سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

مقدمه‌ ای بر تعریف بخش‌ پذیری

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر.

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم.

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

مقدمه

چند جمله‌ ای های زیر را در نظر بگیرید:

$\{\begin{cases} p (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} + 1 \\ g (x) = x^{2} - 1 \end{cases}$

می‌خواهیم چند جمله ای $p (x)$ را بر $g (x)$ تقسیم کنیم:

عبارت زیر را مقسوم می‌گوییم:

$p (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} + 1$

عبارت فوق از درجه چهارم است و به‌صورت $p_{_{4}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را مقسوم‌‌علیه می‌گوییم:

$g (x) = x^{2} - 1$

عبارت فوق از درجه دوم است و به‌صورت $g_{_{2}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را خارج‌ قسمت می‌گوییم:

$q (x) = 4 x^{2} + 2 x + 4$

عبارت فوق از درجه دوم است و به‌صورت $q_{_{2}} (x)$ نشان می‌دهیم.

عبارت زیر را باقیمانده می‌گوییم:

$R (x) = 2 x^{1} + 5$

عبارت فوق از درجه اول است و به‌صورت $R_{_{1}} (x)$ نشان می‌دهیم.

رابطه تقسیم را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$\underset{p_{_{4}} (x)}{\underset{⏟}{4 x^{4} + 2 x^{3} + 1}} = \underset{g_{_{2}} (x)}{\underset{⏟}{(x^{2} - 1)}} \underset{q_{_{2}} (x)}{\underset{⏟}{(4 x^{2} + 2 x + 4)}} + \underset{R_{_{1}} (x)}{\underset{⏟}{(2 x + 5)}}$

تعریف

هرگاه باقیمانده تقسیم چند جمله‌ ای زیر:

$p_{n} (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$

بر چند جمله‌ ای زیر:

$g_{m} (x) = b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m - 1} + \cdot \cdot \cdot + b_{m}$

را به $R_{m - 1} (x)$ و خارج قسمت این تقسیم را به $q_{n - m} (x)$ نمایش دهیم، خواهیم داشت:

$\begin{array}{l} p_{_{n}} (x) g_{_{m}} (x) \\ ⋮ q_{_{n - m}} (x) \\ \bar{\begin{array}{l} R_{m - 1} (x) \end{array}} \end{array}$

$p_{_{n}} (x) = g_{_{m}} (x) . q_{_{n - m}} (x) + R_{m - 1} (x)$

در تقسیم فوق:

اندیس $n$ را درجه چند جمله ای $p (x)$ یا درجه مقسوم می‌نامیم.
اندیس $m$ را درجه چند جمله ای $g (x)$ یا درجه مقسوم علیه می‌نامیم.
اندیس $(n - m)$ را درجه چند جمله ای $q (x)$ یا درجه خارج قسمت می‌نامیم.
اندیس $(m - 1)$ را درجه چند جمله ای $R (x)$ یا درجه باقیمانده می‌نامیم.

نکته

اندیس‌های تساوی زیر، نشان دهنده درجه چند جمله‌ ای است:

$p_{n} (x) = g_{m} (x) . q_{n - m} (x) + R_{m - 1} (x)$

برای توضیح اندیس‌ منتخب خارج‌قسمت می‌توان گفت:

بزرگ‌ترین جمله توان‌دار در خارج قسمت تقسیم $p_{n} (x)$ و $g_{m} (x)$ عبارت است از:

$\frac{a_{0} x^{n}}{b_{0} x^{m}} = \frac{a_{0}}{b_{0}} x^{n - m}$

در واقع این جمله، درجه خارج قسمت را تعیین می‌کند، به‌همین علت درجه $q (x)$ برابر $n - m$ است.

برای توضیح اندیس‌ منتخب باقیمانده می‌توان گفت:

درجه انتخاب شده برای باقیمانده به این علت است که تقسیم مقسوم بر مقسوم علیه وقتی خاتمه می‌یابد که باقیمانده حداقل یک درجه از درجه مقسوم علیه کم‌تر باشد.

به‌همین دلیل درجه باقیمانده معمولا $m - 1$ است.

تمرین

در یک تقسیم در صورتی که درجه باقیمانده $4$ و درجه خارج‌قسمت $7$ باشد، درجه مقسوم را به دست آورید.

درجه باقیمانده $m - 1 = 4$ است.

درجه خارج‌ قسمت $n - m = 7$ است.

در دستگاه زیر داریم:

$\{\begin{array}{l} m - 1 = 4 \\ n - m = 7 \end{array}〉 \{\begin{cases} m = 5 \\ n = 12 \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بخش پذیری در چند جمله ای

مقدمه‌ ای بر تعریف بخش‌ پذیری

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟