مشتق پذیری در یک نقطه

آخرین ویرایش: 09 خرداد 1403
دسته‌بندی: مشتق در ریاضی
امتیاز:

تعریف مشتق

تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر گویند، هر‌گاه دو شرط زیر برقرار باشد.

الف) تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد.

ب) حد تابع زیر موجود و متناهی باشد.

limxafxfaxa=f'a

تمرین

پیوستگی و مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط بیان شده بررسی کنید.

gx=3x+5     ;    x=1

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1 :

1 g1=82 lim      x1gx=limx13x+5=83 lim     x1gx=g1


تابع در نقطه x=1 پیوسته است.


ب)
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=1 :


g'1=limx1gxg1x1g'1=limx13x+531+5x1


g'1=limx13x+5315x1g'1=limx13x3axa


g'1=limx13xaxag'1=3


تابع g در نقطه x=1 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


g'1=3

fx=11x    ;    x=1

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=-1 :


1f1=12


2lim   x1fx=limx111x=111=12


3lim  x1fx=f1


تابع در نقطه x=-1 پیوسته است.


ب) 
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=-1 :


f'1=limx1fxf1x1f'1=limx111x12x+1


f'1=limx1 21x21xx+1f'1=limx1x+121xx+1f'1=limx1121x


f'1=1211f'1=122f'1=14


تابع f در نقطه x=-1 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'1=14

fx=x2x2    ;    x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=02    limx0fx=03    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0=limx0x2x20x=limx0x2x=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0

fx=x21x2   x01   x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=1


2    limx0fx=limx0x21x2=limx0x2×1x2=1


3    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x21x21x


f'0=limx0x21x21x2xf'0=limx0x1x21x2f'0=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0

fx=sinxxx01x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=12    limx0fx=limx0sinxx=13    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0sinxx1x


f'0=limx0sinxxx2=00f'0=limx016x3x2


f'0=limx016xf'0=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0

fx=x2.cos1x    x00    x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=0


2    limx0fx=limx0x2.cos1x=0


3    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0=limx0x2cos1x0x=limx0x.cos1x=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0

fx=sin2x.cos1sinx    x00    x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=0


2   limx0fx=limx0sin2x.cos1sinx=0×cos=0


3   f0=limx0fx


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0sin2xcos1sinxx


f'0=limx0x2cos1xxf'0=limx0x.cos1x


f'0=0×cosf'0=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0

fx=x2    xQ0    xRQ ;  x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=02=02    limx0fx=03    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


یادآوری)
 


چنان‌چه در فصل حد ثابت کرده‌ايم در هر xR  که x0 باشد، تابع حد ندارد و ناپيوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0fx0x


f'0=limx0fxx    ;    fxx=x×gx

f'0=limx0x×gx


f'0=limx0x×limx0gxf'0=0×limx0gxf'0=0


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0


یادآوری)
تساوی زیر را در نظر بگیرید:

   fxx=x×gx


برای یافتن تساوی فوق، داریم:

fxx=x2x   xQ0x   xRQfxx=x   xQ0   xRQ


fxx=x×1   xQ0   xRQ    ;    gx=1   xQ0   xRQ


fxx=x×gx


gx در هيچ نقطه ای حد ندارد اما در R کران دار است.

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده تعیین کنید. (شرط پیوستگی برقرار است)

fx=3x1    ;    x=2

f'2=limx2fxf2x2f'2=limx23x1321x2


f'2=limx23x15x2f'2=limx23x6x2


f'2=limx23x2x2f'2=limx23f'2=3


تابع f در نقطه x=2 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'2=3

fx=x1+x    ;    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x1+x0x


f'0=limx0xx1+xf'0=limx011+x


f'0=11+0f'0=1


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=1

fx=21x    ;    x=3

ابتدا مقدار تابع را در نقطه x=-3 به‌دست می‌آوریم:


fx=21x    ;    x=3f3=213


f3=21+3f3=4


به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:


f'3=limx3fxf3x3


f'3=limx321x4x+3


f'3=limx321x4x+3×21x+421x+4


f'3=limx321x242x+321x+4


f'3=limx341x16x+321x+4


f'3=limx344x16x+321x+4


f'3=limx34x12x+321x+4


f'3=limx34x+3x+321x+4


f'3=limx3421x+4


f'3=4213+4


f'3=48


f'3=12

gx=x+1x1    ;    x=1

g'1=limx1gxg1x1g'1=limx1x+1x11+111x+1


g'1=limx1 x+1x1x+1g'1=limx1x+1x+1x1


g'1=limx11x1g'1=111g'1=12

fx=x3+3x22    ;    x=1

ابتدا مقدار تابع را در نقطه x=1 به‌دست می‌آوریم:


fx=x3+3x22    ;    x=1f1=13+3122f1=2


به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:


f'1=limx1fxf1x1f'1=limx1x3+3x222x1


f'1=limx1x3+3x24x1f'1limx1x3+3x24x1


f'1=limx1x1x2+4x+4x1f'1=limx1x2+4x+4


f'1=12+41+4f'1=9


یادآوری)
 عبارت صورت را بر x-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

    x3+3x24                      x1           x3±x2           ¯               x2+4x+4   4x24                                                            4x2±4x          ¯      4x4   4x±4  ¯        0

x3+3x24=x1x2+4x+4

fx=ax2+bx+c    ;    x=b2a

ابتدا مقدار تابع را در نقطه x=-b2a به‌دست می‌آوریم:

fx=ax2+bx+c    ;    x=b2a

fb2a=ab2a2+bb2a+c


fb2a=ab24a2b22a+c=b24ab22a+c


fb2a=b22b2+4ac4afb2a=4acb24a


به محاسبه مشتق تابع می‌پردازیم:


f'b2a=limxb2afxfb2axb2a


f'b2a=limxb2aax2+bx+c4acb24ax+b2a


f'b2a=limxb2a 4a2x2+4abx+4ac4ac+b24ax+b2a


f'b2a=limxb2a4a2x2+4abx+b24ax+b2a


f'b2a=limxb2a4a2x2+bax+b24a24ax+b2a


f'b2a=limxb2a4a2x+b2a24ax+b2a


f'b2a=limxb2aax+b2a


f'b2a=ab2a+b2a


f'b2a=a0


f'b2a=0

fx=xx1x2xn    ;    x=0

f'a=limxafxfaxa    ;   f0=0


f'0=limx0xx1x2...xnf0x0


f'0=limx0x1x2xn

f'0=1.2n


f'0=1n1×2××nf'0=1nn!

fx=xcosπx2+1    ;    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0xcosπx2+10x


f'0=limx0cosπx2+1f'0=cosπf'0=1

fx=xsin1x   x00  x=0

f'0=limx0fxf0x0


f'0=limx0xsin1x0×sin10x


f'0=limx0xsin1xx


f'0=limx0sin1x


f'0=sin10


f'0=sin      ;      1sin1


sin در بازه -1,1 در حال نوسان است و یک عدد نامشخص است.


حد فوق موجود نیست و تابع در x=0 مشتق‌ پذیر نیست.

gx=x2sin1x    x00    x=0

g'0=limx0gxg0x0


g'0=limx0x2sin1x02sin10x


g'0=limx0x2sin1xx


g'0=limx0x.sin1x


g'0=limx0x.limx0sin1x


g'0=0×sin


=0

fx=x2sin1x3+1    x00    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x2sin1x3+10x0


f'0=limx0x.sin1x3+1f'0=0.sin1f'0=0

fx=sin2xsin1x    x00    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0sin2xsin1x0x=00


f'0=limx0x2×sin1xxf'0=limx0xsin1xf'0=0

fx=x+x2sin1x    x00    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x+x2sin1x0x


f'0=limx01+xsin1xf'0=1

fx=x2  ;  xQx   ; xRQ      ;    x=0

f'0=limx0fxf0x0=limx0fxx=limx0x   ;   xQ1     ;  xRQf'0=1

تمرین

مقادیر مجهول را به‌دست آورید.

if   gx=xfxf0=limx0fxg'0=?

g'0=limx0gxg0x0


g'0=limx0xfx0×f0xg'0=limx0xfx0x


g'0=limx0fxg'0=f0

if   gx=x1fxf1=limx1fxg'1=?

g'1=limx1gxg1x1

g'1=limx1x1fx11f1x1


g'1=limx1x1fx0x1g'1=limx1fxg'1=f1

if   fx=3xgx25x+149+x+2+9x33g1=3f'3=?

f'3=limx3fxf3x3

f'3=limx33xgx25x149+x+2+9x330x3


f'3=limx3g119+3+2+9×333f'3=31+2f'3=1

تمرین

اگر f  در x=0 مشتق پذير باشد، ثابت كنيد.

limxaxfaafxxa=faaf'a

limxaxfaafxxa=limxaxfaafa+afaafxxa


=limxafaxaafxfaxa=limxafaa.fxfaxa


=faalimxafxfaxa=faaf'a

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=gxsin1x2+x    ;x0    0                               ;x=0

اگر داشته باشیم:

g0=g'0=0

f'0 چقدر است؟

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0gxsin1x2+x0x


f'0=limx0gxx.sin1x2+xf'0=limx0gxg0x0.sin1x2+x


f'0=g'0.sin10f'0=0×sinf'0=0

تمرین

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید:

fx=xmx    ;    mN

به‌ازای چه مقادير m در x=0 تابع فوق، مشتق دارد؟

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0xmxx

f'0=limx0xm1x    ;    if  mNm11m2

f'0=0


برای اين‌كه f'0=0 باشد، بايستی m2 باشد.

تمرین

تابع‌ زیر، معادله‌ حرکت متحرک بر محور x هاست.

xt=t22t1

t برحسب ثانیه و x برحسب سانتی‌ متر است.

مطلوب است:

محاسبه‌ سرعت متوسط این متحرک در فاصله‌ زمانی t1=1 , t2=4

t1=1x1=12211=2t2=4x4=42241=7


V¯=ΔxΔtV¯=xt2xt1t2t1


V¯=x4x141V¯=7241


V¯=93V¯=3cm/s

محاسبه‌ سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان ‌های t=0,1,3

محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان t=0 :

V0=x'0V0=limt0xtx0t0

V0=limt0t22t11t

V0=limt0t22tt

V0=limt0tt2tV0=limt0t2V0=2


محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان t=1 :


V1=x'1V1=limt1xtx1t1


V1=limt1t22t12t1V1=limt1t22t+1t1


V1=limt1t12t1V1=limt1t1V1=0


محاسبه سرعت لحظه‌ ای متحرک در زمان t=3 :


V3=x'3V3=limt3xtx3t3


V3=limt3t22t12t3V3=limt3t22t3t3


V3=limt3t3t+1t3V3=limt3t+1V3=4

تمرین

توپی را با سرعت اولیه 30 متر در ثانیه به‌طور قائم از زمین به بالا پرتاب می‌کنیم.

اگر جهت مثبت فاصله از نقطه پرتاب به طرف بالا باشد و معادله حرکت به‌صورت زیر باشد:

x=ft=4/9t2+30t

مطلوب است:

محاسبه‌ سرعت لحظه‌ای توپ در پایان یک ثانیه پس از پرتاب.

V1=f'1V1=limt1ftf1t1


V1=limt14/9t2+30t4/9+30t1

V1=limt14/9t2+30t25/1t1=00


V1=limt1t14/9t+25/1t1V1=limt14/9t+25/1


V1=4/9+25/1V1=20/2


یادآوری)
 


عبارت صورت را بر t-1 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:‌


4/9t2+30t25/1                             t1             ±4/9t24/9t                  ¯           4/9t+25/1  25/1t25/1  25/1t±25/1   ¯                0


4/9t2+30t25/1=t14/9t+25/1

محاسبه‌ سرعت لحظه‌‌ ای توپ در پایان سه ثانیه پس از پرتاب.

V3=f'3V3=limt3ftf3t3

V3=limt34/9t2+30t45/9t3

V3=limt34/9t2+30t45/9t3=00


V3=limt3t34/9t+15/3t3V3=limt34/9t+15/3


V3=4/93+15/3V3=0/6m/s


یادآوری)
 عبارت صورت را بر t-3 تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:‌

4/9t2+30t45/9                               t3              ±4/9t214/7t                  ¯              4/9t+15/3    15/3t45/9    15/3t±45/9  ¯                    0


4/9t2+30t45/9=t34/9t+15/3

تمرین

تابع زیر مفروض است:

fx=x12+4    ;     x0x+12+4    ;    x>0

نقطه A0,3 و  نقطه Bx,fx را سمت راست A در نظر می‌گیریم.

حد شیب خط AB را وقتی B  به A نزدیک می‌شود را حساب کنید.


شیب خط AB را به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:


mAB=yByAxBxA=fx3x0=fx3x


محاسبه‌ حد شیب خط AB :


وقتی B به A نزدیک می‌شود، یعنی x از سمت راست به صفر نزدیک می‌شود:


limBAmAB=limx0+fx3x


limBAmAB=limx0+x+12+43x=00


limBAmAB=limx0+x+12+1x


limBAmAB=limx0+x2+2x+1+1x


limBAmAB=limx0+x22x1+1x


limBAmAB=limx0+x22xx


limBAmAB=limx0+xx2x


limBAmAB=limx0+x2


limBAmAB=2


وقتی B  از سمت چپ به A  نزدیک می‌شود، یعنی x از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود.


در این حالت شیب خط AB را محاسبه می‌کنیم:


limBAmAB=limx0fx3x


limBAmAB=limx0x12+43x=00


limBAmAB=limx0x12+1x


limBAmAB=limx0x22x+1+1x


limBAmAB=limx0x22x+1+1x


limBAmAB=limx0x2+2x1+1x


limBAmAB=limx0x2+2x1+1x


limBAmAB=limx0x2+2xx


limBAmAB=limx0xx+2x


limBAmAB=limx0x+2


limBAmAB=2

مشتق راست و مشتق چپ

حد تابع زیر را در نظر بگیرید:

limxafxfaxa=f'a

به حد راست در تابع فوق، مشتق راست می‌گوییم و به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

limxa+fxfaxa=f'+a

به حد چپ در تابع فوق، مشتق چپ می‌گوییم و به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

limxafxfaxa=f'a

تمرین

پیوستگی و مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط بیان شده بررسی کنید.

fx=xa    ;    x=a

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=a :


1    fa=0


2    limxafx=limxaxa=aa=0


3    limxafx=fa


تابع در نقطه x=a پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=a :


f'a=limxafxfaxa=limxaxa0xa


f'+a=limxa+xaxa=limxa++xaxa=1


f'a=limxaxaxa=limxaxaxa=1


مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه x=a برابر نيستند.


تابع f مشتق پذير نیست.

fx=x3+3x2    ;    x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=02    limx0fx=limx0x3+3x2=03    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=a :


f'0=limx0fxf0x0=limx0x3+3x20x=limx0xx+3x


f'+0=limx0+xx+3x=limx0++x×x+3x=3


f'0=limx0xx+3x=limx0xx+3x=3


مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه x=0 برابر نيستند.


تابع f مشتق پذير نیست.

fx=x+xx2    ;    x=0

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=0


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x+xx2=0


L2=limx0fx=limx0x+xx2=1+012=0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0=limx0x+xx20x=limx0x+xx2x


f'+0=limx0+x+xx2x=limx0+0++x0+2x=limx0+x2x=limx0+x=0


f'0=limx0x+xx2x=limx00+x02x=limx01+x+12x=00Hlimx02x+11=2


مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه x=0 برابر نيستند.


تابع f مشتق پذير نیست.

fx=x2x    ;    x=0,1

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0 :


1    f0=0


2    limx0fx=?


L1=limx0+fx=limx0+x2x=0×0=0


L2=limx0fx=limx0x2x=0×1=0


3    limx0fx=f0


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


ب)
 بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0 :


f'0=limx0fxf0x0=limx0x2xx=limx0xx


f'+0=limx0+xx=00=0


f'0=limx0xx=01=0


مشتق راست و مشتق چپ تابع در نقطه x=0 برابر هستند.


تابع f در نقطه x=0 مشتق پذير است و مشتق تابع در این نقطه برابر است با:


f'0=0


برای درک بهتر، مشتق پذیری تابع را در نقطه x=1 بررسی می‌کنیم.


الف)
 بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1 :


1    f1=1


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+x2x=1×1=1


L2=limx1fx=limx1x2x=1×0=0


تابع در نقطه x=1 حد ندارد، بنابراین تابع در این نقطه پیوسته نیست.


شرط اول مشتق پذیری یعنی پیوستگی، برقرار نیست، پس تابع در این نقطه مشتق پذیر هم نیست.

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده روی شکل، تعیین کنید. (شرط پیوستگی بر قرار است)

fx=x ; x=0

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x0x=limx0+xx=1


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x0x0=limx0xx=1


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌ پذیر نیست.‌ 

fx=2x+1 ; x=-1

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+2x+10x+1=limx1+2x+1x+1=2


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx12x+10x+1=limx12x+1x+1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=-1 مشتق‌ پذیر نیست.‌ 

fx=x2+1;x0x2+1;x>0


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x2+102+1x            =limx0+x2+11x=limx0+x2x=limx0+x=0


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x2+102+1x=             =limx0x2+11x=limx0x2x=limx0x=0


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر هستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌ پذیر است.


مشتق تابع f در نقطه x=0 برابر است با:


f'0=0

fx=1x2 ; x=±1


1- بررسی مشتق در نقطه x=1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+1x20x1=limx1+1x2x1=limx1+x21x1           =limx1+x1x+1x1=limx1+x+1=2


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx11x20x1=limx1+1x2x1           =limx11x1+xx1=limx11+x=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=1 مشتق‌ پذیر نیست.‌ 


2- بررسی مشتق در نقطه x=-1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+1x20x+1=limx1++1x2x+1               =limx1+1x1+xx+1=limx1+1x=2


محاسبه مشتق چپ:

f11=limx1fxf1x1=limx11x20x+1=limx11x2x+1                 =limx1x21x+1=limx1x1x+1x+1=limx1x1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=-1 مشتق‌ پذیر نیست.‌ 

fx=x+x1

x=0x1=0x=1


مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو

x0y=x+x1=xx+1y=1

0<x1y=+x+-x-1=-x-x+1=-2x+1

x>1y=+x++x1=x+x1y=1


fx=x+x1=1                    ;    x02x+1    ;    0<x11                ;    x>1



1- بررسی مشتق در نقطه x=0:


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+2x+11x=limx0+2xx=2


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx011x=0


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌ پذیر نیست.‌


2- بررسی مشتق در نقطه x=1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+121+1x1=limx1+1+1x1=0


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx12x+121+1x1            =limx12x+1+1x1=limx12x+2x1=limx12x1x1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=1 مشتق‌ پذیر نیست.‌ 

fx=xx    ;    x=0

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+xxx=limx0+xxx=limx0+1xx=1


f'0=limx0fxf0x0=limx0xxx=limx0xxx=limx01xx=1

fx=x+xx    ;    x1-

f'1=limx1fxf1x1f'1=limx1x+xx1x1f'1=limx1x1x1


f'1=limx1x1x1x+1f'1=limx11x+1f'1=12

fx=sinx2    ;    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0sinx20x=00


f'0=limx0x2xf'0=limx0xxf'0= 1       x0+  -1    x0- 


f'+0=1    ,    f'0=1

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=gxsin1x  ;  x00                       ;   x=0

اگر داشته باشیم: 

g0=g'0=0

f'0 چقدر است؟

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0gxsin1xx


f'0=limx0gxx.sin1xf'0=limx0gxg0x0.sin1x


f'0=g'0.sin10=0.sin=0

تذکر

مشتق تابع y=fx را نسبت به x علاوه بر نماد f'x با نمادهای زیر هم نشان می‌دهند: 

اویلر 17071783 نماد fx را برای تابع و yx را برای مشتق به کار برد.   

لایبنیز 16461716 نماد dydx را برای مشتق به کار برد که به صورت های dfxdx یا ddxfx یا dfdxx نیز نشان داده می‌شود.  

لاگرانژ 17341813 نماد f' را برای مشتق به کار برده است.

 قضیه پیوستگی و مشتق پذیری  تابع در یک نقطه

قضیه

اگر تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، آنگاه f در نقطه x=a پیوسته است. 

اثبات

روش اول:

تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر است:

f'a=limxafxfaxa


می‌خواهیم ثابت کنیم تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته است:

limxafx=fa

برای اثبات داریم:

fx=fa+fxfa

fx=fa+xa.fxfaxa

limxafx=limxafa+xa.fxfaxa

limxafx=limxafa+limxaxa.fxfaxa

limxafx=fa+limxaxa.limxafxfaxa

limxafx=fa+0×f'a

limxafx=fa


روش دوم:

پیوستگی یک تابع مانند f در نقطه ای مانند a به معنای آن است که limxafx=fa

این تساوی معادل با آن است که limxafxfa=0.

 ما می‌توانیم درستی این تساوی را از شرط مشتق پذیری f در a بدست آوریم: 

limxafxfa=limxafxfaxa.xa

limxafxfa=limxafxfaxa.limxaxa

limxafxfa=f'a.0

limxafxfa=0

تمرین

بنا به قضيه تقسيم:

اگر fx  يک چند‌ جمله ای و a عددی حقيقی باشد، چند جمله ای gx  وجود دارد به‌قسمی كه:

fx=xagx+fa

اگر fa باقيمانده fx بر x-a باشد، مطلوب است:

limxagx

fx=xagx+fafxfa=xagx


gx=fxfaxalimxagx=limxafxfaxalimxagx=f'a

یادآوری

1- هر تابع پیوسته ای، مشتق پذیر نیست:

پیوستگی تابع y=fx در نقطه x=a شرط لازم برای مشتق پذیری است و در صورتی که حد limxafxfaxa عددی موجود و متناهی باشد، تابع y=fx مشتق پذیر است.


2- هر تابع مشتق پذیری پیوسته است:

اگر limxafxfaxa متناهی و عددی حقیقی باشد، در این حالت اگر حتی پیوستگی هم ذکر نشود، وجود دارد. 

توابع سینوس و کسینوس از انواع این توابع هستند.

این حالت مهم‌ ترین حالت‌ها است، زیرا f مشتق پذیر و همواره یک مماس غیر عمودی بر نمودار در نقطه a وجود دارد و نمودار یک منحنی صاف و هموار است.

تمرین

تابع با ضابطه زیر در نقطه x=2 مشتق پذير است.

fx=x2x2ax+bx<2

a,b را بیابید.

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=2 :


1    f2=4


تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


2    limx2+fx=?


L1=limx2+fx=limx2+x2=4


L2=limx2fx=limx2ax+b=2a+b


3    L1=L2=f2


چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.


چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.


2a+b=4        Ι


ب) 
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=2 :


f'2=limx2fxf2x2=limx2fx4x2=?


f'+2=limx2+fx4x2=limx2+x24x2=00Hlimx2+2x1=4


f'2=limx2fx4x2=limx2ax+b4x2=limx2ax+b2a+bx2=limx2ax2x2=limx2a=a


چون تابع در x=2 مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.


a=42a+b=424+b=4b=4

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=x2bxx2   x3x2x+a   x<3

به‌ازای چه مقادير a,b تابع در x=3 مشتق پذير است؟

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=3 :


1    f3=323b32=93b


2    limx3fx=?


L1=limx3+fx=limx3+x2bxx2=93b32=93b


L2=limx3fx=limx3x2x+a=322+a=18+a


3    L1=L2=f3


چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.


چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.


93b=18+aa+3b=9        Ι


ب) 
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=2 :


f'3=limx3fxf2x3=?


محاسبه مشتق راست تابع در نقطه x=3:


f'+3=limx3+fxf3x3


f'+3=limx3+x2bxx293bx3    ;    if   x3+x=3


f'+3=limx3+x2bx3293bx3


f'+3=limx3+x2bx9+3bx3=00Hf'+3limx3+2xb1=6b


محاسبه مشتق چپ تابع در نقطه x=3:


f'3=limx3fxf3x3


f'3=limx3x2x+a93bx3    ;    if   x3x=2


f'3=limx32x2+a9+3bx3    ;    a+3b=9


f'3=limx32x299x3f'3=limx32x218x3=00


Hf'3=limx34x1f'3=12


چون تابع در x=3 مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.

if   f'+3=f'3    ;    6b=12     ΙΙ

Ι,ΙΙa+3b=96b=12b=6a=9

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=m2x x>ca+bx2 xc

به‌ازای چه مقاديری از a,b تابع در نقاط x=c مشتق پذير است؟

fx=m2x    x>c    x<ca+bx2   cxc


الف)
 بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=c :


1    fc=a+bc2


2   limxcfx=?


L1=limxc+fx=limxc+m2x=limxc+m2x=m2c


L2=limxcfx=limxca+bx2=a+bc2


3    L1=L2=fc


چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.


چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.


m2c=a+bc2


ب) 
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=c :


f'c=limxcfxfcxc=?


f'+c=limxc+fxfcxc=limxc+m2xa+bc2xc=limxc+m2xm2cxc=00Hlimxc+m2x21=m2c2


f'c=limxcfxfcxc=limxca+bx2a+bc2xc=00Hlimxc2bx1=2bc


چون تابع در x=c مشتق پذير است پس مشتق چپ و راست در این نقطه با‌هم برابرند.


f'+c=f'c    ;    m2c2=2bcb=m22c3


m2c=a+bc2m2c=a+m22c3c2


a=m2c+m22ca=3m22c

تمرین

با چه شرطی، تابع زیر در x=1 مشتق پذير است؟

fx=ax2+bx2   ;   x1xx+2bx       ;  x<1

الف) بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1 :


1    f1=a+b


2    limx1fx=?


L1=limx1+fx=limx1+ax2+bx2=a+b


L2=limx1fx=limx1xx+2bx=2b


3    L1=L2=f1


چون تابع مشتق پذير است، حتما پيوسته می‌باشد.


چون تابع پيوسته است پس بايستی مقدار تابع با حد چپ و راست برابر باشد.


a+b=2ba=b


ب) 
بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=1 :


محاسبه مشتق راست تابع در نقطه x=1:

f'+1=limx1+ax2+bx2a+bx1    ;    if   a=b

f'+1=limx1+ax2+ax22ax1


f'+1=limx1+a+ax22ax1f'+1=limx1+ax2ax1=00


Hf'+1=limx1+2ax1f'+1=2a


محاسبه مشتق چپ تابع در نقطه x=1:

f'1=limx1xx+2bxa+bx1    ;    if   a=b

f'1=limx1xx+2axa+ax1

f'1=limx110+2ax2ax1    ;    if   a=b

f'1=limx12ax2ax1=00


Hf'1=limx12a1f'1=2a


f+'1=f'1=2a


با شرط a=b مشتق چپ و راست در این نقطه با هم برابرند و f  در x=1 مشتق پذير است.

دریافت مثال

نکته

1- تابع با ضابطه fx=x در نقاط xZ حد ندارد، پیوسته نیست و مشتق پذیر نیست. 

2- تابع با ضابطه fx=x در نقاط xR-Z حد دارد، پیوسته است و مشتق پذیر بوده و مشتق آن صفر است.

3- تابع با ضابطه fx=xn+1x و nN در نقطه x=0 مشتق پذیر است.

4- تابع با ضابطه fx=x-a فقط در x=a مشتق پذیر نیست.

5- تابع با ضابطه fx=x-anx-a و nN در R مشتق پذیر است.

6- تابع با ضابطه fx=xaxb2xc3 فقط در x=a مشتق پذیر نیست.

خرید پاسخ‌ها

مشتق پذیری در یک نقطه

24,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید