سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 22 آبان 1405

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تقسیم $p (x)$ بر $(x - a)$

می‌خواهیم چند جمله‌ ای $p (x)$ را بر دو جمله‌ای $(x - a)$ تقسیم کنیم و باقیمانده حاصل از این تقسیم را به‌دست آوریم.

به تقسیم زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} p (x) (x - a) \\ ⋮ q (x) \\ \bar{\begin{array}{l} R \end{array}} \end{array}$

چون درجه مقسوم علیه $m = 1$ است، درجه باقیمانده، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$m - 1 = 1 - 1 = 0$

یعنی باقیمانده یک عدد حقیقی مانند $R$ است.

با توجه به $p (x)$ برای یافتن مقدار باقیمانده، کافی است ریشه مقسوم‌علیه را در مقسوم قرار دهیم:

$\{\begin{array}{l} p (x) = (x - a) q (x) + R \\ x - a = 0 \Rightarrow x = a \end{array}〉 p (a) = (a - a) q (a) + R \Rightarrow p (a) = R$

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x + 2$

باقیمانده تقسیم چند جمله‌ ای فوق را بر دو جمله‌ای $x + 1$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ R = p (- 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + (- 1) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = - 4 \end{array}$

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = x^{7} - 3 x^{5} + x^{2} - 1$

باقیمانده تقسیم چند جمله‌ای زیر را بر دو جمله‌ای $x + 1$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ R = p (- 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = {(- 1)}^{7} - 3 {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{2} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 2 \end{array}$

تمرین

چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

$P (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

اگر باقيمانده تقسيم چندجمله ای فوق بر $(x - a)$ برابر $(26)$ باشد.

$a$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} x - a = 0 \Rightarrow x = a \\ R = P (a) \\ \Rightarrow 26 = {(a)}^{3} + 3 {(a)}^{2} + 3 (a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{3} + 3 a^{2} + 3 a = 26 \\ \Rightarrow a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1 = 26 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a + 1)}^{3} = 27 \\ \Rightarrow {(a + 1)}^{3} = 3^{3} \\ \Rightarrow a + 1 = 3 \\ \Rightarrow a = 2 \end{array}$

تمرین

فرض کنیم باقيمانده $p (x)$ بر $x - 1$ برابر $2$ باشد.

باقيمانده $p (x^{3})$ بر $x - 1$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} p (x) = (x - 1) g (x) + 2 \\ \Rightarrow p (x^{3}) = (x^{3} - 1) g (x^{3}) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x^{3}) = (x - 1) (x^{2} + x + 1) g (x^{3}) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 2 \end{array}$

تمرین

باقيمانده $p (x)$ بر $x^{3} - 3 x + 2$ برابر است با عبارت زیر:

$x^{2} + 4 x + 4$

مقدار $p (- 2)$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} p (x) = (x^{3} - 3 x + 2) g (x) + (x^{2} + 4 x + 4); x = - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (- 2) = [{(- 2)}^{3} - 3 (- 2) + 2] g (- 2) + [{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 4] \end{array}$

$\Rightarrow p (- 2) = 0$

یادآوری

شرط بخش‌ پذیری $p (x)$ بر $(x - a)$ این است که باقیمانده صفر شود، یعنی:

$p (a) = R = 0$

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$

نشان دهید $p (x)$ بر $x - 1$ بخش پذیر است.

$\{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ p (1) = R \Rightarrow 3 {(1)}^{2} - 5 (1) + 2 = R \Rightarrow R = 0 \end{cases}$

$p (x)$ بر $x - 1$ بخش‌پذیر است.

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = x^{3} + a x^{2} + x + b$

چند جمله‌ای فوق بر دو جمله‌ای $x + 2$ بخش پذیر است.

همچنین باقیمانده $p (x)$ بر $x - 1$ برابر $4$ می‌باشد.

مقادیر $a$ و $b$ را پیدا کنید.

باقیمانده تقسیم $p (x)$ بر $x - 1$ برابر $4$ می‌باشد:

$\begin{array}{l} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ p (1) = 4 \\ \Rightarrow {(1)}^{3} + a {(1)}^{2} + (1) + b = 4 \\ \Rightarrow 1 + a + 1 + b = 4 \\ \Rightarrow a + b = 2 \end{array}$

$p (x)$ بر $x + 2$ بخش‌پذیر است:

$\begin{array}{l} x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \\ p (- 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} + (- 2) + b = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 8 + 4 a - 2 + b = 0 \\ \Rightarrow 4 a + b = 10 \end{array}$

با حل دستگاه زیر، مقادیر $a$ و $b$ محاسبه می‌شوند:

$\{\begin{cases} a + b = 2 \\ 4 a + b = 10 \end{cases}〉 \{\begin{cases} a = \frac{8}{3} \\ b = - \frac{2}{3} \end{cases}$

تمرین

اگر یک جواب معادله زیر برابر $2$ باشد:

$x^{3} - 2 x^{2} + a x + 2 = 0$

مقدار $a$ طوری پیدا ‌کنید.

اگر $x = 2$ جواب معادله باشد، پس در معادله صادق است:

$\{\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{3} - 2 x^{2} + a x + 2 = 0 \end{array}〉 {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + a (2) + 2 = 0 \Rightarrow a = - 1$

جواب‌ های دیگر معادله را به‌دست ‌آورید.

اگر $a = - 1$ باشد، در معادله زیر داریم:

$\begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} + a x + 2 = 0 \\ \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} + (- 1) x + 2 = 0 \\ \Rightarrow x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0 \\ \Rightarrow (x^{3} - 2 x^{2}) - (x - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} (x - 2) - (x - 2) = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{cases} \end{array}$

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

$P (x) = 4 x^{3} + m x^{2} - 3 x + 6$

اگر $P (x)$ بر $x - 2$ بخش پذير باشد، آن‌گاه:

$m$ را به‌دست آورید.

$P (x)$ بر $x - 2$ بخش پذير است:

$\begin{array}{l} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ P (2) = 0 \\ \Rightarrow 4 {(2)}^{3} + m {(2)}^{2} - 3 (2) + 6 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 32 + 4 m - 6 + 6 = 0 \\ \Rightarrow 32 + 4 m = 0 \\ \Rightarrow m = - 8 \end{array}$

تمرین

در عبارت زیر:

$p (x) = (x - a) (x - b) + k$

برای آن‌كه $p (x)$ بر $x - a - b$ بخش پذير باشد:

مقدار $k$ را به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} P (x) = (x - a) (x - b) + k \Rightarrow P (x) = x^{2} - (a + b) x + a b + k \end{array}$

$\begin{array}{l} x - a - b = 0 \Rightarrow x = a + b \\ P (a + b) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a + b)}^{2} - (a + b) (a + b) + a b + k = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a b + k = 0 \\ \Rightarrow k = - a b \end{array}$

تمرین

$a, b$ عددهای صحيحِ مثبت و $p$ عددی اول است.

اگر $a^{p} - b^{p}$ بر $p$ بخش پذیر باشد، ثابت کنید:

$a^{p} - b^{p}$ بر $p^{2}$ بخش پذیر است.

طبق قضيه فرما $\{\begin{cases} a^{p} - a \\ b^{p} - b \end{cases}$ بر $p$ قابل قسمت هستند.

بنابراين تفاضل آنها يعنی عبارت زیر هم بر $p$ بخش پذیر است:

$a^{p} - b^{p} - (a - b)$

از طرف ديگر طبق فرض $a^{p} - b^{p}$ مضربی از $p$ است.

پس $a - b$ هم بر $p$ بخش پذیر خواهد بود.

فرض می‌كنيم:

$a - b = p t$

در اين صورت داريم:

$\begin{array}{l} a^{p} - b^{p} \\ = {(b + p t)}^{p} - b^{p} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [b^{p} + p \cdot b^{p - 1} p t + \frac{p (p - 1)}{2} b^{p - 2} p^{2} t^{2} + \dots + p^{p} t^{p}] - b^{p} \end{array}$

$\begin{array}{l} = p \cdot b^{p - 1} p t + \frac{p (p - 1)}{2} b^{p - 2} p^{2} t^{2} + \cdot \cdot \cdot + p^{p} t^{p} \end{array}$

$= p^{2} [b^{p - 1} \cdot t + \frac{p (p - 1)}{2} b^{p - 2} t^{2} + \cdot \cdot \cdot + p^{p - 2} t^{p}]$

تمرین

$k$ عددی صحيح و غير قابل قسمت بر $3$ می‌باشد.

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

${(a + b)}^{2 k} + a^{2 k} + b^{2 k}$

ثابت ‌كنيد عبارت فوق بر عبارت $a^{2} + a b + b^{2}$ قابل قسمت است.

فرض كنيد $α$ مخالف واحد و يكی از ريشه های معادله $x^{3} = 1$ باشد.

تابع زير را در نظر می‌گيريم:

$f (x) = {(1 + x)}^{2 k} + x^{2 k} + 1$

به‌روشنی ديده می‌شود كه:

$\begin{array}{l} i f x^{3} = 1 \\ \Rightarrow x^{3} - 1 = 0 \\ \Rightarrow (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0 \\ \Rightarrow (x^{2} + x + 1) = 0 \\ \Rightarrow x + 1 = - x^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (α) = {(1 + α)}^{2 k} + α^{2 k} + 1 \\ \Rightarrow f (α) = {(- α^{2})}^{2 k} + α^{2 k} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (α) = {(α^{3})}^{k} \cdot α^{k} + α^{2 k} + 1; α^{3} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (α) = α^{2 k} + α^{k} + 1 \\ \Rightarrow f (α) = \frac{{(α^{3})}^{k} - 1}{α^{k} - 1}; α^{3} = 1 \\ \Rightarrow f (α) = 0 \end{array}$

و به‌همين ترتيب داریم:

$f (α^{2}) = {(1 + α^{2})}^{2 k} + α^{4 k} + 1 = α^{4 k} + α^{2 k} + 1 = α^{2 k} + α^{k} + 1 = 0$

بنابراين عبارت زیر بر $a^{2} + a b + b^{2}$ قابل قسمت است:

${(a + b)}^{2 k} + a^{2 k} + b^{2 k}$

تمرین

چند جمله ای زیر مفروض است:

$p (x) = x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 1$

اگر $p (x)$ بر $x + a$ بخش پذير باشد.

مقدار $a$ را تعيين كنيد.

اگر $p (x)$ بر $x + a$ بخش پذير است:

$\begin{array}{l} x + a = 0 \Rightarrow x = - a \\ R = p (- a) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (- a) = {(- a)}^{4} + a {(- a)}^{3} + 3 {(- a)}^{2} + 4 (- a) + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{4} - a^{4} + 3 a^{2} - 4 a + 1 = 0 \\ \Rightarrow 3 a^{2} - 4 a + 1 = 0 \\ \Rightarrow a = 1, a = \frac{1}{3} \end{array}$

تمرین

چند جمله ای زیر بر $x - 1$ بخش پذير است.

$P (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + 2 x + c$

باقيمانده تقسیم $P (x)$ بر $x - 2$ برابر $- 3$ است.

همچنین باقيمانده تقسیم $P (x)$ بر $x + 1$ برابر $2$ است.

نشان دهید $- a + b + c = 3$ می‌باشد.

$P (x)$ بر $x - 1$ بخش پذير است:

$\begin{array}{l} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ P (1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(1)}^{4} + a {(1)}^{3} + b {(1)}^{2} + 2 (1) + c = 0 \end{array}$

$\Rightarrow a + b + c = - 3; (Ι)$

باقيمانده تقسیم $P (x)$ بر $x - 2$ برابر $- 3$ است:

$\begin{array}{l} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ P (2) = - 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2)}^{4} + a {(2)}^{3} + b {(2)}^{2} + 2 (2) + c = - 3 \end{array}$

$\Rightarrow 8 a + 4 b + c = - 23; (Ι Ι)$

باقيمانده تقسیم $P (x)$ بر $x + 1$ برابر $2$ است:

$\begin{array}{l} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ P (- 1) = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 1)}^{4} + a {(- 1)}^{3} + b {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + c = 2 \end{array}$

$\Rightarrow - a + b + c = 3; (Ι Ι Ι)$

$\{\begin{cases} a + b + c = - 3 \\ - a + b + c = 3 \\ 8 a + 4 b + c = - 23 \end{cases}$

تمرین

عبارت زیر را بر ${(x - 1)}^{2}$ تقسیم می‌کنیم:

$p (x) = m x^{m + 1} - (m + 1) x^{m} + 1$

خارج قسمت حاصل از تقسيم را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} p (x) = (m x^{m + 1} - m x^{m}) - (x^{m} - 1); m \in N \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x) = m x^{m} (x - 1) - [(x - 1) (x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + \cdot \cdot \cdot + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x) = (x - 1) [m x^{m} - (x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + \cdot \cdot \cdot + 1)] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x) = (x - 1) [(x^{m} - x^{m - 1}) + (x^{m} - x^{m - 2}) + (x^{m} - x^{m - 3}) + \cdot \cdot \cdot + (x^{m} - 1)] \end{array}$

$\Rightarrow p (x) = (x - 1) [x^{m - 1} (x - 1) + x^{m - 2} (x^{2} - 1) + x^{m - 3} (x^{3} - 1) + \cdot \cdot \cdot + (x^{m} - 1)]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x) = (x - 1) [x^{m - 1} (x - 1) + x^{m - 2} (x - 1) (x + 1) + x^{m - 3} (x - 1) (x^{2} + x + 1) + \cdot \cdot \cdot + (x - 1) (x^{m - 1} + x^{m - 2} + \cdot \cdot \cdot + 1)] \end{array}$

$\Rightarrow p (x) = (x - 1) (x - 1) [x^{m - 1} + x^{m - 2} (x + 1) + x^{m - 3} (x^{2} + x + 1) + \cdot \cdot \cdot + (x^{m - 1} + x^{m - 2} + \cdot \cdot \cdot + 1)]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x) = {(x - 1)}^{2} [x^{m - 1} + (x^{m - 1} + x^{m - 2}) + (x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3}) + \cdot \cdot \cdot + (x^{m - 1} + x^{m - 2} + \cdot \cdot \cdot + 1)] \end{array}$

$\Rightarrow p (x) = {(x - 1)}^{2} . \underset{q (x)}{\underset{⏟}{[m x^{m - 1} + (m - 1) x^{m - 2} + (m - 2) x^{m - 3} + \cdot \cdot \cdot + 1]}}$

خارج قسمت، عبارت است از:

$q (x) = m x^{m - 1} + (m - 1) x^{m - 2} + (m - 2) x^{m - 3} + \cdot \cdot \cdot + 1$

تمرین

عبارت زیر بر $x - 2$ قابل قسمت می‌باشد.

$f (x) = (a - 1) x^{n} - 2 a x^{n - 1} + 8$

مقدار $n$ را به‌دست آورید.

$f (x)$ بر $x - 2$ قابل قسمت است:

$\begin{array}{l} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ f (2) = 0 \\ \Rightarrow (a - 1) 2^{n} - 2 a \times 2^{n - 1} + 8 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a - 1) 2^{n} - a \times 2^{n} + 8 = 0 \\ \Rightarrow - 2^{n} + 8 = 0 \\ \Rightarrow 2^{n} = 8 \\ \Rightarrow n = 3 \end{array}$

خارج قسمت را محاسبه كنيد.

$\begin{array}{l} f (x) = (a - 1) x^{3} - 2 a x^{2} + 8; n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = a x^{3} - x^{3} - 2 a x^{2} + 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = (a x^{3} - 2 a x^{2}) - (x^{3} - 8) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = a x^{2} (x - 2) - (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = (x - 2) (a x^{2} - x^{2} - 2 x - 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = (x - 2) [(a - 1) x^{2} - 2 x - 4] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = (x - 2) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{[(a - 1) x^{2} - 2 x - 4]}} \end{array}$

خارج قسمت برابر است با:

$Q (x) = (a - 1) x^{2} - 2 x - 4$

تمرین

عبارت $f (x)$ از درجه سوم و دارای خصوصیات زیر می‌باشد:

1- مجموع ضريب های آن مساوی $2$ است.

2- $f (x)$ بر $x + 1$ قابل قسمت است.

3- در تقسیم بر $x^{2} + 1$ باقیمانده ای مساوی $1 - x$ دارد.

عبارت $f (x)$ را بیابید.

فرم کلی هر عبارت درجه سوم به‌‌صورت زیر است:

$\begin{array}{l} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ 1) a + b + c + d = 2 \\ 2) f (- 1) = - a + b - c + d = 0 \end{array}$

باقیمانده $f (x)$ بر $x^{2} + 1$ مساوی $1 - x$ است:

$\begin{array}{l} x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 \\ f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \\ \Rightarrow f (x) = a x (x^{2}) + b (x^{2}) + c x + d \end{array}$

$\begin{array}{l} f (- 1) = R \\ \Rightarrow a x (- 1) + b (- 1) + c x + d = 1 - x \\ \Rightarrow - a x - b + c x + d = 1 - x \\ \Rightarrow x (- a + c) + (d - b) = - x + 1 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} - a + c = - 1 \\ d - b = 1 \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} a + b + c + d = 2 \\ - a + b - c + d = 0 \\ d - b = 1 \\ a - c = 1 \end{cases}〉 a = 1, b = c = 0, d = 1$

$f (x) = x^{3} + 1$

یادآوری

فرض کنیم $p (x)$ و $a$ متعلق به دستگاه اعداد حقیقی $ℝ$ باشد، در این صورت باقیمانده $p (x)$ بر $(x - a)$ برابر است با $p (a)$ :

الف) $(x - a)$ یک فاکتور $p (x)$ است، اگر و فقط اگر:

$p (a) = 0$

ب) $x = a$ یک ریشه $p (x) = 0$ است، اگر و فقط اگر:

$x - a |p (x)$

بنابراین اگر $x = a$ یک ریشه $p (x)$ باشد، چند جمله $q (x)$ وجود به‌طوری‌که داشته باشیم:

$p (x) = (x - a) q (x)$

تمرین

عبارت چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

معادله $f (x) = 0$ را حل کنید.

$\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} + 4 x + 3) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} + 4 x + 3 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = - 3 \end{cases} \end{cases} \end{array}$

تمرین

با اتحادهای زیر سال های قبل آشنا هستید:

$x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a)$

$x^{3} - a^{3} = (x - a) (x^{2} + x a + a^{2})$

با استفاده از روش ضرایب نامعین ، اتحاد زیر را ثابت کنید:

$x^{4} - a^{4} = (x - a) (x^{3} + a x^{2} + a^{2} x + a^{3})$

خارج قسمت چند جمله ای $f (x) = x^{4} - a^{4}$ را بر $(x - a)$ به‌دست می‌آوریم:

$\{\begin{cases} x - a = 0 \Rightarrow x = a \\ f (a) = r (x) \Rightarrow {(a)}^{4} - a^{4} = r (x) \Rightarrow r (x) = 0 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x^{4} - a^{4} x - a \\ ⋮ q (x) \\ \bar{\begin{array}{l} r (x) = 0 \end{array}} \end{array}〉 \{\begin{cases} q (x) = b x^{3} + c x^{2} + d x + e \\ r (x) = 0 \end{cases}$

$q (x)$ خارج قسمت و از درجه سوم است:

$\begin{array}{l} x^{4} - a^{4} = (x - a) q (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - a^{4} = (x - a) (b x^{3} + c x^{2} + d x + e) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - a^{4} = b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x - a b x^{3} - a c x^{2} - a d x - a e \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - a^{4} = b x^{4} + x^{3} (c - a b) + x^{2} (d - a c) + x (e - a d) - a e \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ c - a b = 0 \Rightarrow c = a b \Rightarrow c = a (1) \Rightarrow c = a \\ d - a c = 0 \Rightarrow d = a c \Rightarrow d = a (a) \Rightarrow d = a^{2} \\ e - a d = 0 \Rightarrow e = a d \Rightarrow e = a (a^{2}) \Rightarrow e = a^{3} \\ - a e = - a^{4} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{4} - a^{4} = (x - a) (b x^{3} + c x^{2} + d x + e) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} - a^{4} = (x - a) [(1) x^{3} + (a) x^{2} + (a^{2}) x + (a^{3})] \end{array}$

تقسیم $p (x)$ بر $(a x + b)$

برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم چند جمله‌‌ای $p (x)$ بر چند جمله‌‌ ای $a x + b$ ، داریم:

\begin{array}{l} p (x) a x + b \\ ⋮ q (x) \\ \bar{\begin{array}{l} R \end{array}} \end{array}

مقسوم علیه را مساوی با صفر قرار می‌دهیم و ریشه آن را محاسبه می‌کنیم:

\begin{array}{l} a x + b = 0 \Rightarrow a x = - b \Rightarrow x = - \frac{b}{a} \end{array}

ریشه مقسوم علیه را در تساوی زیر قرار می‌دهیم:

\begin{array}{l} p (x) = (a x + b) q (x) + R; x = - \frac{b}{a} \end{array}

\begin{array}{l} \Rightarrow p (- \frac{b}{a}) = [a (- \frac{b}{a}) + b] q (- \frac{b}{a}) + R \end{array}

\begin{array}{l} \Rightarrow p (- \frac{b}{a}) = (- b + b) q (- \frac{b}{a}) + R \end{array}

\Rightarrow p (- \frac{b}{a}) = R

نکته

بنابراین برای یافتن باقیمانده‌ تقسیم $p (x)$ بر $(a x + b)$ کافی است ریشه‌ مقسوم‌ علیه را در مقسوم قرار دهیم.

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

باقیمانده تقسیم $p (x)$ بر $2 x - 1$ را تعیین کنید.

$\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \Rightarrow 2 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \\ R = p (\frac{1}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 2 (\frac{1}{2}) + 1 \\ \Rightarrow R = \frac{4}{8} - 1 + 1 \\ \Rightarrow R = \frac{1}{2} \end{array}$

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$p (x) = x^{3} - m x^{2} - x + 4$

مقدار $m$ را طوری پیدا کنید که چند جمله‌ ای $p (x)$ بر $2 x + 1$ بخش پذیر باشد.

$\begin{array}{l} 2 x + 1 = 0 \Rightarrow 2 x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} p (- \frac{1}{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- \frac{1}{2})}^{3} - m {(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) + 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - \frac{1}{8} - \frac{m}{4} + \frac{1}{2} + 4 = 0 \\ \Rightarrow m = \frac{35}{2} \end{array}$

تمرین

باقيمانده $p (x)$ بر $4 x - 1$ برابر $R$ می‌باشد.

باقيمانده $p (x)$ بر $x - \frac{1}{4}$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} 4 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \Rightarrow p (\frac{1}{4}) = R \end{array}$

$\begin{array}{l} x - \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \Rightarrow p (\frac{1}{4}) = ? \end{array}$

$\begin{matrix} p (\frac{1}{4}) = R \end{matrix}$

تمرین

باقيمانده $p (x)$ بر $x^{2} + 1$ برابر $4$ می‌باشد.

باقيمانده $p (x^{3})$ بر $(x^{4} - x^{2} + 1)$ چقدر است؟

$\begin{array}{l} p (x) = (x^{2} + 1) g (x) + 4 \\ \Rightarrow p (x^{3}) = (x^{6} + 1) g (x^{3}) + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x^{3}) = [(x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1)] g (x^{3}) + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow p (x^{3}) = (x^{4} - x^{2} + 1) [(x^{2} + 1) g (x^{3})] + 4 \end{array}$

$\Rightarrow R = 4$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

برای طرح این نکته به نمونه‌ای از حل یک معادله درجه دوم می‌پردازیم:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} + 5 x + 2 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} + 5 x + 2 = 0 \Rightarrow 3 x^{2} + 5 x = - 2 \Rightarrow x (3 x + 5) = - 2 \end{array}$

$i f x_{1} = - 1 \in z \Rightarrow (- 1) [3 (- 1) + 5] = - 2$

یعنی ریشه درست $x_{1} = - 1$ مقسوم‌علیهی از عدد ثابت $- 2$ است.

$i f x_{2} = \frac{- 2}{3} \in Q \Rightarrow (\frac{- 2}{3}) [3 (\frac{- 2}{3}) + 5] = - 2$

$x_{2} = - \frac{2}{3}$ ریشه معادله درجه دوم به‌صورت گویاست که صورت آن مقسوم‌علیهی از $(- 2)$ و مخرج آن مقسوم علیهی از ضریب $x^{2}$ است.

حل معادلات با ضرایب عددی درست

معادله زیر را که همه ضرایب عددی آن درست هستند را در نظر می‌گیریم:

$a x^{n} + b x^{n - 1} + \dots + p x + q = 0$

فرض می‌کنیم $x_{0}$ یکی از ریشه‌های درست آن باشد، یعنی عدد درست $x_{0}$ در معادله فوق صدق کند، در این صورت باید داشته باشیم:

$x_{0} (a x_{0}^{n - 1} + b x_{0}^{n - 2} + \dots + p) = - q$

چون دو طرف برابری، عددهای درستی هستند، بنابراین $q$ بر $x_{0}$ بخش‌پذیر است، به این ترتیب قوانین زیر به‌دست می‌آید:

اگر معادله دارای ریشه درستی باشد، این ریشه مقسوم‌علیهی از عدد ثابت $q$ است.
اگر معادله ریشه گویا داشته باشد این ریشه به صورت کسری است که صورت آن مقسوم‌علیهی از $q$ و مخرج آن مقسوم علیهی از $a$ (ضریب بزرگ‌ترین درجه) است.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$3 x^{5} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 7 x + 6 = 0$

اگر اين معادله ريشه های درست داشته باشد، اين ريشه ها، مقسوم عليه هايی از عدد $6$ هستند، مقسوم عليه های عدد $6$ به‌صورت زیر است:

$\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$

آزمايش مستقيم نشان می‌دهد كه اگر چند جمله ای درجه پنجم سمت چپ معادله را $p (x)$ بناميم، داريم:

$p (1) = 0, p (2) = 0, p (- 3) = 0$

بنابراين $p (x)$ بر $x + 3, x - 2, x - 1$ در نتيجه بر حاصل ضرب آنها بخش پذير است و معادله به صورت زیر در می‌آيد:

$(x - 1) (x - 2) (x + 3) (3 x^{2} + 1) = 0$

ريشه های حقيقی آن، همان عددهای $1, 2, - 3$ هستند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

کنکور تجربی اردیبهشت 1404

چند جمله‌ای زیر بر $x + 2$ بخش پذیر است:

$f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + a x + 5$

مقدار $a$ کدام است؟

$- 1.5$
$1.5$
$- 2.5$
$2.5$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

بخش‌پذیری چند جمله‌ای بر دو جمله‌ای

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بخش پذیری در چند جمله ای

بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

تقسیم $p (x)$ بر $(x - a)$

تقسیم $p (x)$ بر $(a x + b)$

حل معادلات با ضرایب عددی درست

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

بخش پذیری در چند جمله ای

بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

تقسیم px بر x-a

تقسیم px بر ax+b

حل معادلات با ضرایب عددی درست

تست‌های این مبحث

تقسیم $p (x)$ بر $(x - a)$

تقسیم $p (x)$ بر $(a x + b)$