مشتق پذیری در یک نقطه

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 52 مرتبه

تعریف: تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر گویند، هر‌گاه دو شرط زیر برقرار باشد.

1- تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد.

2- حد f'a=limxafxfaxa موجود و متناهی باشد.

تمرین

مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط بیان شده بررسی کنید:

gx=3x+5     ;    x=1

1- بررسی پیوستگی در نقطه x=1:

g1=8limx1gx=limx13x+5=8limx1gx=g1

پیوستگی برقرار است.


2- بررسی مشتق در نقطه x=1:

g'1=limx1gxg1x1g'1=limx13x+531+5x1g'1=limx13x+5315x1g'1=limx13x3axag'1=limx13xaxag'1=3


تابع در x=1 مشتق پذیر و مشتق آن 3 است.

fx=11x    ;    x=1

1- بررسی پیوستگی در نقطه x=-1:

f1=12limx1fx=limx111x=111=12limx1fx=f1

پیوستگی برقرار است.


2- بررسی مشتق در نقطه x=-1:

f'1=limx1fxf1x1f'1=limx111x12x+1f'1=limx1 21x21xx+1f'1=limx1x+121xx+1f'1=limx1121xf'1=1211f'1=122f'1=14


تابع در x=-1 مشتق پذیر و مشتق آن 14 است.

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده تعیین می‌کنیم: (شرط پیوستگی برقرار است)

fx=3x1    ;    x=2

f'2=limx2fxf2x2f'2=limx23x1321x2f'2=limx23x15x2f'2=limx23x6x2f'2=limx23x2x2f'2=limx23f'2=3


تابع در x=2 مشتق پذیر و مشتق آن 3 است.

fx=x1+x    ;    x=0

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x1+x0xf'0=limx0xx1+xf'0=limx011+xf'0=11+0f'0=1


تابع در x=0 مشتق پذیر و مشتق آن 1 است.

 مشتق راست و مشتق چپ

حد راست و حد چپ عبارت limxafxfaxa را مشتق راست و مشتق چپ می‌نامند و به صورت زیر نمایش می‌دهیم:

f'+a=limxa+fxfaxaf'a=limxafxfaxa

تمرین

مشتق توابع زیر را در نقاط داده شده روی شکل، تعیین می‌کنیم: (شرط پیوستگی بر قرار است)

fx=x ; x=0

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x0x=limx0+xx=1


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x0x0=limx0xx=1


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌پذیر نیست.‌ 

fx=2x+1 ; x=-1

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+2x+10x+1=limx1+2x+1x+1=2


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx12x+10x+1=limx12x+1x+1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=-1 مشتق‌پذیر نیست.‌ 

fx=x2+1;x0x2+1;x>0

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x2+102+1x             =limx0+x2+11x=limx0+x2x=limx0+x=0


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x2+102+1x              =limx0x2+11x=limx0x2x=limx0x=0


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر هستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌پذیر است.

fx=1x2 ; x=±1

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


1- بررسی مشتق در نقطه x=1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+1x20x1=limx1+1x2x1=limx1+x21x1            =limx1+x1x+1x1=limx1+x+1=2


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx11x20x1=limx1+1x2x1            =limx11x1+xx1=limx11+x=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=1 مشتق‌پذیر نیست.‌ 


2- بررسی مشتق در نقطه x=-1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+1x20x+1=limx1++1x2x+1                =limx1+1x1+xx+1=limx1+1x=2


محاسبه مشتق چپ:

f11=limx1fxf1x1=limx11x20x+1=limx11x2x+1                  =limx1x21x+1=limx1x1x+1x+1=limx1x1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=-1 مشتق‌پذیر نیست.‌ 

fx=x+x1

x=0x1=0x=1


مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو

x0y=x+x1=xx+1y=10<x1y=+x+x1=xx+1y=2x+1x>1y=+x++x1=x+x1y=1fx=x+x1=1                    ;    x02x+1    ;    0<x11                ;    x>1


مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


1- بررسی مشتق در نقطه x=0:


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+2x+11x=limx0+2xx=2


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx011x=0


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=0 مشتق‌پذیر نیست.‌


2- بررسی مشتق در نقطه x=1:


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+121+1x1=limx1+1+1x1=0


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx12x+121+1x1             =limx12x+1+1x1=limx12x+2x1=limx12x1x1=2


مشتق راست و مشتق چپ با هم برابر نیستند، بنابراین تابع f در x=1 مشتق‌پذیر نیست.‌ 

تذکر

مشتق تابع y=fx را نسبت به x علاوه بر نماد f'x با نمادهای زیر هم نشان می‌دهند: 

اویلر 17071783 نماد fx را برای تابع و yx را برای مشتق به کار برد.   

لایبنیز 16461716 نماد dydx را برای مشتق به کار برد که به صورت های dfxdx یا ddxfx یا dfdxx نیز نشان داده می‌شود.  

لاگرانژ 17341813 نماد f' را برای مشتق به کار برده است.

 قضیه پیوستگی و مشتق پذیری  تابع در یک نقطه

قضیه

اگر تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، آنگاه f در نقطه x=a پیوسته است. 

اثبات

روش اول:

تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر است:

f'a=limxafxfaxa


می‌خواهیم ثابت کنیم تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته است:

limxafx=fa

برای اثبات داریم:

fx=fa+fxfafx=fa+xa.fxfaxalimxafx=limxafa+xa.fxfaxalimxafx=limxafa+limxaxa.fxfaxalimxafx=fa+limxaxa.limxafxfaxalimxafx=fa+0×f'alimxafx=fa


روش دوم:

پیوستگی یک تابع مانند f در نقطه ای مانند a به معنای آن است که limxafx=fa

این تساوی معادل با آن است که limxafxfa=0.

 ما می‌توانیم درستی این تساوی را از شرط مشتق پذیری f در a بدست آوریم: 

limxafxfa=limxafxfaxa.xalimxafxfa=limxafxfaxa.limxaxalimxafxfa=f'a.0limxafxfa=0

یادآوری

1- هر تابع پیوسته ای مشتق پذیر نیست:

پیوستگی تابع y=fx در نقطه x=a شرط لازم برای مشتق پذیری است و در صورتی که حد limxafxfaxa عددی موجود و متناهی باشد، تابع y=fx مشتق پذیر است.


2- هر تابع مشتق پذیری پیوسته است:

اگر limxafxfaxa متناهی و عددی حقیقی باشد، در این حالت اگر حتی پیوستگی هم ذکر نشود، وجود دارد. 

تمرین

توابع چند جمله ای fx=sinx و fx=cosx از انواع این توابع می‌باشد:

مشتق پذیری در یک نقطه - پیمان گردلو


این حالت مهم‌ترین حالت‌ها است، زیرا f مشتق پذیر و همواره یک مماس غیر عمودی بر نمودار در نقطه a وجود دارد و نمودار یک منحنی صاف و هموار است. 

دریافت مثال

نکته

تابع با ضابطه fx=x در نقاط xZ حد ندارد، پیوسته نیست و مشتق پذیر نیست. 

تابع با ضابطه fx=x در نقاط xR-Z حد دارد، پیوسته است و مشتق پذیر بوده و مشتق آن صفر است.

تابع با ضابطه fx=xn+1x و nN در نقطه x=0 مشتق پذیر است.

تابع با ضابطه fx=x-a فقط در x=a مشتق پذیر نیست.

تابع با ضابطه fx=x-anx-a و nN در R مشتق پذیر است.

تابع با ضابطه fx=xaxb2xc3 فقط در x=a مشتق پذیر نیست.

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق پذیری در یک نقطه

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید