سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

آخرین ویرایش: 21 فروردين 1404

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

کاربرگرامی، ضمنِ تشکر و قدردانی از حُسن انتخاب شما، قبل از ادامه و مشاهدۀ این پُست به استحضار می‌رساند:

در جهتِ عدالت آموزشی و استفادۀ رایگانِ دانش آموزان بی‌بضاعت و علاقه‌مند، کتابِ حسابانِ سال دوازدهمِ رشته ریاضی در 52 ساعت آموزش (تصویری + مالتی مدیا) برای توزیع عادلانه اطلاعات به‌صورت رایگان در این لینک، قابل استفاده می‌باشد.

استعدعا می‌کنیم با ذکر صلوات به ارواح طیبه شهدا، در بسط و گسترش آن، به این طیف از دانش آموزان ما یاری نمایید.

تعریف معادله تقاطع

دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} y = f (x) \end{array}$

$y = g (x)$

طرفین سمت چپ دو تابع باهم برابرند، بنابراین طرفین سمت راست این دو تابع باهم برابر هستند.

اگر دو تابع را باهم قطع دهیم، یعنی $y$ ها را حذف كنیم، به معادله زیر می‌رسیم:

$f (x) = g (x)$

معادله فوق را برحسب $x$ مرتب كنیم، به معادله مرتب شده، معادله تقاطع می‌گوییم.

اگر معادله تقاطع را حل کنیم، برای ریشه های به‌دست آمده آن، سه حالت زیر را بررسی می‌کنیم:

حالت اول

ریشه های ساده معادله تقاطع، طول های نقاط تقاطع دو منحنی است.

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = x + 2 \end{cases}$

طول های نقاط تقاطع دو منحنی زیر را به‌دست آورید.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{2} = x + 2 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0$

معادله درجه دوم فوق، معادله تقاطع می‌باشد.

با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = - 1 \end{cases}$

ریشه های ساده معادله تقاطع، طول های نقاط تقاطع دو منحنی است.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول های نقاط تقاطع به‌دست آمده را روی نمودار نشان دهید.

طول های نقاط تقاطع دو منحنی، روی نمودار مشخص است.

حالت دوم

ریشه های مضاعف معادله تقاطع، طول های نقاط تماس دو منحنی است.

برای آن‌كه دو منحنی بر هم مماس باشند، بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد.

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$

طول های نقاط تماس دو منحنی زیر را به‌دست آورید.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{2} = 2 x - 1 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$

معادله درجه دوم فوق، معادله تقاطع می‌باشد.

با حل این معادله، طول های نقاط تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 1$

ریشه مضاعف معادله تقاطع، طول نقطه تماس دو منحنی است.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول نقطه تماس را روی نمودار نشان دهید.

طول نقطه تماس را روی نمودار مشخص است.

حالت سوم

اگر معادله تقاط ریشه نداشته باشد، دو منحنی هم‌دیگر را قطع نمی‌کنند.

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = - x - 1 \end{cases}$

طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی زیر را به‌دست آورید.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{2} + x + 1 = 0$

معادله درجه دوم فوق، معادله تقاطع می‌باشد.

با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} + x + 1 = 0; ∆ < 0$

معادله تقاطع ریشه حقیقی ندارد و دو منحنی هم‌دیگر را قطع نمی‌کنند.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و نشان دهید هم‌دیگر را قطع نمی‌کنند.

تمرین

توابع زیر نسبت به‌هم چه وضیعتی دارند؟

$\{\begin{cases} y = x^{3} + 1 \\ y = 2 x^{2} - x + 1 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x^{3} + 1 = 2 x^{2} - x + 1 \\ \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} + x = 0 \\ \Rightarrow x (x^{2} - 2 x + 1) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f x = 0 \Rightarrow y = 1; A (0, 1) \end{array}$

$i f x = 1 \Rightarrow y = 2; B (1, 2)$

معادله تقاطع یک ريشه ساده $x = 0$ دارد و دو منحنی در نقطه $A$ هم‌دیگر را قطع می‌کنند.

معادله تقاطع یک ریشه مضاعف $x = 1$ دارد و دو منحنی در نقطه $B$ بر هم مماس هستند.

$\{\begin{cases} d : y = x + 1 \\ C : y = x + \sin x \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x + 1 = x + \sin x \\ \Rightarrow \sin x = 1 \\ \Rightarrow x = 2 k π + \frac{π}{2} \end{array}$

معادله تقاطع بی شمار ريشه مضاعف دارد.

خط $d$ در بی شمار نقطه بر منحنی $C$ مماس است.

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} y = m x + 1 \\ y = \frac{x^{2} + 1}{x} \end{cases}$

حدود $m$ را چنان تعيين كنيد به‌طوری که:

خط منحنی را قطع کند.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} m x + 1 = \frac{x^{2} + 1}{x} \\ \Rightarrow m x^{2} + x = x^{2} + 1 \\ \Rightarrow (m - 1) x^{2} + x - 1 = 0 \end{array}$

شرط این‌که خط، منحنی را قطع کند بایستی معادله تقاطع دارای ريشه ساده باشد:

$\begin{array}{l} Δ > 0 \\ \Rightarrow 1 + 4 (m - 1) > 0 \\ \Rightarrow 4 m > 3 \\ \Rightarrow m > \frac{3}{4} \end{array}$

خط بر منحنی مماس باشد.

بایستی معادله تقاطع دارای یک ريشه مضاعف باشد:

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow 1 + 4 (m - 1) = 0 \\ \Rightarrow m = \frac{3}{4} \end{array}$

تمرین

به‌ازای چه مقادير $a$ نمودار توابع بر محور $x$ ها مماس است؟

$y = (x - 1) (x^{2} + a x + 4)$

معادله محور $x$ ها $y = 0$ است:

$\{\begin{cases} y = (x - 1) (x^{2} + a x + 4) \\ y = 0 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$(x - 1) (x^{2} + a x + 4) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x^{2} + a x + 4 = 0 \end{cases}$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$x^{2} + a x + 4 = 0$

شرط ريشه مضاعف:

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - 16 = 0 \\ \Rightarrow a = \pm 4 \end{array}$

$y = \frac{x^{2} + a x + 1}{x^{2} + 2}$

معادله محور $x$ ها $y = 0$ است:

$\{\begin{cases} y = 0 \\ y = \frac{x^{2} + a x + 1}{x^{2} + 2} \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\frac{x^{2} + a x + 1}{x^{2} + 2} = 0 \Rightarrow x^{2} + a x + 1 = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} = 4 \\ \Rightarrow a = \pm 2 \end{array}$

$y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + m + 2)$

معادله محور $x$ ها $y = 0$ است:

$\{\begin{cases} y = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + m + 2) \\ y = 0 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + m + 2) = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

حالاتی را در نظر می‌گيريم كه اين معادله می‌تواند ريشه مضاعف داشته باشد.

حالت اول) معادله زیر باید دارای ریشه مضاعف باشد:

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + m + 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ = 0 \Rightarrow 16 - 4 (m + 2) = 0 \Rightarrow m = 2 \end{array}$

حالت دوم) ریشه های پرانتز اول را به‌دست می‌آوریم:

$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

ریشه های فوق را در پرانتز دوم قرار می‌دهیم تا $m$ محاسبه شود:

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + m + 2 = 0 \end{array}$

$i f x = 1 \Rightarrow 1 - 4 + m + 2 = 0 \Rightarrow m = 1$

$i f x = - 1 \Rightarrow 1 + 4 + m + 2 = 0 \Rightarrow m = - 7$

$m$ های به‌دست آمده را معادله زیر قرار می‌‌دهیم:

$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + m + 2) = 0$

$\begin{array}{l} i f m = 1; (x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x + 3) = 0 \Rightarrow [(x - 1) (x + 1)] [(x - 3) (x - 1)] = 0 \end{array}$

$i f m = - 7; (x^{2} - 1) (x^{2} - 4 x - 5) = 0 \Rightarrow [(x - 1) (x + 1)] [(x - 5) (x + 1)] = 0$

به‌ازای $m = 1$ ریشه مضاعف $x = 1$ تولید می‌شود.

به‌ازای $m = - 7$ ریشه مضاعف $x = - 1$ تولید می‌شود.

$m$ می‌تواند $- 7, 1, 2$ باشد.

$x^{2} + y^{2} + 2 a x + 3 y + 4 = 0$

معادله محور $x$ ها $y = 0$ است:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 a x + 3 y + 4 = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{2} + {(0)}^{2} + 2 a x + 3 (0) + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 a x + 4 = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow 4 a^{2} - 16 = 0 \\ \Rightarrow a = \pm 2 \end{array}$

تمرین

اگر نمودار توابع فوق برهم مماس باشند، $m$ را بيابيد.

$\{\begin{cases} y = x - 1 \\ y = m x^{2} \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x - 1 = m x^{2} \Rightarrow m x^{2} - x + 1 = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$Δ = 0 \Rightarrow 1 - 4 m = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{4}$

$\{\begin{cases} y = 2 m x^{2} - 2 x \\ y = m x - 1 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} 2 m x^{2} - 2 x = m x - 1 \\ \Rightarrow 2 m x^{2} - 2 x - m x + 1 = 0 \\ \Rightarrow 2 m x^{2} - x (m + 2) + 1 = 0 \end{array}$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow {[- (m + 2)]}^{2} - 4 (2 m) (1) = 0 \\ \Rightarrow {(m + 2)}^{2} - 8 m = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} + 4 m + 4 - 8 m = 0 \\ \Rightarrow m^{2} - 4 m + 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(m - 2)}^{2} = 0 \\ \Rightarrow m = 2 \end{array}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ y = \frac{m^{3}}{m^{2} + x^{2}} \end{cases}; m \neq 0$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} \frac{a^{3}}{a^{2} + x^{2}} = 1 \\ \Rightarrow a^{2} + x^{2} = a^{3} \\ \Rightarrow x^{2} + (a^{2} - a^{3}) = 0 \end{array}$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

$\begin{array}{l} Δ = 0 \\ \Rightarrow {(0)}^{2} - 4 (1) (a^{2} - a^{3}) = 0 \\ \Rightarrow 4 (a^{3} - a^{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 a^{2} (a - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 0 \otimes \\ a = 1 \end{cases} \end{array}$

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} y = f (x) \\ y = f (x) \sin a x \end{cases}$

$f$ تابعی مشتق پذير و همواره مثبت می‌باشد.

ثابت كنيد نمودار توابع فوق در نقاط تلاقی، بر هم مماسند.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$f (x) = f (x) \sin a x \Rightarrow \sin a x = 1$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

چون معادله $\sin a x = 1$ همواره ريشه مضاعف دارد پس دو نمودار بر هم در نقاط تقاطع مماس هستند.

$\{\begin{cases} a x = 2 k π + \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{2 k π}{a} + \frac{π}{2 a} \\ a x = 2 k π + π - \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{2 k π}{a} + \frac{π}{2 a} \end{cases}$

دو ريشه مساويند.

تمرین

تابع زیر در چه نقاطی بر $y = x$ مماس است؟

$f (x) = \{\begin{matrix} x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{matrix}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x \sin \frac{1}{x} = x \\ \Rightarrow \sin \frac{1}{x} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x} = 2 k π + \frac{π}{2} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 k π + \frac{π}{2}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ریشه را دارد.

تمرین

به‌ازای چه مقدار $k$ نمودار توابع زیر برهم مماس هستند؟

$\{\begin{cases} y = 4 x + k \\ y = x^{4} \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{4} = 4 x + k \Rightarrow x^{4} - 4 x - k = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l} 4 x^{3} - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$i f x^{4} - 4 x - k = 0 \Rightarrow {(1)}^{4} - 4 (1) - k = 0 \Rightarrow k = - 3$

$\{\begin{cases} y = x + m \\ y = x^{3} - 2 x + 2 \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$x^{3} - 2 x + 2 = x + m \Rightarrow x^{3} - 3 x + 2 - m = 0$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x^{3} - 3 x + 2 - m = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} {(1)}^{3} - 3 (1) + 2 - m = 0 \Rightarrow 1 - 3 + 2 - m = 0 \Rightarrow m = 0 \\ {(- 1)}^{3} - 3 (- 1) + 2 - m = 0 \Rightarrow - 1 + 3 + 2 - m = 0 \Rightarrow m = 4 \end{cases} \end{matrix}$

تمرین

ثابت کنید نقاط تماس مماس هايی كه از مبدا مختصات بر تابع $y = \sin x$ رسم می‌شوند، در معادله زیر صدق می‌كند؟

$x = \tan x$

فرض کنیم اين خط به معادله $y = m x$ باشد:

$\{\begin{cases} y = m x \\ y = \sin x \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$m x = \sin x$

برای آن‌كه دو نمودار بر هم مماس باشند، بايستی معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف داشته باشد.

توجه شود که مشتق معادله تقاطع، همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l} m = \cos x \end{array}$

$m x = \sin x \Rightarrow (\cos x) x = \sin x \Rightarrow x = \tan x$

تمرین

نمودارهای دو تابع زیر در $x = 1$ بر يک‌ديگر مماس هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = x^{2} + a x + b \\ g (x) = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 1} \end{cases}$

مقادیر $a, b$ را به‌دست آورید.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} x^{2} + a x + b = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 1} \\ \Rightarrow (x^{2} + a x + b) (x^{2} + 1) = 2 a x + b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + x^{2} + a x + b = 2 a x + b \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} + a x^{3} + (b + 1) x^{2} - a x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x [x^{3} + a x^{2} + (b + 1) x - a] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x^{3} + a x^{2} + (b + 1) x - a = 0 \end{cases} \end{array}$

چون نمودارهای دو تابع در نقطه $x = 1$ بر يک‌ديگر مماس هستند، یعنی طول این نقطه هم در معادله و هم در مشتق معادله، هم‌زمان صادق است:

$\begin{array}{l} x^{3} + a x^{2} + (b + 1) x - a = 0 \Rightarrow {(1)}^{3} + a {(1)}^{2} + (b + 1) (1) - a = 0 \Rightarrow b = - 2 \end{array}$

$3 x^{2} + 2 a x + (b + 1) = 0 \Rightarrow 3 {(1)}^{2} + 2 a (1) + (b + 1) = 0 \Rightarrow a = - 1$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع

در بیش‌تر مواقع، حل کامل یک معادله و یافتن جواب های دقیق آن به راحتی امکان پذیر نیست.

روش‌هایی وجود دارند که می‌توان به طور تقریبی، ریشه های یک معادله را مشخص کرد.

اساس این روش‌ها، متکی بر رسم نمودارهای توابع می‌باشند.

از نظر هندسی:

ریشه های حقیقی معادله $f (x) = 0$ همان نقاط تلاقی نمودار توابع زیر است:

$y = f (x)$

$y = 0$

$y = 0$ یا همان محور $x$ ها است.

ریشه های حقیقی معادله $f (x) = g (x)$ همان نقاط تلاقی نمودار توابع زیر است:

$y = f (x)$

$y = g (x)$

به‌عنوان نمونه، معادله زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{2 x - 1}{x} = 1 - x$

تعداد ریشه های معادله فوق، را به‌کمک معادله تقاطع به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x - 1 = x (1 - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x - 1 = x - x^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} f (x) = 2 x - 1 \\ g (x) = x - x^{2} \end{cases}$

نقاط تلاقی نمودار توابع فوق، تعداد ریشه های معادله مورد نظر را مشخص می‌کند:

تمرین

ریشه های معادله زیر را به روش جبری به‌دست آورید.

$\frac{2 x - 1}{x} = 1 - x$

$\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{x} = 1 - x \\ \Rightarrow 2 x - 1 = x - x^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + x - 1 = 0 \\ \Rightarrow x ≃ (0 / 62), (- 1 / 62) \end{array}$

تمرین

تعداد ريشه های معادلات زیر را به‌دست آوريد.

$x^{4} + x - 1 = 0; x \in R$

همان‌طورکه ملاحظه می‌شود معادله فوق به راحتی قابل بررسی نيست و نمی‌توان ريشه های آن را به‌دست آورد.

$x^{4} + x - 1 = 0 \Rightarrow x^{4} = 1 - x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = x^{4} \\ g (x) = 1 - x \end{cases}$

$x \sin x - 1 = 0; x \in [- π, π]$

$\begin{array}{l} x \sin x - 1 = 0 \\ \Rightarrow x \sin x = 1 \\ \Rightarrow \sin x = \frac{1}{x} \end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در چهار نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ g (x) = \frac{1}{x} \end{cases}$

$\cos x - x^{2} = 0; x \in R$

$\cos x - x^{2} = 0 \Rightarrow \cos x = x^{2}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \cos x \\ g (x) = x^{2} \end{cases}$

$\sqrt{3} x - 3 \sin x = 0; x \in R$

$\begin{array}{l} \sqrt{3} x - 3 \sin x = 0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x = 3 \sin x \\ \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{3} x \end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ g (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x \end{cases}$

$x^{2} - \sin x = 0; x \in R$

$x^{2} - \sin x = 0 \Rightarrow x^{2} = \sin x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در دو نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \sin x \\ g (x) = x^{2} \end{cases}$

$x^{3} = \cos x$

$x^{3} - \cos x = 0 \Rightarrow x^{3} = \cos x$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در یک نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \cos x \\ g (x) = x^{3} \end{cases}$

$x - 2 \sin x = 0$

$\begin{array}{l} x - 2 \sin x = 0 \\ \Rightarrow x = 2 \sin x \\ \Rightarrow \frac{x}{2} = \sin x \end{array}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \frac{x}{2} \\ g (x) = \sin x \end{cases}$

$2^{x} = x^{2}$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در سه نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = 2^{x} \\ g (x) = x^{2} \end{cases}$

$\sqrt{x} = x + 1$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در هیچ نقطه ای متقاطع نیستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = x + 1 \end{cases}$

جواب‌ های معادله را با روش جبری، به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} \sqrt{x} = x + 1 \\ \Rightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = {(x + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = x^{2} + 2 x + 1 \\ \Rightarrow x^{2} + x + 1 = 0 \end{array}$

معادله فوق ریشه‌ حقیقی ندارد، زیرا دلتای معادله منفی می‌باشد.

$\sqrt{x - 1} = x - 3$

ريشه های معادله تقاطع، محل تلاقی نمودار دو تابع زیر است که در یک نقطه متقاطع هستند.

$\{\begin{cases} f (x) = \sqrt{x - 1} \\ g (x) = x - 3 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور تجربی تیر 1403

خط مماس بر منحنی $f (x) = \sqrt{a x - 1}$ در نقطه $A$ از نقاط $(2, 2), (- 1, 1)$ می‌گذرد.

مقدار $f (5)$ کدام است؟

$3$
$2$
$\frac{\sqrt{23}}{2}$
$\frac{\sqrt{32}}{3}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

کنکور تجربی اردیبهشت 1403

خط $7 y - x = 5$ در ناحیه اول مختصات بر منحنی زیر مماس است:

$y = \frac{a x - 1}{3 x + 1}$

مقدار $a$ کدام است؟

$3$
$4$
$\frac{4}{7}$
$\frac{9}{7}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

18,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

کاربرد مشتق

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

تعریف معادله تقاطع

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟