برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

تعریف خط مماس بر منحنی
نقاط تقاطع و تماس دو منحنی
معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن
معادله خطوط مماس بر منحنی از نقطه ای خارج آن
معادلات خطوط قائم بر منحنی از نقطه ای خارج آن
تعیین نقاط تماس
زاویه بین خط و منحنی
زاویه بین دو منحنی
معادله مماس مشترک دو منحنی
معادله وتر مشترک دو منحنی
یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق
نقاط بحرانی
اکسترمم های نسبی (بدون استفاده ازمشتق)
اکسترمم های نسبی (با استفاده از مشتق)
اکسترمم های نسبی (جهت تغییرات تابع)
اکسترمم‌ های نسبی (خاصیت نقاط)
اکسترمم‌ های مطلق
قضیه مقدار میانگین (قضیه رُل)
قضیه مقدار میانگین (برای مشتقات)
نقطه عطف (جهت تقعر منحنی)
نقطه عطف (نکات)
کاربرد مشتق در مسائل بهینه سازی
آهنگ تغییرات تابع (آهنگ متوسط و لحظه‌ ای)
آهنگ تغییرات تابع (آهنگ‌های وابسته)
نقاط ثابت منحنی
رسم منحنی (توابع چند جمله ای)
رسم منحنی (توابع کسری گویا)
بررسی نمودار بعضی توابع (درجه دوم)
بررسی نمودار بعضی توابع (درجه سوم)
بررسی نمودار بعضی توابع (دو مجذوری)
بررسی نمودار بعضی توابع (هموگرافیک)
بررسی نمودار بعضی توابع (حالت اول کسری)
بررسی نمودار بعضی توابع (حالت دوم کسری)
روابط بین تابع و تابع مشتق

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

آخرین ویرایش: 18 فروردين 1402

دسته‌بندی: کاربرد مشتق

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف معادله تقاطع

اگر معادلات دو منحنی $\{\begin{cases} y = f (x) \\ y = g (x) \end{cases}$ را با هم قطع دهیم، یعنی $y$ ها را حذف كنیم و معادله $f (x) = g (x)$ را بر حسب $x$ مرتب كنیم، به معادله مرتب شده، معادله تقاطع می‌گوییم.

اگر معادله تقاطع را حل کنیم، برای ریشه های به‌دست آمده آن، سه حالت زیر را بررسی می‌کنیم:

حالت اول

ریشه های ساده معادله تقاطع، طول های نقاط تقاطع دو منحنی است.

تمرین

طول های نقاط تقاطع دو منحنی زیر را به‌دست آورید.

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = x + 2 \end{cases}$

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = x + 2 \end{cases}〉 x^{2} = x + 2 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0$

معادله درجه دوم $x^{2} - x - 2 = 0$ معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ x = - 1 \end{cases}$

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول های نقاط تقاطع بدست آمده را روی نمودار نشان دهید.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

حالت دوم

ریشه های مضاعف معادله تقاطع، طول های نقاط تماس دو منحنی است. برای آنكه دو منحنی بر هم مماس باشند، بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد.

تمرین

طول های نقاط تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = 2 x - 1 \end{cases}〉 x^{2} = 2 x - 1 \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$

معادله درجه دوم $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 1$

$x = 1$ ریشه مضاعف معادله تقاطع می‌باشد، پس دو منحنی در نقطه ای به طول $x = 1$ بر هم مماس هستند.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول نقطه تماس را روی نمودار نشان دهید.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

حالت سوم

اگر معادله تقاط ریشه نداشته باشد، دو منحنی همدیگر را قطع نمی‌کنند.

تمرین

طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = - x - 1 \end{cases}$

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = - x - 1 \end{cases}〉 x^{2} = - x - 1 \Rightarrow x^{2} + x + 1 = 0$

معادله درجه دوم $x^{2} + x + 1 = 0$ معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

$x^{2} + x + 1 = 0; ∆ < 0$

معادله تقاطع ریشه حقیقی ندارد و دو منحنی همدیگر را قطع نمی‌کنند.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و نشان دهید همدیگر را قطع نمی‌کنند.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ریشه را دارد.

تمرین

به ازای چه مقدار $k$ خط و منحنی زیر بر یک‌دیگر مماس است.

$\{\begin{cases} y = x^{4} \\ y = 4 x + k \end{cases}$

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = x^{4} \\ y = 4 x + 4 \end{cases} \\ x^{4} = 4 x + k \\ \Rightarrow x^{4} - 4 x - k = 0 \end{array}$

اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بايستی معادله تقاطع فوق ريشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ريشه را دارد.

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} - 4 = 0 \\ \Rightarrow x = 1; i f x^{4} - 4 x - k = 0 \\ \Rightarrow {(1)}^{4} - 4 (1) - k = 0 \\ \Rightarrow k = - 3 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع

دربیشتر مواقع، حل کامل یک معادله و یافتن جواب های دقیق آن به راحتی امکان پذیر نیست و روش‌هایی وجود دارند که می‌توان به طور تقریبی ریشه های یک معادله را مشخص کرد.

اساس این روش‌ها، متکی بر رسم نمودارهای توابع می‌باشند.

از نظر هندسی:

ریشه های حقیقی معادله $f (x) = 0$ همان نقاط تلاقی نمودار تابع $y = f (x)$ با $y = 0$ یا همان محور $x$ ها است.
ریشه های حقیقی معادله $f (x) = g (x)$ همان نقاط تلاقی نمودار تابع $y = f (x)$ با $y = g (x)$ است.

تمرین

تعداد ریشه‌های معادله زیر را به کمک معادله تقاطع به دست می‌آوریم:

$\frac{2 x - 1}{x} = 1 - x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x - 1 = x (1 - x) \\ \Rightarrow 2 x - 1 = x - x^{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} f (x) = 2 x - 1 \\ g (x) = x - x^{2} \end{cases} \end{array}$

نمودار دو تابع فوق را رسم می‌کنیم و محل برخورد آنها را روی شکل معلوم می‌کنیم:

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

ریشه های معادله $\frac{2 x - 1}{x} = 1 - x$ را به روش جبری بدست آورید.

$\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{x} = 1 - x \\ \Rightarrow 2 x - 1 = x - x^{2} \\ \Rightarrow x^{2} + x - 1 = 0 \\ \Rightarrow x ≃ (0 / 62), (- 1 / 62) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

4,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

کاربرد مشتق

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

تعریف معادله تقاطع

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟