، موجود و متناهی می‌باشد و تابع در نقطه x=a تعریف شده است. 
  2. limxafx=L موجود و متناهی ‌باشد.
  3. حد تابع با مقدار تابع برابر باشد ،یعنی limxafx=fa.

تذکر

اگر یکی یا بیشتر، از این سه شرط در x=a برقرار نباشد، تابع y=fx  را در نقطه x=a  ناپیوسته (گسسته یا منفصل) نامیده می‌شود.  


با توجه به تعریف پیوستگی یعنی limxafx=fa می‌توانیم آن را با استفاده از تعریف حد به صورت زیر معرفی کنیم:  

β>0    α>0    ;    0<xa<αfxfa<β

تمرین

توابع زیر و نیز چند جمله ای ها در هر عدد حقیقی a پیوسته اند:  

y=cosxy=xy=x2

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

تمرین

توابع زیر پیوسته نیستند:

y=xy=xx

پیوستگی در یک نقطه - پیمان گردلو

دریافت مثال

تذکر

اگر تابع چند ضابطه ای y=fx در R پیوسته باشد، بایستی علاوه بر پیوستگی ضابطه های آن در دامنه های D3,D2,D1 پیوستگی در نقاط شکست تابع برقرار باشد. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

پیوستگی در یک نقطه

25,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید