سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

تعریف همسایگی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

همسایگی یک نقطه، یکی از مفاهیم اساسی است که در حد و به طور کلی در حساب دیفرانسیل به کار می‌رود. این مفهوم را در زیر تعریف می‌کنیم.

تعریف همسایگی

اگر a عددی حقیقی باشد، هر بازه باز شامل a را یک همسایگی a می‌نامیم. بنابراین اگر ac,d باشد، آنگاه بازه باز c,d یک همسایگی a است.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو 

همسایگی متقارن

اگر a عددی حقیقی و وسط بازه باز c,d باشد، آنگاه c,d را همسایگی متقارن می‌نامیم. عدد a وسط c,d است.   

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

بنابراین اگر α>0 باشد، آنگاه بازه باز aα  ,  a+α را یک همسایگی متقارن a می‌نامیم.

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

مثلا 2,4 یک همسایگی متقارن 3 و 1n,1n یک همسایگی متقارن 0 است.

مرکز و شعاع همسایگی

در همسایگی متقارن aα  ,  a+α از a ، عدد a را مرکز همسایگی و α را شعاع همسایگی می‌نامیم و این همسایگی را با Na,α نشان می‌دهیم. 

نکته

فرض کنیم x عددی حقیقی متعلق به یک همسایگی متقارن a باشد، در این صورت روابط زیر معادل هستند: 

xN  a,αaα<x<a+αα<xa<αxa<α


یعنی شرط لازم و کافی برای آن‌که x متعلق به یک همسایگی متقارن به مرکز a و شعاع α باشد، آن است که فاصله x تا a کمتر از α باشد، یعنی:

aα  ,  a+α=xxa<α  ,  xR

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

اگر بازه x1  ,  2x+3 یک همسایگی 2 باشد، مجموعه مقادیر x را به دست می‌آوریم:

x1<2x<32x+3>22x>1x>1212<x<3

دریافت مثال

تعریف همسایگی محذوف 

هرگاه a متعلق به یک همسایگی a نباشد، همسایگی را محذوف یا بدون مرکز می‌نامند.

بنابراین Na,αa یک همسایگی محذوف متقارن a است و عدد a را مرکز همسایگی و α را شعاع همسایگی می‌نامیم و به‌صورت Na,α نشان می‌دهند:

xNa,α  ,  α>0xNa,αaxaα  ,  a+αaaα<x<a+α    ;    xaα<xa<α0<xa<α     ;    xR

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، در همسایگی محذوف 2 مقدار  limx2fx بدست آورید.

fx=3x1    ;    x>2x+3    ;    x<2

تابع f در نقطه x=2 تعریف نشده است و f2 قابل محاسبه نیست.


نمودار f را رسم می‌کنیم:


تعریف همسایگی - پیمان گردلو 


جدول مقادیر f در همسایگی محذوف 2 را می‌نویسیم:


تعریف همسایگی - پیمان گردلو


با توجه به نمودار و جدول فوق، مشاهده می‌کنیم که:

limx2fx=5

همسایگی چپ و راست

اگر α>0 باشد، هر فاصله aα,a را یک همسایگی چپ a و هر فاصله aα,a را یک همسایگی محذوف چپ a گویند. 

L=aα,a

xaα,aaα<xaα<xa0

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

La=aα,a

xaα,aaα<x<aα<xa<0

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

اگر α>0 باشد، هر فاصله a,a+α را یک همسایگی راست a و هر فاصله a,a+α را یک همسایگی محذوف راست a گویند. 

R=a,a+α

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

Ra=a,a+α

تعریف همسایگی - پیمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه fx=1x2x را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:

1x20x211x1x0Df=1,10  =1,00,1


2- دامنه تابع شامل همسایگی محذوف نقطه صفراست.


3- این تابع در همسایگی 0/9 تعریف شده است زیرا 0/9Df.


4- تابع f در همسایگی چپ x=1 تعریف شده است.


5- تابع f در همسایگی راست x=1 تعریف نشده است. اعداد بزرگ‌تر از 1 در دامنه تابع نیست.

تمرین

تابع با ضابطه y=9x2xx را در نظر می‌گیریم:

1- دامنه تابع را به دست می‌آوریم:

9x20x29x33x3xx=0x=xxDf=3,3x      x=3,32,1,0,1,2


2- این تابع در همسایگی نقاطی که متعلق به دامنه تابع می‌باشد، تعریف شده است:

Df=3,32,1,0,1,2


3- تابع در اطراف نقاط 2,1,0,1,2 تعریف شده اما در خود این اعداد تعریف نشده است، زیر دامنه‌ تعریف آن یک همسایگی محذوف را در این نقاط در بر دارد.


4- این تابع در همسایگی چپ نقطه x=3 تعریف شده است.


5- همسایگی راست برای x=3 وجود ندارد، زیرا مقادیر بیش‌تر از 3 در دامنه موجود نیست.


6- این تابع در همسایگی راست نقطه x=-3 تعریف شده است.


7- همسایگی چپ برای x=-3 وجود ندارد، زیرا مقادیر کم‌تر از -3 در دامنه موجود نیست.  

مثال‌ها و جواب‌ها

تعریف همسایگی

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید