سرفصل‌های این مبحث

لگاریتم

تعریف لگاریتم

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399

آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400

دسته‌بندی: لگاریتم

امتیاز:

بازدید: 61 مرتبه

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف: فرض کنیم عدد $a$ مثبت و مخالف یک باشد، اگر اعدادی مانند $N$ و $x$ داشته باشیم به‌طوری‌که در تساوی زیر صدق کنند:

$N = a^{x}$

بنا به تعریف می‌گوییم لگاریتم $N$ در مبنای $a$ مساوی $x$ است و داریم:

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

عدد $x$ را لگاریتم گوییم.

عدد $a$ را مبنا گوییم. $(a > 0, a \neq 1)$

عدد $N$ را آنتی لگاریتم یا عدد ما‌به‌ازاء گوییم. $(N > 0)$

تمرین

$\begin{array}{l} i f N = a^{x} \Leftrightarrow l o g_{a} N = x i f l o g_{a} N = x \Leftrightarrow N = a^{x} \\ i f 8 = 2^{3} \Leftrightarrow \log_{2} 8 = 3 i f \log_{4} 16 = 2 \Leftrightarrow 16 = 4^{2} \\ i f 81 = 3^{4} \Leftrightarrow \log_{3} 81 = 4 i f \log_{3} \frac{1}{27} = - 3 \Leftrightarrow \frac{1}{27} = 3^{- 3} \end{array}$

تذکر

چون $a$ عددی مثبت است و عدد مثبت به هر توان که برسد مثبت است پس $a^{x}$ همواره مثبت در نتیجه $N$ همواره مثبت است، به‌همین علت است که می‌گوئیم اعداد منفی و صفر لگاریتم ندارند.

نکته

1- اعداد منفی لگاریتم ندارند. $(N > 0)$

2- لگاریتم صفر تعریف نشده است. $(N \neq 0)$

3- مبنای لگاریتم عددی مثبت و مخالف صفر و یک است. $(a > 0, a \neq 1)$

بنابراین مبناها را به دو دسته $\{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ a > 1 \end{cases}$ تقسیم می‌کنیم.

4- در مبنای بزرگ‌تر از واحد یعنی $(a > 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ مثبت و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ منفی است.

$\begin{array}{l} \log_{10} 3 > 0 \\ \log_{2} 8 > 0 \\ \log_{10} 0.5 < 0 \\ \log_{_{2}} \frac{1}{8} < 0 \end{array}$

5- در مبنای کوچک‌تر از واحد $(0 < a < 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ منفی و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ مثبت است.

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} 5 < 0 \\ \log_{0.01} 100 < 0 \\ \log_{0.1} 0.01 > 0 \end{array}$

6- لگاریتم در مبنای $10$ را لگاریتم اعشاری می گوییم و معمولا مبنا را نمی‌نویسیم.

$\log_{10} 3 = \log 3$

تمرین

در تساوی‌های زیر $x$ را پیدا کنید.

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$ (یادآوری

$\log_{4} 1 = x$

$\log_{4} 1 = x \Rightarrow 1 = 4^{x} \Rightarrow x = 0$

$\log_{2} 8 = x$

$\log_{2} 8 = x \Rightarrow 8 = 2^{x} \Rightarrow 2^{3} = 2^{x} \Rightarrow x = 3$

$\log_{10} 0 / 01 = x$

$\log_{10} 0 / 01 = x \Rightarrow 0 / 01 = 10^{x} \Rightarrow \frac{1}{100} = 10^{x} \Rightarrow 10^{- 2} = 10^{x} \Rightarrow x = - 2$

$\log_{\frac{1}{6}} 36 = x$

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{6}} 36 = x \\ \Rightarrow 36 = {(\frac{1}{6})}^{x} \\ \Rightarrow 6^{2} = {(6^{- 1})}^{x} \\ \Rightarrow 6^{2} = 6^{- x} \\ \Rightarrow - x = 2 \\ \Rightarrow x = - 2 \end{array}$

$\log_{x} 16 = 2$

$\log_{x} 16 = 2 \Rightarrow 16 = x^{2} \Rightarrow 4^{2} = x^{2} \Rightarrow x = 4$

$\log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x$

$\begin{array}{l} \log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x \\ \Rightarrow 5 \sqrt{5} = {(\sqrt[4]{5})}^{x} \\ \Rightarrow {(5 \sqrt{5})}^{4} = {(\sqrt[4]{5})}^{4 x} \\ \Rightarrow 5^{4} \times 5^{2} = 5^{x} \\ \Rightarrow 5^{6} = 5^{x} \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

$\log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14}$

$\begin{array}{l} \log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14} \\ \Rightarrow x = {(a^{2} \sqrt[3]{a})}^{\frac{9}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{2 \times 9} \sqrt[3]{a^{9}})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{18} \cdot a^{3})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{21})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a)}^{\frac{21}{14}} \\ \Rightarrow x = a^{\frac{3}{2}} \end{array}$

$\log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2}$

$\begin{array}{l} \log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2} \\ \Rightarrow x = {(3 \sqrt[3]{3})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = {(3^{1} \times 3^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = {(3^{\frac{4}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = 3^{- 2} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{9} \end{array}$

$\log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1$

$\begin{array}{l} \log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1 \\ \Rightarrow (2 + \sqrt{3}) = x^{- 1} \\ \Rightarrow 2 + \sqrt{3} = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \\ \Rightarrow x = 2 - \sqrt{3} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

لگاریتم

تعریف لگاریتم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع