برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

لگاریتم

تعریف لگاریتم
فرمول‌ های لگاریتم
اعمال جبری روی لگاریتم
معادلات لگاریتمی
نامعادلات لگاریتمی

تعریف لگاریتم

آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400

دسته‌بندی: لگاریتم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف: فرض کنیم عدد $a$ مثبت و مخالف یک باشد، اگر اعدادی مانند $N$ و $x$ داشته باشیم به‌طوری‌که در تساوی زیر صدق کنند:

$N = a^{x}$

بنا به تعریف می‌گوییم لگاریتم $N$ در مبنای $a$ مساوی $x$ است و داریم:

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

عدد $x$ را لگاریتم گوییم.

عدد $a$ را مبنا گوییم. $(a > 0, a \neq 1)$

عدد $N$ را آنتی لگاریتم یا عدد ما‌به‌ازاء گوییم. $(N > 0)$

تمرین

$\begin{array}{l} i f N = a^{x} \Leftrightarrow l o g_{a} N = x i f l o g_{a} N = x \Leftrightarrow N = a^{x} \\ i f 8 = 2^{3} \Leftrightarrow \log_{2} 8 = 3 i f \log_{4} 16 = 2 \Leftrightarrow 16 = 4^{2} \\ i f 81 = 3^{4} \Leftrightarrow \log_{3} 81 = 4 i f \log_{3} \frac{1}{27} = - 3 \Leftrightarrow \frac{1}{27} = 3^{- 3} \end{array}$

تذکر

چون $a$ عددی مثبت است و عدد مثبت به هر توان که برسد مثبت است پس $a^{x}$ همواره مثبت در نتیجه $N$ همواره مثبت است، به‌همین علت است که می‌گوئیم اعداد منفی و صفر لگاریتم ندارند.

نکته

1- اعداد منفی لگاریتم ندارند. $(N > 0)$

2- لگاریتم صفر تعریف نشده است. $(N \neq 0)$

3- مبنای لگاریتم عددی مثبت و مخالف صفر و یک است. $(a > 0, a \neq 1)$

بنابراین مبناها را به دو دسته $\{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ a > 1 \end{cases}$ تقسیم می‌کنیم.

4- در مبنای بزرگ‌تر از واحد یعنی $(a > 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ مثبت و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ منفی است.

$\begin{array}{l} \log_{10} 3 > 0 \\ \log_{2} 8 > 0 \\ \log_{10} 0.5 < 0 \\ \log_{_{2}} \frac{1}{8} < 0 \end{array}$

5- در مبنای کوچک‌تر از واحد $(0 < a < 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ منفی و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ مثبت است.

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} 5 < 0 \\ \log_{0.01} 100 < 0 \\ \log_{0.1} 0.01 > 0 \end{array}$

6- لگاریتم در مبنای $10$ را لگاریتم اعشاری می گوییم و معمولا مبنا را نمی‌نویسیم.

$\log_{10} 3 = \log 3$

تمرین

در تساوی‌های زیر $x$ را پیدا کنید.

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$ (یادآوری

$\log_{4} 1 = x$

$\log_{4} 1 = x \Rightarrow 1 = 4^{x} \Rightarrow x = 0$

$\log_{2} 8 = x$

$\log_{2} 8 = x \Rightarrow 8 = 2^{x} \Rightarrow 2^{3} = 2^{x} \Rightarrow x = 3$

$\log_{10} 0 / 01 = x$

$\log_{10} 0 / 01 = x \Rightarrow 0 / 01 = 10^{x} \Rightarrow \frac{1}{100} = 10^{x} \Rightarrow 10^{- 2} = 10^{x} \Rightarrow x = - 2$

$\log_{\frac{1}{6}} 36 = x$

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{6}} 36 = x \\ \Rightarrow 36 = {(\frac{1}{6})}^{x} \\ \Rightarrow 6^{2} = {(6^{- 1})}^{x} \\ \Rightarrow 6^{2} = 6^{- x} \\ \Rightarrow - x = 2 \\ \Rightarrow x = - 2 \end{array}$

$\log_{x} 16 = 2$

$\log_{x} 16 = 2 \Rightarrow 16 = x^{2} \Rightarrow 4^{2} = x^{2} \Rightarrow x = 4$

$\log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x$

$\begin{array}{l} \log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x \\ \Rightarrow 5 \sqrt{5} = {(\sqrt[4]{5})}^{x} \\ \Rightarrow {(5 \sqrt{5})}^{4} = {(\sqrt[4]{5})}^{4 x} \\ \Rightarrow 5^{4} \times 5^{2} = 5^{x} \\ \Rightarrow 5^{6} = 5^{x} \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

$\log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14}$

$\begin{array}{l} \log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14} \\ \Rightarrow x = {(a^{2} \sqrt[3]{a})}^{\frac{9}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{2 \times 9} \sqrt[3]{a^{9}})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{18} \cdot a^{3})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{21})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a)}^{\frac{21}{14}} \\ \Rightarrow x = a^{\frac{3}{2}} \end{array}$

$\log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2}$

$\begin{array}{l} \log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2} \\ \Rightarrow x = {(3 \sqrt[3]{3})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = {(3^{1} \times 3^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = {(3^{\frac{4}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = 3^{- 2} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{9} \end{array}$

$\log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1$

$\begin{array}{l} \log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1 \\ \Rightarrow (2 + \sqrt{3}) = x^{- 1} \\ \Rightarrow 2 + \sqrt{3} = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \\ \Rightarrow x = 2 - \sqrt{3} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لگاریتم

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

تعریف لگاریتم

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟