سرفصل‌های این مبحث

مشتق در ریاضی

تعبیر هندسی مشتق

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: مشتق در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

فرض کنیم تابع $y = f (x)$ در $x = a$ پیوسته باشد:

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

فرض کنیم خط $(d)$ در نقاط زیر، منحنی $y = f (x)$ را قطع کند:

$A (a, f (a)), B (x, f (x))$

ضریب زاویه خط $(d)$ یعنی تانژانت زاویه ای که خط با جهت مثبت محور $x$ ها تشکیل می‌دهد با توجه به شکل عبارت است از:

$m = \tan α = \frac{B H}{A H} = \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

اگر $x$ به سمت $a$ میل کند یعنی $(x \to a)$ نقطه $B$ بی‌اندازه به نقطه $A$ نزدیک می‌شود و در وضعیت حدی قاطع، $d$ تبدیل به مماس در نقطه $A$ می‌شود.

$m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f^{'} (a)$

نکته

ضریب زاویه خط مماس بر منحنی $y = f (x)$ در $x = a$ برابر است با مشتق تابع به ازای طول نقطه تماس در $x = a$ .

تمرین

ضریب زاویه خط (یا شیب خط ) مماس بر نمودار توابع زیر را در نقطه داده شده به‌دست آورید.

$f (x) = x^{2}; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - {(- 1)}^{2}}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = (- 1 - 1) \\ \Rightarrow m = - 2 \end{array}$

از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول $x = - 1$ با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با $m = - 2$ است.

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

$f (x) = x^{2} - x; x = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{f (x) - f (\frac{1}{2})}{x - \frac{1}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x^{2} - x) - (- \frac{1}{4})}{x - \frac{1}{2}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - x + \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{x - \frac{1}{2}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to \frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow m = 0 \end{array}$

از لحاظ هندسی، یعنی خط مماس در نقطه ای به طول $x = \frac{1}{2}$ با محور طول ها، زاویه ای می‌سازد که تانژانت این زاویه برابر با $m = 0$ است.

تعبیر هندسی مشتق - پیمان گردلو

$k (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}; x = a$

$\begin{matrix} m = \lim_{x \to a} \frac{k (x) - k (a)}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{a}}}{x - a} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} . \sqrt{a}}}{x - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{(x - a) \sqrt{x} \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{(x - a) \sqrt{x} \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + \sqrt{x}}{\sqrt{a} + \sqrt{x}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{(a - x)}{(x - a) (\sqrt{a} + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 1}{(\sqrt{a} + \sqrt{x}) \sqrt{x} . \sqrt{a}} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 1}{(\sqrt{a} + \sqrt{a}) \sqrt{a} . \sqrt{a}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \frac{- 1}{(2 \sqrt{a}) . a} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1}{2 a \sqrt{a}} \end{matrix}$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 1; x = 3$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{(\frac{1}{3} x^{2} - 1) - (\frac{1}{3} \times 9 - 1)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} x^{2} - 1 - 2}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} x^{2} - 3}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} (x^{2} - 9)}{x - 3} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{3} (x - 3) (x + 3)}{x - 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 3} \frac{1}{3} (x + 3) \\ \Rightarrow m = \frac{1}{3} (3 + 3) \\ \Rightarrow m = 2 \end{array}$

$x (t) = t^{4}; t = a$

$\begin{array}{l} m = \lim_{t \to a} \frac{x (t) - x (a)}{t - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{t^{4} - a^{4}}{t - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{(t^{2} - a^{2}) (t^{2} + a^{2})}{t - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{t \to a} \frac{(t - a) (t + a) (t^{2} + a^{2})}{t - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{t \to a} (t + a) (t^{2} + a^{2}) \\ \Rightarrow m = (a + a) (a^{2} + a^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = (2 a) (2 a^{2}) \\ \Rightarrow m = 4 a^{3} \end{array}$

$y (u) = \frac{u}{1 + u}; u = a$

$\begin{array}{l} m = \lim_{u \to a} \frac{y (u) - y (a)}{u - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{\frac{u}{1 + u} - \frac{a}{1 + a}}{u - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{\frac{u (1 + a) - a (1 + u)}{(1 + u) (1 + a)}}{u - a} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{u + a u - a - a u}{(u - a) (1 + u) (1 + a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{u - a}{(u - a) (1 + u) (1 + a)} \\ \Rightarrow m = \lim_{u \to a} \frac{1}{(1 + u) (1 + a)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{1}{(1 + a) (1 + a)} \\ \Rightarrow m = \frac{1}{{(1 + a)}^{2}} \end{array}$

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to - 1} \frac{f (x) - f (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(3 x^{2} - 4 x) - 7}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{x + 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(x + 1) (3 x - 7)}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} (3 x - 7) \\ \Rightarrow m = 3 (- 1) - 7 \\ \Rightarrow m = - 10 \end{array}$

یادآوری) برای تجزیه کسر، عبارت صورت را بر $(x + 1)$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 x - 7 x + 1 \\ \underline{\mp 3 x^{2} \mp 3 x} 3 x - 7 \\ - 7 x - 7 \\ \underline{\pm 7 x \pm 7} \\ 0 \\ 3 x^{2} - 4 x - 7 = (x + 1) (3 x - 7) \end{array}$

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}; x = a$

$m = \lim_{x \to a} \frac{g (x) - g (a)}{x - a}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{a + 1}{a - 1}}{x - a} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{(x + 1) (a - 1) - (x - 1) (a + 1)}{(x - 1) (a - 1)}}{x - a}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{\frac{(x a - x + a - 1) - (x a + x - a - 1)}{(x - 1) (a - 1)}}{x - a} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{x a - x + a - 1 - x a - x + a + 1}{(x - a) (x - 1) (a - 1)}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2 x + 2 a}{(x - a) (x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2 (x - a)}{(x - a) (x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \lim_{x \to a} \frac{- 2}{(x - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow m = \frac{- 2}{(a - 1) (a - 1)} \end{matrix}$

$\Rightarrow m = \frac{- 2}{{(a - 1)}^{2}}$

$y (x) = \sqrt{4 - x^{2}}; x = - 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to - 1} \frac{y (x) - y (- 1)}{x - (- 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3}}{x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - \sqrt{3}}{x + 1} \times \frac{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}}{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(4 - x^{2}) - 3}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{1 - x^{2}}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{(1 - x) (1 + x)}{(x + 1) (\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to - 1} \frac{1 - x}{\sqrt{4 - x^{2}} + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow m = \frac{1 - (- 1)}{\sqrt{4 - {(- 1)}^{2}} + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{2}{2 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

$y (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}; x = 1$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 1} \frac{y (x) - y (1)}{x - 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(1)}^{2}}}{x - 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (2)}}{x - 1} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{2}}{2 (1 + x^{2}) (x - 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - x) (1 + x)}{2 (1 + x^{2}) (x - 1)} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 1} \frac{- (1 + x)}{2 (1 + x^{2})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \frac{- (1 + 1)}{2 [1 + {(1)}^{2}]} \\ \Rightarrow m = \frac{- 2}{4} \\ \Rightarrow m = \frac{- 1}{2} \end{array}$

$f (x) = \sin x; x = 0$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin (0)}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \\ \Rightarrow m = 1 \end{array}$

به نمودار زیر توجه کنید:

برای یافتن $α$ داریم:

یادآوری)

شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور $x$ ها می‌سازد.

$\begin{array}{l} m = \tan α \\ \Rightarrow 1 = \tan α \\ \Rightarrow α = 45 ° \end{array}$

$f (x) = \tan x; x = 0$

$\begin{array}{l} m = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \tan (0)}{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \\ \Rightarrow m = 1 \end{array}$

به نمودار زیر توجه کنید:

برای یافتن $α$ داریم:

یادآوری) شیب هر خط (ضریب زاویه) برابر است با تانژانت زاویه‌ ای که خط با قسمت مثبت محور $x$ ها می‌سازد.

$\begin{array}{l} m = \tan α \\ \Rightarrow m = \tan α \\ \Rightarrow α = 45 ° \end{array}$

تمرین

نمودار تابع $f (x) = - x^{2} + 10 x$ در زیر رسم شده است:

$f' (5), f' (8)$ را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{2} + 10 x \Rightarrow \{\begin{cases} f (5) = - {(5)}^{2} + 10 (5) = 25 \\ f (8) = - {(8)}^{2} + 10 (8) = 16 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (a) = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (5) = \lim_{x \to 5} \frac{f (x) - f (5)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 25}{x - 5} = \lim_{x \to 5} \frac{- {(x - 5)}^{2}}{x - 5} = \lim_{x \to 5} - (x - 5) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (8) = \lim_{x \to 8} \frac{f (x) - f (8)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 16}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{- (x - 2) (x - 8)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} - (x - 2) = - 6 \end{array}$

دو نقطه روی منحنی مشخص کنید که مقدار مشتق تابع در آنها قرینه یکدیگر باشند.

$A, F$

به کمک شکل توضیح دهید که تابع در چه نقاطی دارای مشتق مثبت و در چه نقاطی دارای مشتق منفی است؟

در نقاط $A, E, D$ که زاویه مماس بر منحنی با محور طول ها یعنی $0 < α < 90 °$ می‌باشد، دارای مشتق مثبت هستند.

$m = \tan α > 0$

در نقاط $B, G, F$ که زاویه مماس بر منحنی با محور طول ها یعنی $90 ° < α < 180 °$ می‌باشد، دارای مشتق منفی هستند.

$m = \tan α < 0$

بدون محاسبه و تنها به کمک نمودار، شیب خط های مماس بر منحنی در نقاط $3$ و $4$ را با هم مقایسه کنید.

$m_{E} > m_{D} \Rightarrow {f^{'}}_{} (3) > {f^{'}}_{} (4)$

با محاسبه $f' (3)$ و $f' (4)$ صحت حدس خود را بررسی کنید.

$\{\begin{array}{l} {f^{'}}_{} (3) = \lim_{x \to 3} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 21}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{- (x - 3) (x - 7)}{x - 3} = 4 \\ {f^{'}}_{} (4) = \lim_{x \to 4} \frac{f (x) - f (4)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(- x^{2} + 10 x) - 24}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{- (x - 4) (x - 6)}{x - 4} = 2 \end{array}〉 {f^{'}}_{} (3) > {f^{'}}_{} (4)$

تمرین

منحنی تابع و جدول زیر را در نظر بگیرید:

نقاط داده شده روی منحنی فوق را با شیب های ارائه شده در جدول، نظیر کنید.

تمرین

نقاط $A, B, C, D, E, F$ را روی منحنی زیر در نظر بگیرید:

در مورد شیب منحنی در این نقاط، کدام گزاره درست و کدام نادرست است؟

شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است.

نادرست.

$m_{A} < m_{B}$

نادرست.

$α$ زاویه ای که خط مماس در نقطه $A$ با محور طول ها می‌سازد ، بزرگ تر از $β$ زاویه ای که خط مماس در نقطه $B$ با محور طول ها می‌سازد.

$\tan α > \tan β \Rightarrow m_{A} > m_{B}$

$m_{A} > m_{B} > m_{E}$

درست.

شیب منحنی در نقاط $F, D, C$ منفی است.

درست.

تمرین

تابع $f (x)$ را در شکل زیر در نظر بگیرید:

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} f (4) = 25 \\ f^{'} (4) = 1.5 \end{cases}$

مختصات نقاط $A, B, C$ را بیابید.

$\begin{array}{l} m_{A B} = {f^{'}}_{} (4) \\ \Rightarrow \frac{f (B) - f (A)}{x_{B} - x_{A}} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (5) - f (4)}{5 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (5) - 25}{5 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow f (5) = 26.5 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} m_{A C} = {f^{'}}_{} (4) \\ \Rightarrow \frac{f (C) - f (A)}{x_{C} - x_{A}} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (3) - f (4)}{3 - 4} = 1.5 \\ \Rightarrow \frac{f (3) - 25}{- 1} = 1.5 \\ \Rightarrow f (3) = 23.5 \end{array} \end{matrix}$

بنابراین داریم:

$\{\begin{cases} f (3) = 23.5 \Rightarrow C (3, 23.5) \\ f (4) = 25 \Rightarrow A (4, 25) \\ f (5) = 26.5 \Rightarrow B (5, 26.5) \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور ریاضی اردیبهشت 1404

نمودار تابع $f$ و خط مماس بر آن در نقطه $(3, 5)$ در شکل زیر رسم شده است.

مقدار $f^{'} (3)$ کدام است؟

$2$
$1$
$\frac{2}{3}$
$\frac{4}{3}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تعبیر هندسی مشتق

5,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

مشتق

تعبیر هندسی مشتق

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟