تعریف معادله تقاطع
اگر معادلات دو منحنی را با هم قطع دهیم، یعنی ها را حذف كنیم و معادله را بر حسب مرتب كنیم، به معادله مرتب شده، معادله تقاطع میگوییم.
اگر معادله تقاطع را حل کنیم، برای ریشه های بهدست آمده آن، سه حالت زیر را بررسی میکنیم:
حالت اول
ریشه های ساده معادله تقاطع، طول های نقاط تقاطع دو منحنی است.
تمرین
طول های نقاط تقاطع دو منحنی زیر را بهدست آورید.
ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را بهدست میآوریم:
معادله درجه دوم معادله تقاطع میباشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع دو منحنی بهدست میآید.
نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول های نقاط تقاطع بدست آمده را روی نمودار نشان دهید.
حالت دوم
ریشه های مضاعف معادله تقاطع، طول های نقاط تماس دو منحنی است. برای آنكه دو منحنی بر هم مماس باشند، بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد.
تمرین
طول های نقاط تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.
ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را بهدست میآوریم:
معادله درجه دوم معادله تقاطع میباشد. با حل این معادله، طول های نقاط تماس دو منحنی بهدست میآید.
ریشه مضاعف معادله تقاطع میباشد، پس دو منحنی در نقطه ای به طول بر هم مماس هستند.
نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول نقطه تماس را روی نمودار نشان دهید.
حالت سوم
اگر معادله تقاط ریشه نداشته باشد، دو منحنی همدیگر را قطع نمیکنند.
تمرین
طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.
ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را بهدست میآوریم:
معادله درجه دوم معادله تقاطع میباشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی بهدست میآید.
معادله تقاطع ریشه حقیقی ندارد و دو منحنی همدیگر را قطع نمیکنند.
نمودار دو منحنی را رسم کرده و نشان دهید همدیگر را قطع نمیکنند.
دریافت مثال
نکته
اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ریشه را دارد.
تمرین
به ازای چه مقدار خط و منحنی زیر بر یکدیگر مماس است.
معادله تقاطع را مینویسیم:
اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بايستی معادله تقاطع فوق ريشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ريشه را دارد.
دریافت مثال
یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع
دربیشتر مواقع، حل کامل یک معادله و یافتن جواب های دقیق آن به راحتی امکان پذیر نیست و روشهایی وجود دارند که میتوان به طور تقریبی ریشه های یک معادله را مشخص کرد.
اساس این روشها، متکی بر رسم نمودارهای توابع میباشند.
از نظر هندسی:
- ریشه های حقیقی معادله همان نقاط تلاقی نمودار تابع با یا همان محور ها است.
- ریشه های حقیقی معادله همان نقاط تلاقی نمودار تابع با است.
تمرین
تعداد ریشههای معادله زیر را به کمک معادله تقاطع به دست میآوریم:
نمودار دو تابع فوق را رسم میکنیم و محل برخورد آنها را روی شکل معلوم میکنیم:
ریشه های معادله را به روش جبری بدست آورید.
دریافت مثال