بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:
بازدید: 74 مرتبه

مقدمه:

می‌خواهیم چند جمله‌ای px را بر دو جمله‌ای x-a تقسیم کنیم و باقیمانده حاصل از این تقسیم را به‌دست آوریم.

به تقسیم زیر توجه کنید:

px      xa                    qx              R¯

چون درجه مقسوم علیه m=1 است، درجه باقیمانده m-1=1-1=0 است یعنی باقیمانده یک عدد حقیقی مانند R است.

با توجه به px برای یافتن مقدار باقیمانده، کافی است ریشه مقسوم‌علیه را در مقسوم قرار دهیم:

px=xaqx+Rxa=0x=apa=aaqa+Rpa=R

تمرین

باقیمانده تقسیم چند جمله‌ای زیر را بر دو جمله‌ای x+1 را به‌دست آورید.

px=2x33x2+x+2

x+1=0x=1R=p1R=213312+1+2R=4

یادآوری

شرط بخش‌پذیری px بر x-a این است که باقیمانده صفر شود، یعنی: 

pa=R=0

تمرین

با استفاده از تعریف فوق، عبارت 3x25x+2 بر x-1 بخش پذیر است:

بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو

x1=0x=1p1=R31251+2=RR=0


px=3x25x+2 بر x-1 بخش‌پذیر است.

مقادیر a و b را طوری پیدا می‌کنیم که چند جمله‌ای زیر بر دو جمله‌ای x+2 بخش پذیر بوده و باقیمانده آن بر x-1 برابر 4 باشد.

px=x3+ax2+x+b

px=x3+ax2+x+b


باقیمانده تقسیم px بر x-1 برابر 4 می‌باشد: 

x1=0x=1p1=413+a12+1+b=41+a+1+b=4a+b=2


px بر x+2 بخش‌پذیر است:

x+2=0x=2p2=023+a22+2+b=08+4a2+b=04a+b=10


با حل دستگاه زیر، مقادیر a و b محاسبه می‌شوند: 

a+b=24a+b=10a=83b=23

مقدار a طوری پیدا ‌کنید که یک جواب معادله زیر برابر 2 باشد، سپس جواب‌های دیگر معادله را به‌دست ‌آورید. 

x32x2+ax+2=0

اگر x=2 جواب معادله باشد، پس در معادله صادق است:

x=2x32x2+ax+2=023222+a2+2=0a=1


اگر a=-1 باشد، در معادله زیر داریم:

x32x2+ax+2=0x32x2+1x+2=0x32x2x+2=0x32x2x2=0x2x2x2=0x2x21=0x2=0x=2x21=0x2=1x=±1

یادآوری

فرض کنیم px و a متعلق به دستگاه اعداد حقیقی  باشد، در این صورت باقیمانده px بر x-a برابر است با pa : 

الف) x-a یک فاکتور px است، اگر و فقط اگر pa=0

ب) x=a یک ریشه px=0 است، اگر و فقط اگر xapx.  

بنابراین اگر x=a یک ریشه px باشد، چند جمله qx وجود به طوری که px=xaqx.

تمرین

نشان دهید عبارت x-2 یک فاکتور یا عاملی برای چند جمله‌ای زیر است.

fx=x3  +   2x25x6

سپس معادله fx=0 را حل کنید: 

بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو

fx=x3+2x25x6fx=x2x2+4x+3


x-2 یک فاکتور برای fx است. به حل معادله fx=0 می‌پردازیم:

fx=0x2x2+4x+3=0x2=0x=2x2+4x+3=0x=1x=3

تذکر

برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم چند جمله‌‌ای px بر چند جمله‌‌ای ax+b، داریم:  

px    ax+b                 qx              R¯

ax+b=0ax=bx=bapx=ax+b  qx+Rpba=aba+b  qba+R    ;    x=bapba=b+b  qba+Rpba=R

بنابراین برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم px بر ax+b کافی است ریشه‌ مقسوم‌علیه را در مقسوم قرار دهیم.

تمرین

باقیمانده تقسیم px=4x32x+1 بر 2x-1 را تعیین می‌کنیم:

2x1=02x=1x=12R=p12R=4123212+1R=481+1R=12

مقدار m را طوری پیدا می‌کنیم که چند جمله‌ای px=x3mx2x+4 بر 2x+1 بخش پذیر باشد:

2x+1=02x=1x=12p12=0123m12212+4=018m4+12+4=0m=352

دریافت مثال

نکته

برای طرح این نکته به نمونه‌ای از حل یک معادله درجه دوم می‌پردازیم:

3x2+5x+2=0x1=1   ,  x2=233x2+5x+2=03x2+5x=2x3x+5=2                                   if    x1=1z131+5=2

یعنی ریشه درست x1=-1 مقسوم‌علیهی از عدد ثابت -2 است.

if   x2=23Q23323+5=2

x2=-23 ریشه معادله درجه دوم به‌صورت گویاست که صورت آن مقسوم‌علیهی از -2 و مخرج آن مقسوم علیهی از ضریب x2 است.

تعریف: 

معادله زیر را که همه ضرایب عددی آن درست هستند را در نظر می‌گیریم:  

axn+bxn1++px+q=0

فرض می‌کنیم x0 یکی از ریشه‌های درست آن باشد، یعنی عدد درست x0 در معادله فوق صدق کند، در این صورت باید داشته باشیم:

x0ax0n1+bx0n2++p=q

چون دو طرف برابری، عددهای درستی هستند، بنابراین q بر x0 بخش‌پذیر است، به این ترتیب قوانین زیر به‌دست می‌آید: 

  • اگر معادله دارای ریشه درستی باشد، این ریشه مقسوم‌علیهی از عدد ثابت q است.
  • اگر معادله ریشه گویا داشته باشد این ریشه به صورت کسری است که صورت آن مقسوم‌علیهی از q و مخرج آن مقسوم علیهی از a (ضریب بزرگ‌ترین درجه) است.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

3x520x3+18x27x+6=0

اگر اين معادله ريشه های درست داشته باشد، اين ريشه ها، مقسوم عليه هايی از عدد 6 هستند، مقسوم عليه های عدد 6 به‌صورت زیر است:


±1,±  2  ,±3  ,±6


آزمايش مستقيم نشان می‌دهد كه اگر چند جمله ای درجه پنجم سمت چپ معادله را px بناميم، داريم:

p1=0   ,  p2=0   ,p3=0


بنابراين px بر x+3  ,  x2  ,  x1 در نتيجه بر حاصل ضرب آنها بخش پذير است و معادله به صورت زیر در می‌آيد:

x1x2x+33x2+1=0


ريشه های حقيقی آن، همان عددهای 1,2,-3   هستند.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

بخش‌پذیری چند جمله‌ای بر دو جمله‌ای

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید