سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

تعریف معادله تقاطع

اگر معادلات دو منحنی y=fxy=gx را با هم قطع دهیم، یعنی y ها را حذف كنیم و معادله fx=gx را بر حسب x مرتب كنیم، به معادله مرتب شده، معادله تقاطع می‌گوییم.   

حالت اول: ریشه های ساده معادله تقاطع، طول های نقاط تقاطع دو منحنی است.

تمرین

طول های نقاط تقاطع دو منحنی زیر را به‌دست آورید.

y=x2y=x+2

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

y=x2y=x+2x2=x+2x2x2=0


معادله درجه دوم x2x2=0 معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع دو منحنی به‌دست می‌آید.

x2x2=0x2x+1=0x=2x=1

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول های نقاط تقاطع بدست آمده را روی نمودار نشان دهید.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

حالت دوم: ریشه های مضاعف معادله تقاطع، طول های نقاط تماس دو منحنی است. برای آنكه دو منحنی بر هم مماس باشند، بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد.  

تمرین

طول های نقاط تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.

y=x2y=2x1

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

y=x2y=2x1x2=2x1x22x+1=0


معادله درجه دوم x22x+1=0 معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

x22x+1=0x12=0x=1


x=1 ریشه مضاعف معادله تقاطع می‌باشد، پس دو منحنی در نقطه ای به طول x=1 بر هم مماس هستند.  

نمودار دو منحنی را رسم کرده و طول نقطه تماس را روی نمودار نشان دهید.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

حالت سوم: اگر معادله تقاط ریشه نداشته باشد، دو منحنی همدیگر را قطع نمی‌کنند.

تمرین

طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی زیر را به دست آورید.

y=x2y=x1

ابتدا معادله تقاطع دو منحنی را به‌دست می‌آوریم:

y=x2y=x1x2=x1x2+x+1=0


معادله درجه دوم x2+x+1=0 معادله تقاطع می‌باشد. با حل این معادله، طول های نقاط تقاطع یا تماس دو منحنی به‌دست می‌آید.

x2+x+1=0 ; <0


معادله تقاطع ریشه حقیقی ندارد و دو منحنی همدیگر را قطع نمی‌کنند.

نمودار دو منحنی را رسم کرده و نشان دهید همدیگر را قطع نمی‌کنند.

کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

اگر خط بخواهد بر منحنی مماس باشد بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی مشتق آن هم همان ریشه را دارد.

دریافت مثال

 یافتن تعداد ریشه های بعضی معادلات به کمک معادلات تقاطع

 دربیشتر مواقع، حل کامل یک معادله و یافتن جواب های دقیق آن به راحتی امکان پذیر نیست و روش‌هایی وجود دارند که می‌توان به طور تقریبی ریشه های یک معادله را مشخص کرد.

اساس این روش‌ها، متکی بر رسم نمودارهای توابع می‌باشند.

از نظر هندسی:

  • ریشه های حقیقی معادله fx=0 همان نقاط تلاقی نمودار تابع y=fx با y=0 یا همان محور x ها است.
  • ریشه های حقیقی معادله fx=gx همان نقاط تلاقی نمودار تابع y=fx با y=gx است.

تمرین

تعداد ریشه‌های معادله زیر را به کمک معادله تقاطع به دست می‌آوریم:

2x1x=1x

2x1=x1x2x1=xx2fx=2x1gx=xx2


نمودار دو تابع فوق را رسم می‌کنیم و محل برخورد آنها را روی شکل معلوم می‌کنیم:


کاربرد مشتق - نقاط تقاطع و تماس دو منحنی - پیمان گردلو

ریشه های معادله 2x1x=1x را به روش جبری بدست آورید. 

2x1x=1x2x1=xx2x2+x1=0x0/62,1/62

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید