سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

مقدمه‌ ای از مفهوم حد

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

در ابتدا با تمرین ‌هایی سعی می‌کنیم مفهوم حد را به طور شهودی تا اندازه‌ای روشن کنیم و سپس تعریف دقیق آن را بیان می‌کنیم.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x+1 را در نظر بگیرید. با توجه به جدول زیر:

مفهوم حد - پیمان گردلو

حدس بزنید که اگر مقدارهای x را به عدد 1 نزدیک کنیم، مقدارهای fx به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

همان‌طور که در جدول فوق مشاهده می‌کنید:

اگر مقدارهای x را به عدد 1 نزدیک کنیم یعنی x1، مقدارهای fx به عدد 2 نزدیک می‌شوند یعنی fx2.   

با رسم نمودار تابع فوق، این مطلب را نمایش دهید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

از روی شکل فوق مشخص است که وقتی مقدارهای x چه از سمت راست و چه از سمت چپ به عدد 1 نزدیک می‌شوند، مقدارهای fx به عدد 2 نزدیک می‌شوند.   

اگر تابع در x=1 تعریف نشده باشد، مطلب فوق را بررسی کنید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

وقتی مقدارهای x چه از سمت راست و چه از سمت چپ به عدد 1 نزدیک می‌شوند، این بدان معنی است که x1 است و همان‌طور که مشاهده می‌شود، تابع اصلا در نقطه مورد نظر تعریف نشده است، اما با این حال تابع  fx به عدد 2 نزدیک می‌شود.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x2+2 را در نظر بگیرید.

نمودار تابع را رسم کنید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

حدس بزنید که اگر مقدارهای x را به عدد 1 نزدیک کنیم، مقدارهای fx به چه عددی نزدیک می‌شوند؟

اگر بخواهیم رفتار این تابع را وقتی x به عدد 1 نزدیک می‌شود یعنی x1 بررسی کنیم، به تجربه مشاهده می‌کنیم که  fx به عدد 3 نزدیک می‌شود.

سوال مهمی که مطرح می‌شود آن است که آیا مجاز هستیم با قرار دادن x=1 در تابع فوق، به عدد 3 برسیم؟

مسلما جواب منفی است، زیرا x صرفا به عدد 1 نزدیک می‌شود اما هرگز برابر 1 نخواهد بود، حتی ممکن است تابعی اصلا در نقطه مورد نظر تعریف نشده باشد. 

تمرین

در شکل زیر، شعاع دایره ها، برابر واحد است:

مفهوم حد - پیمان گردلو

با افزایش اضلاع چند ضلعی های محاط در دایره، مساحت چند ضلعی به مساحت کدام شکل نزدیک می‌شود؟

با افزایش اضلاع چند ضلعی های محاط در دایره، مساحت چند ضلعی به مساحت دایره نزدیک می‌شود و مساحت دایره ای به شعاع واحد برابر است با:

A=πr2=π(1)2=π

اگر مقدار تقریبی عدد π تا پنج رقم اعشار برابر π=3/14159 در نظر بگیریم و مساحت n ضلعی منتظم واقع در درون دایره را با An نشان دهیم، در جدولی  مقادیر An را به ازای برخی n نشان دهید.  

مفهوم حد - پیمان گردلو


با توجه به این جدول، هر چه تعداد اضلاع چند ضلعی‌ های داخل دایره زیاد می‌شود، جملات دنباله An مساحت درون دایره به عدد π که برابر با مساحت دایره است، نزدیک می‌شوند.


مساحت چند ضلعی های منتظم درون دایره محاطی را به هر اندازه که بخواهیم، می‌توانیم به مساحت دایره نزدیک کنیم، به شرط آن‌که تعداد اضلاع را به اندازه کافی زیاد کنیم.  

تمرین

مثلث متساوی الاضلاع به طول ضلع 2 را در نظر بگیرید.

مفهوم حد - پیمان گردلو 

اندازه محیط این مثلث چقدر است؟

P=2+2+2=6

وسط اضلاع را به هم وصل کنید تا مثلث جدیدی ایجاد شود، محیط مثلث را مجددا بدست آورید.

مفهوم حد - پیمان گردلو


اندازه ضلع مثلث جدید را x1 و اندازه محیط آن را P1 می‌نامیم:

x1=1P1=x1+x1+x1=3

اگر عمل وصل کردن وسط ضلع های مثلث های جدید را ادامه دهیم و در مرحله nام طول ضلع مثلث به وجود آمده را با xn و محیط آن را با Pn نمایش دهیم، با توجه به شکل های زیر، جدول داده شده را تکمیل کنید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

اندازه اضلاع مثلث ها و اندازه محیط این مثلث ها به چه اعدادی نزدیک می‌شوند؟

اندازه اضلاع مثلث ها، به عدد صفر نزدیک می‌شوند و اندازه محیط این مثلث ها به عدد صفر نزدیک می‌شوند.

تعریف مفهوم حد

هرگاه گفته شود:

limxafx=L

بخوانیم حد تابع fx وقتی x به سمت a میل می‌کند، برابر L است.

یعنی هر اندازه که بخواهیم اختلاف fx و L را از هم کم کنیم، می‌توانیم برای رسیدن به این مقصود اختلاف x و a را کم کنیم.

تذکر

1- جمله اگر x به a میل می‌کند، fx به L میل می‌کند به این معنی است که:

L حد fx در a است و معنی دیگری ندارد.‌   

در واقع نباید این جمله را به دو جمله اگر x به a میل ‌کند، fx به L میل می‌کند، تجزیه کرد. 

باید نماد limxafx را یک‌جا و توام ببینیم، نه این‌که اول x به سمت a میل می‌کند و سپس به تبعیت از آن fx به سمت L میل می‌کند. 


2- باید توجه داشته باشیم که منظور از حد تابع f حد fx است نه حد f.

چنان‌چه در تعریف، f خود تابع است که همان سه  تائی (برد، دامنه، ضابطه) می‌باشد، اما fx معادله یا ضابطه تابع است.

در تعریف حد، آن‌چه را که تعریف می‌کنیم حد fx است نه حد f

مفهوم حد  گیری

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

تابع با ضابطه fx=x24x2 را در نظر بگیرید.

رفتار تابع را در اطراف نقطه x=2 بررسی کنید.

تابع به‌ازای هر عدد حقیقی x به جزء x=2 تعریف شده است.

 
به‌ازای x2 ضابطه تابع را می‌توان ساده کرد و به صورت زیر نوشت:

fx=x24x2=x2x+2x2=x+2    ;    x2

جدول زیر را تحلیل کنید.

مفهوم حد - پیمان گردلو

مقادیر تابع را به ازای برخی مقادیر کوچک‌تر از 2 که به تدریج از سمت چپ به عدد 2 نزدیک می‌شوند و نیز برخی مقادیر بزرگ‌تر از 2 که به تدریج از سمت راست به عدد 2 نزدیک می‌شوند را محاسبه کرده‌ایم.


مشاهده می‌کنیم که با نزدیک شدن x به عدد 2 (از راست و از چپ) مقادیر fx به عدد 4 نزدیک می‌شوند.


درستی این مطلب را از روی نمودار تابع در زیر می‌توان دید:


مفهوم حد - پیمان گردلو  

نمودار تابع f، خط راست y=x+2 است که یک نقطه از آن، یعنی نقطه 2,4 حذف شده است.


با وجود این‌که مقدار تابع در نقطه 2 تعریف نشده است ولی با توجه به نمودار تابع، وقتی x را با مقادیر بزرگ‌تر و یا کوچک‌تر از 2 (اما مخالف 2) به عدد 2 نزدیک می‌کنیم، مقادیر تابع f به عدد 4 نزدیک می‌شوند.


به عبارت دیگر وقتی x2 (یعنی x به‌سمت 2 میل کند)، مقادیر تابع f به عدد 4 نزدیک می‌شوند در این صورت می‌گوییم حد تابع f وقتی x به 2 نزدیک می‌شود، برابر 4 است و می‌نویسیم:

limx2fx=4

 تعریف: وقتی متغیر x به a نزدیک می‌شود، مقادیر تابع f  نیز به یک عدد مشخص، نزدیک می‌شود که عمل حد گیری از تابع f در نقطه a می‌گوییم.

تمرین

نمودار توابع زیر را در نظر بگیرید:

مفهوم حد - پیمان گردلو

حد این توابع را در همسایگی عدد 3  بدست آورید.

limx3fx=limx3gx=limx3hx=6


توجه کنید که:


دامنه‌ توابع f و h اعداد حقیقی هستند.


دامنه تابع g عبارت است از R3 اما حد سه تابع در همسایگی نقطه 3 برابرند.  

تمرین

نمودار توابع زیر را در نظر بگیرید:

مفهوم حد - پیمان گردلو

حد این توابع را در همسایگی عدد 5  بدست آورید.

limx5fx=limx5gx=limx5hx=2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مقدمه‌ای از مفهوم حد

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید