اعمال جبری روی لگاریتم

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: لگاریتم
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

جزء‌صحیح لگاریتم

قضیه

فرض کنیم n عددی صحیح و x عددی حقیقی مثبت باشد در این‌صورت داریم:

if     a>1  ,  anx<an+1logax=nif     0<a<1  ,  an+1<xanlogax=n

اثبات

فرض کنیم a>1 در این صورت تابع لگاریتم اکیدا صعودی است.

anx<an+1logaanlogax<logaan+1nlogax<n+1logax=n

حالت دوم مانند اثبات فوق ثابت می‌شود.

تذکر

جزء‌صحیح یا کف logax را مفسر لگاریتم گویند و جزء کسری آن را مانتیس می‌نامند، در ادامه به این دو موضوع می‌پردازیم.

xR+    ;    logax=logax+logax=n+p

نکته

نمودار fx=log2x در زیر رسم شده:

2nx<2n+1log2x=nif     23x<24    3log2x<4log2x=3


تمرین

به‌ازای هر عدد صحیح فرد، تساوی زیر را ثابت کنید.

log2n1=log2n    ;    n>1

اگر n عددی فرد بزرگ‌تر از یک باشد، آن‌گاه بین دو توان متوالی از 2 واقع است، یعنی عدد صحیح k0 هست به‌طوری‌که:

2kn1<2k+12kn<2k+1log22klog2n<log22k+1klog22log2n<k+1log22klog2n<k+1log2n=klog2n=log2n1

مفسر و مانتیس در لگاریتم 

به این دو عدد توجه کنید:

100=102            log100=21000=103          log1000=3

اگر عددی بین 100 و 1000 باشد، مسلما لگاریتم آن بین 2 و 3 می‌باشد.

اگر log200=2.30103 باشد، عدد 2 را مفسر و عدد اعشاری 0.30103 را مانتیس یا قسمت اعشاری گویند که از جدول لگاریتم، به‌دست می‌آید.

  • مفسر از لحاظ علامت، مثبت یا منفی و یا ممکن است صفر باشد ولی مانتیس همواره مثبت است.
  • اگر مبنای لگاریتم 10 باشد معمولا مبنا را نمی‌نویسند و این لگاریتم را لگاریتم اعشاری یا لگاریتم ده‌گانی گویند.   

در بحث زیر مبنای لگاریتم 10 و N>1 است.

تعیین مفسر

برای تعیین مفسر لگاریتم عدد N در a ابتدا باید مشخص کنیم که عدد N بین کدام دو توان صحیح متوالی از a قرار دارد، سپس توان کوچک‌تر، مفسر می‌باشد. 

a>1  ,  anNan+1logaanlogaN<logaan+1nlogaalogaN<n+1logaanlogaN<n+1logaN=n.p

  • عدد n جزء‌صحیح logaN است و مفسر نام دارد. nZ 
  • عدد p جزءاعشاری logaN است و مانتیس نام دارد. 0p<1 
  • اگر 0<a<1 باشد، جهت تغییر می‌کند.

دریافت مثال

تذکر

1- اگر مفسر مثبت یا صفر باشد، چنان‌چه یک واحد به آن اضافه کنیم تعداد ارقام عدد آنتی لگاریتم به‌دست می‌آید.

در log200=2.30103 اگر به مفسر یعنی 2 یک واحد اضافه کنیم عدد 3 بدست می‌آید که تعداد ارقام آنتی لگاریتم N=200 می‌باشد. 

در logN=4.251 اگر به مفسر یعنی 4 یک واحد اضافه کنیم عدد 5 بدست می‌آید که تعداد ارقام آنتی لگاریتم N می‌باشد، یعنی N عددی پنج رقمی است. 


2- اگر مفسر منفی باشد، قدرمطلق آن نشان دهنده صفرهای سمت چپ عدد با احتساب صفر ممیز است.

log    0.1=1log0.01=2log0.001=3

در logN=3¯/251 در سمت چپ عدد N با احتساب صفر ممیز، سه صفر وجود دارد.  

دریافت مثال

تعیین مانتیس 

مانتیس همواره 0p<1 و اگر لگاریتم عددی به‌صورت -n.p بیان شود، مانتیس p نیست، زیرا p<0 است. 

n.p=n+0.p

برای یافتن مانتیس در این حالت به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

logaN=n.plogaN=n0.plogaN=n1+10.plogaN=n+1+10.plogaN=n+1¯.p'    ;    0p'<1

که در این‌صورت مفسر -n+1 و مانتیس p'=10.p است.

تمرین

مفسر و مانتیس لگاریتم زیر را مشخص کنید.

logx=5.278

logx=5+0.278logx=51+10.278logx=6+0.722logx=6¯.722


مفسر -6 و مانتیس 0.722 است. 

بنابراین هرگاه مانتیس منفی باشد، یک واحد منفی به مفسر اضافه کرده و مانتیس را از یک کم می‌کنیم.

قضیه

هرگاه در logaN=n.p عدد N را در توان های صحیحی از مبنای a ضرب یا تقسیم کنیم، مانتیس تغییر نمی‌کند فقط مضرب مفسر تغییر می‌کند. 

اثبات

فرض کنیم m عددی صحیح باشد، آن‌گاه:

logaamN=logaam+logaNlogaamN=mlogaa+logaNlogaamN=m+n.plogaamN=m+n.p


مشاهده می‌کنیم که فقط به مفسر m واحد اضافه شده است و مانتیس تغییر نکرده است.

دریافت مثال

مفهوم کلگاریتم

لگاریتم 1N را کلگاریتم N می‌گویند. 

log1N=log1logN=logN=cologN   

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

cologaN=logaN=logaN1=loga1NcologaN=logaN=loga1N=log1aN

برای یافتن کلگاریتم از روی لگاریتم داریم: 

logaN=n.p    cologaN=n.p  cologaN=n0.p   cologaN=n1+10.p   cologaN=n+1+0.p'   cologaN=n+1¯.p

  • یک واحد مثبت به مفسر لگاریتم اضافه می‌کنیم، پس از جمع جبری علامت آن را عوض می‌کنیم.
  • در مورد قسمت اعشاری هم، اولین رقم با معنای سمت راست قسمت اعشاری را از 10 و بقیه را از 9 کم می‌کنیم.
  • اگر cologN را داشته باشیم logN را به همان ترتیب فوق بدست می‌آوریم.

تمرین

if   cologx=12.5678logx=?

if   cologx=12.5678logx=13¯.4322

if   logx=7.5836cologx=?

if   logx=7.5836cologx=8¯.4164

if   logN=2¯.21450cologN=?

if   logN=2¯.21450cologN=1.78550

دریافت مثال

چهار عمل اصلی روی لگاریتم‌ها 

جمع لگاریتم‌ها

برای جمع چند لگاریتم، مانتیس آنها را با هم جمع می‌کنیم، سپس واحدهای صحیحی که به‌دست می‌آید با مفسرها جمع جبری می‌کنیم.

تمرین

if logx=2.85112logy=5¯.9320logx+logy=?

logx+logy=2.8512+5¯.9320=2¯.7832

تفریق لگاریتم‌‌ها

برای تفریق لگاریتم‌ها، مفروق را به کلگاریتم تبدیل می‌کنیم، سپس به‌جای عمل تفریق عمل جمع را انجام می‌دهیم.

تمرین

logx=4¯.6392logy=2.1860logxlogy=?

logxlogy=logx+cology=4¯.6392+3¯.8140=6¯.4532

ضرب عدد در لگاریتم‌

حالت اول:

اگر m مثبت باشد، عمل ضرب معمولی انجام می‌گیرد، با توجه به این‌که مانتیس همواره مثبت است.

تمرین

if    logx=2¯.81405logx=?

5logx=52¯.8140=52+0.8140=10+4.07=6¯.07

حالت دوم:

اگر m منفی باشد، در این‌صورت cologx را در m ضرب می‌کنیم.

تمرین

if   logx=1.12435logx=?

5logx=5logx=5cologx=52¯.8757=52+0.8757=10+4.3785=6¯.3785

تقسیم لگاریتم‌ بر عدد 

حالت اول:

اگر k مثبت و مفسر logx هم مثبت باشد در این صورت با تقسیم معمولی اعشاری جواب به‌دست می‌آید.

تمرین

logx=2.1245logx3=?

logx3=2.12453=0.70816

حالت دوم: 

اگر k مثبت و مفسر logx منفی باشد ولی عدد مفسر به عدد k بخش‌پذیر باشد باز هم تقسیم به‌صورت معمولی انجام می‌پذیرد.

تمرین

logx=6¯.8141logx3=?

logx3=6¯.81413=2¯.2713

حالت سوم: 

اگر k مثبت و مفسر logx منفی باشد ولی عدد مفسر بر k بخش‌پذیر نباشد در این‌صورت بزرگ‌ترین عدد منفی را به مفسر اضافه می‌کنیم تا بر عدد k بخش‌پذیر شود و در عین حال همان عدد را با علامت مثبت به مانتیس اضافه می‌کنیم، سپس عمل تقسیم را انجام می‌دهیم.

تمرین

logx=2¯.1225logx5=?

logx5=2¯.12255=2+0.12255=23+3+0.12255=5+3.12255=1+0.6245=1¯.6245

حالت چهارم:

 اگر k منفی باشد، در این‌صورت به‌جای تقسیم logx بر عدد منفی k، cologx را بر k تقسیم می‌کنیم، که در این وضعیت عملیات به حالت‌های گفته شده تبدیل می‌شود.

تمرین

logx=2.2386logx3=?

logx3=logx3=cologx3=3¯.76143=1¯.2538

ضرب یا تقسیم دو لگاریتم

حالت اول: 

اگر مفسرهای هر دو لگاریتم مثبت باشند اعمال ضرب یا تقسیم، همان اعمال ضرب یا تقسیم دو عدد اعشاری هستند.

تمرین

iflogx=2.2345logy=3.0124logxlogy=?

logxlogy=2.2345.3.0124=6.7312

حالت دوم: 

اگر مفسرهای هر دو لگاریتم منفی باشد، کلگاریتم ‌های آنها را در هم ضرب یا تقسیم می‌کنیم.

تمرین

logx=1¯.4123logy=4¯.2145logx.logy=?

logx.logy=cologx.cology=0.58773.7855=2.2247

حالت سوم: 

اگر یکی از مفسرها مثبت و دیگری منفی باشد، به‌جای آن‌که مفسرش منفی است کلگاریتم آن را قرار می‌دهیم، سپس از حاصل ضرب یا تقسیم، کلگاریتم می‌گیریم.

تمرین

if logx=2.2145logy=3¯.4122logx.logy=?

logxlogy=logx.cology=2.21452.5878=5.7307=50.7307=51+10.7307=6¯.2693

if   logx=5.5130log1x3=?

log1x3=logx13=13logx=5.51303=5.51303=1.8376=2¯.1624

مثال‌ها و جواب‌ها

اعمال جبری روی لگاریتم

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید