سرفصل‌های این مبحث

لگاریتم

اعمال جبری روی لگاریتم

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: لگاریتم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

جزء‌صحیح لگاریتم

قضیه

فرض کنیم $n$ عددی صحیح و $x$ عددی حقیقی مثبت باشد در این‌صورت داریم:

$\begin{array}{l} i f a > 1, a^{n} \leq x < a^{n + 1} \Leftrightarrow [\log_{a} x] = n \end{array}$

$i f 0 < a < 1, a^{n + 1} < x \leq a^{n} \Leftrightarrow [\log_{a} x] = n$

اثبات

فرض کنیم $a > 1$ در این صورت تابع لگاریتم اکیدا صعودی است.

$\begin{array}{l} a^{n} \leq x < a^{n + 1} \\ \Rightarrow \log_{a} a^{n} \leq \log_{a} x < \log_{a} a^{n + 1} \\ \Rightarrow n \leq \log_{a} x < n + 1 \\ \Rightarrow [\log_{a} x] = n \end{array}$

حالت دوم مانند اثبات فوق ثابت می‌شود.

تذکر

جزء‌صحیح یا کف $\log_{a} x$ را مفسر لگاریتم گویند و جزء کسری آن را مانتیس می‌نامند، در ادامه به این دو موضوع می‌پردازیم.

$\forall x \in R^{+}; \log_{a} x = [\log_{a} x] + \{\log_{a} x\} = n + p$

نکته

نمودار $f (x) = [\log_{2} x]$ در زیر رسم شده:

$\begin{array}{l} 2^{n} \leq x < 2^{n + 1} \Rightarrow [\log_{2} x] = n \end{array}$

$i f 2^{3} \leq x < 2^{4} \Rightarrow 3 \leq \log_{2} x < 4 \Rightarrow [\log_{2} x] = 3$

تمرین

به‌ازای هر عدد صحیح فرد، تساوی زیر را ثابت کنید.

$[\log_{2} (n - 1)] = [\log_{2} n]; n > 1$

اگر $n$ عددی فرد بزرگ‌تر از یک باشد، آن‌گاه بین دو توان متوالی از $2$ واقع است، یعنی عدد صحیح $k \geq 0$ هست به‌طوری‌که:

$\begin{array}{l} 2^{k} \leq n - 1 < 2^{k + 1} \\ \Rightarrow 2^{k} \leq n < 2^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{2} 2^{k} \leq \log_{2} n < \log_{2} 2^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k \log_{2} 2 \leq \log_{2} n < (k + 1) \log_{2} 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k \leq \log_{2} n < (k + 1) \\ \Rightarrow [\log_{2} n] = k \\ \Rightarrow [\log_{2} n] = [\log_{2} (n - 1)] \end{array}$

مفسر و مانتیس در لگاریتم

به این دو عدد توجه کنید:

$\begin{array}{l} 100 = 10^{2} \Rightarrow \log 100 = 2 \end{array}$

$1000 = 10^{3} \Rightarrow \log 1000 = 3$

اگر عددی بین $100$ و $1000$ باشد، مسلما لگاریتم آن بین $2$ و $3$ می‌باشد.

اگر $\log 200 = 2.30103$ باشد، عدد $2$ را مفسر و عدد اعشاری $0 .30103$ را مانتیس یا قسمت اعشاری گویند که از جدول لگاریتم، به‌دست می‌آید.

مفسر از لحاظ علامت، مثبت یا منفی و یا ممکن است صفر باشد ولی مانتیس همواره مثبت است.
اگر مبنای لگاریتم $10$ باشد معمولا مبنا را نمی‌نویسند و این لگاریتم را لگاریتم اعشاری یا لگاریتم ده‌گانی گویند.

در بحث زیر مبنای لگاریتم $10$ و $N > 1$ است.

تعیین مفسر

برای تعیین مفسر لگاریتم عدد $N$ در $a$ ابتدا باید مشخص کنیم که عدد $N$ بین کدام دو توان صحیح متوالی از $a$ قرار دارد، سپس توان کوچک‌تر، مفسر می‌باشد.

$\begin{array}{l} a > 1, a^{n} \leq N \leq a^{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a} a^{n} \leq \log_{a} N < \log_{a} a^{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n \log_{a} a \leq \log_{a} N < (n + 1) \log_{a} a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n \leq \log_{a} N < (n + 1) \end{array}$

$\Rightarrow \log_{a} N = n . p$

عدد $n$ جزء‌صحیح $\log_{a} N$ است و مفسر نام دارد. $(n \in Z)$
عدد $p$ جزءاعشاری $\log_{a} N$ است و مانتیس نام دارد. $(0 \leq p < 1)$
اگر $0 < a < 1$ باشد، جهت تغییر می‌کند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- اگر مفسر مثبت یا صفر باشد، چنان‌چه یک واحد به آن اضافه کنیم تعداد ارقام عدد آنتی لگاریتم به‌دست می‌آید.

در $\log 200 = 2.30103$ اگر به مفسر یعنی $2$ یک واحد اضافه کنیم عدد $3$ بدست می‌آید که تعداد ارقام آنتی لگاریتم $N = 200$ می‌باشد.

در $\log N = 4.251$ اگر به مفسر یعنی $4$ یک واحد اضافه کنیم عدد $5$ بدست می‌آید که تعداد ارقام آنتی لگاریتم $N$ می‌باشد، یعنی $N$ عددی پنج رقمی است.

2- اگر مفسر منفی باشد، قدرمطلق آن نشان دهنده صفرهای سمت چپ عدد با احتساب صفر ممیز است.

$\begin{array}{l} \log 0.1 = - 1 \\ \log 0.01 = - 2 \\ \log 0.001 = - 3 \end{array}$

در $\log N = \bar{3} / 251$ در سمت چپ عدد $N$ با احتساب صفر ممیز، سه صفر وجود دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تعیین مانتیس

مانتیس همواره $0 \leq p < 1$ و اگر لگاریتم عددی به‌صورت $- n . p$ بیان شود، مانتیس $p$ نیست، زیرا $p < 0$ است.

$- n . p = - n + (- 0. p)$

برای یافتن مانتیس در این حالت به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \log_{a} N = - n . p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a} N = - n - 0. p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a} N = - n - 1 + 1 - 0. p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log_{a} N = - (n + 1) + (1 - 0. p) \end{array}$

$\Rightarrow \log_{a} N = \bar{(n + 1)} . p^{'}; 0 \leq p^{'} < 1$

که در این‌صورت مفسر $- (n + 1)$ و مانتیس $p^{'} = 1 - 0. p$ است.

تمرین

مفسر و مانتیس لگاریتم زیر را مشخص کنید.

$\log x = - 5.278$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log x = - 5 + (- 0.278) \\ \Rightarrow \log x = - 5 - 1 + 1 - 0.278 \\ \Rightarrow \log x = - 6 + 0.722 \\ \Rightarrow \log x = \bar{6} .722 \end{array}$

مفسر $(- 6)$ و مانتیس $(0.722)$ است.

بنابراین هرگاه مانتیس منفی باشد، یک واحد منفی به مفسر اضافه کرده و مانتیس را از یک کم می‌کنیم.

قضیه

هرگاه در $\log_{a} N = n . p$ عدد $N$ را در توان های صحیحی از مبنای $a$ ضرب یا تقسیم کنیم، مانتیس تغییر نمی‌کند فقط مضرب مفسر تغییر می‌کند.

اثبات

فرض کنیم $m$ عددی صحیح باشد، آن‌گاه:

$\begin{array}{l} \log_{a} a^{m} N = \log_{a} a^{m} + \log_{a} N \\ \Rightarrow \log_{a} a^{m} N = m \log_{a} a + \log_{a} N \\ \Rightarrow \log_{a} a^{m} N = m + n . p \\ \Rightarrow \log_{a} a^{m} N = (m + n) . p \end{array}$

مشاهده می‌کنیم که فقط به مفسر $m$ واحد اضافه شده است و مانتیس تغییر نکرده است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

مفهوم کلگاریتم

لگاریتم $\frac{1}{N}$ را کلگاریتم $N$ می‌گویند.

$\log \frac{1}{N} = \log 1 - \log N = - \log N = c o \log N$

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

$\begin{array}{l} c o \log_{a} N = - \log_{a} N = \log_{a} N^{- 1} = \log_{a} \frac{1}{N} \end{array}$

$c o l o g_{a} N = - \log_{a} N = \log_{a^{- 1}} N = \log_{\frac{1}{a}} N$

برای یافتن کلگاریتم از روی لگاریتم داریم:

$\begin{array}{l} \log_{a} N = n . p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c o \log_{a} N = - n . p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c o \log_{a} N = - n - 0. p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c o \log_{a} N = (- n - 1) + 1 - 0. p \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c o \log_{a} N = - (n + 1) + 0. p^{'} \end{array}$

$\Rightarrow c o \log_{a} N = (\bar{n + 1}) . p$

یک واحد مثبت به مفسر لگاریتم اضافه می‌کنیم، پس از جمع جبری علامت آن را عوض می‌کنیم.
در مورد قسمت اعشاری هم، اولین رقم با معنای سمت راست قسمت اعشاری را از $10$ و بقیه را از $9$ کم می‌کنیم.
اگر $c o \log N$ را داشته باشیم $\log N$ را به همان ترتیب فوق بدست می‌آوریم.

تمرین

$i f colog x = 12.5678 \Leftrightarrow \log x = ?$

$i f colog x = 12.5678 \Leftrightarrow \log x = \bar{13} .4322$

$i f \log x = 7.5836 \Leftrightarrow colog x = ?$

$i f \log x = 7.5836 \Leftrightarrow colog x = \bar{8} .4164$

$i f \log N = \bar{2} .21450 \Leftrightarrow colog N = ?$

$i f \log N = \bar{2} .21450 \Leftrightarrow colog N = 1.78550$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

چهار عمل اصلی روی لگاریتم‌ ها

جمع لگاریتم‌ ها

برای جمع چند لگاریتم، مانتیس آنها را با هم جمع می‌کنیم، سپس واحدهای صحیحی که به‌دست می‌آید با مفسرها جمع جبری می‌کنیم.

تمرین

$i f \{\begin{array}{l} \log x = 2.85112 \\ \log y = \bar{5} .9320 \end{array}〉 \log x + \log y = ?$

$\log x + \log y = 2.8512 + \bar{5} .9320 = \bar{2} .7832$

تفریق لگاریتم‌‌ ها

برای تفریق لگاریتم‌ها، مفروق را به کلگاریتم تبدیل می‌کنیم، سپس به‌جای عمل تفریق عمل جمع را انجام می‌دهیم.

تمرین

$\{\begin{array}{l} \log x = \bar{4} .6392 \\ \log y = 2.1860 \end{array}〉 \log x - \log y = ?$

$\log x - \log y = \log x + c o \log y = \bar{4} .6392 + \bar{3} .8140 = \bar{6} .4532$

ضرب عدد در لگاریتم‌

حالت اول

اگر $m$ مثبت باشد، عمل ضرب معمولی انجام می‌گیرد، با توجه به این‌که مانتیس همواره مثبت است.

تمرین

$i f \log x = \bar{2} .8140 \Rightarrow 5 \log x = ?$

$5 \log x = 5 (\bar{2} .8140) = 5 (- 2 + 0.8140) = - 10 + 4.07 = \bar{6} .07$

حالت دوم

اگر $m$ منفی باشد، در این‌صورت $c o \log x$ را در $|m|$ ضرب می‌کنیم.

تمرین

$i f \log x = 1.1243 \Rightarrow - 5 \log x = ?$

$- 5 \log x = 5 (- \log x) = 5 c o \log x = 5 (\bar{2} .8757) = 5 (- 2 + 0.8757) = (- 10 + 4.3785) = (\bar{6} .3785)$

تقسیم لگاریتم‌ بر عدد

حالت اول

اگر $k$ مثبت و مفسر $\log x$ هم مثبت باشد در این صورت با تقسیم معمولی اعشاری جواب به‌دست می‌آید.

تمرین

$\log x = 2.1245 \Rightarrow \frac{\log x}{3} = ?$

$\frac{\log x}{3} = \frac{2.1245}{3} = 0.70816$

حالت دوم

اگر $k$ مثبت و مفسر $\log x$ منفی باشد ولی عدد مفسر به عدد $k$ بخش‌پذیر باشد باز هم تقسیم به‌صورت معمولی انجام می‌پذیرد.

تمرین

$\log x = \bar{6} .8141 \Rightarrow \frac{\log x}{3} = ?$

$\frac{\log x}{3} = \frac{\bar{6} .8141}{3} = \bar{2} .2713$

حالت سوم

اگر $k$ مثبت و مفسر $\log x$ منفی باشد ولی عدد مفسر بر $k$ بخش‌پذیر نباشد در این‌صورت بزرگ‌ترین عدد منفی را به مفسر اضافه می‌کنیم تا بر عدد $k$ بخش‌پذیر شود و در عین حال همان عدد را با علامت مثبت به مانتیس اضافه می‌کنیم، سپس عمل تقسیم را انجام می‌دهیم.

تمرین

$\log x = \bar{2} .1225 \Rightarrow \frac{\log x}{5} = ?$

$\frac{\log x}{5} = \frac{\bar{2} .1225}{5} = \frac{- 2 + 0.1225}{5} = \frac{- 2 - 3 + 3 + 0.1225}{5} = \frac{- 5 + 3.1225}{5} = - 1 + 0.6245 = \bar{1} .6245$

حالت چهارم

اگر $k$ منفی باشد، در این‌صورت به‌جای تقسیم $\log x$ بر عدد منفی $k$ ، $c o \log x$ را بر $|k|$ تقسیم می‌کنیم، که در این وضعیت عملیات به حالت‌های گفته شده تبدیل می‌شود.

تمرین

$\log x = 2.2386 \Rightarrow \frac{\log x}{- 3} = ?$

$\frac{\log x}{- 3} = \frac{- \log x}{3} = \frac{c o \log x}{3} = \frac{\bar{3} .7614}{3} = \bar{1} .2538$

ضرب یا تقسیم دو لگاریتم

حالت اول

اگر مفسرهای هر دو لگاریتم مثبت باشند اعمال ضرب یا تقسیم، همان اعمال ضرب یا تقسیم دو عدد اعشاری هستند.

تمرین

$i f \{\begin{cases} \log x = 2.2345 \\ \log y = 3.0124 \end{cases}〉 \log x \cdot \log y = ?$

$\log x \cdot \log y = (2.2345) . (3.0124) = 6.7312$

حالت دوم

اگر مفسرهای هر دو لگاریتم منفی باشد، کلگاریتم ‌های آنها را در هم ضرب یا تقسیم می‌کنیم.

تمرین

$\{\begin{cases} \log x = \bar{1} .4123 \\ \log y = \bar{4} .2145 \end{cases}〉 \log x . \log y = ?$

$\log x . \log y = (- c o \log x) . (- c o \log y) = (0.5877) (3.7855) = 2.2247$

حالت سوم

اگر یکی از مفسرها مثبت و دیگری منفی باشد، به‌جای آن‌که مفسرش منفی است کلگاریتم آن را قرار می‌دهیم، سپس از حاصل ضرب یا تقسیم، کلگاریتم می‌گیریم.

تمرین

$\begin{array}{l} i f \{\begin{cases} \log x = 2.2145 \\ \log y = \bar{3} .4122 \end{cases}〉 \log x . \log y = ? \end{array}$

$\begin{array}{l} \log x \cdot \log y \\ = (\log x) . (- c o l o g y) \\ = - (2.2145) (2.5878) \\ = - (5.7307) \\ = - 5 - 0.7307 \\ = - 5 - 1 + 1 - 0.7307 \\ = \bar{6} .2693 \end{array}$

$i f \log x = 5.5130 \Rightarrow \log \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = ?$

$\log \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \log x^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3} \log x = \frac{5.5130}{- 3} = - (\frac{5.5130}{3}) = - (1.8376) = \bar{2} .1624$

خرید پاسخ‌ها

اعمال جبری روی لگاریتم

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

لگاریتم

اعمال جبری روی لگاریتم

جزء‌صحیح لگاریتم

مفسر و مانتیس در لگاریتم

تعیین مفسر

تعیین مانتیس

مفهوم کلگاریتم

چهار عمل اصلی روی لگاریتم‌ ها

جمع لگاریتم‌ ها

تفریق لگاریتم‌‌ ها

ضرب عدد در لگاریتم‌

حالت اول

حالت دوم

تقسیم لگاریتم‌ بر عدد

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

ضرب یا تقسیم دو لگاریتم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟