سرفصل‌های این مبحث

لگاریتم

تعریف لگاریتم

آخرین ویرایش: 24 دی 1402

دسته‌بندی: لگاریتم

امتیاز:

نظر کاربران: 2 تعداد نظرهای ثبت شده

فرض کنیم عدد $a$ مثبت و مخالف یک باشد، اگر اعدادی مانند $N$ و $x$ داشته باشیم به‌طوری‌که در تساوی زیر صدق کنند:

$N = a^{x}$

بنا به تعریف می‌گوییم لگاریتم $N$ در مبنای $a$ مساوی $x$ است و داریم:

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

عدد $x$ را لگاریتم گوییم.
عدد $a$ را مبنا گوییم. $(a > 0, a \neq 1)$
عدد $N$ را آنتی لگاریتم یا عدد ما‌به‌ازاء گوییم. $(N > 0)$

به‌عنوان نمونه، داریم:

$\begin{array}{l} i f N = a^{x} \Leftrightarrow l o g_{a} N = x i f l o g_{a} N = x \Leftrightarrow N = a^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 8 = 2^{3} \Leftrightarrow \log_{2} 8 = 3 i f \log_{4} 16 = 2 \Leftrightarrow 16 = 4^{2} \end{array}$

$i f 81 = 3^{4} \Leftrightarrow \log_{3} 81 = 4 i f \log_{3} \frac{1}{27} = - 3 \Leftrightarrow \frac{1}{27} = 3^{- 3}$

تذکر

چون $a$ عددی مثبت است و عدد مثبت به هر توان که برسد مثبت است پس $a^{x}$ همواره مثبت در نتیجه $N$ همواره مثبت است، به‌همین علت است که می‌گوئیم اعداد منفی و صفر لگاریتم ندارند.

نکته

1- اعداد منفی لگاریتم ندارند. $(N > 0)$

2- لگاریتم صفر تعریف نشده است. $(N \neq 0)$

3- مبنای لگاریتم عددی مثبت و مخالف صفر و یک است. $(a > 0, a \neq 1)$

بنابراین مبناها را به دو دسته $\{\begin{cases} 0 < a < 1 \\ a > 1 \end{cases}$ تقسیم می‌کنیم.

4- در مبنای بزرگ‌تر از واحد یعنی $(a > 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ مثبت و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ منفی است.

$\begin{array}{l} \log_{10} 3 > 0 \\ \log_{2} 8 > 0 \\ \log_{10} 0.5 < 0 \\ \log_{_{2}} \frac{1}{8} < 0 \end{array}$

5- در مبنای کوچک‌تر از واحد $(0 < a < 1)$ لگاریتم اعداد بزرگ‌تر از $1$ منفی و لگاریتم اعداد کوچک‌تر از $1$ مثبت است.

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} 5 < 0 \\ \log_{0.01} 100 < 0 \\ \log_{0.1} 0.01 > 0 \end{array}$

6- لگاریتم در مبنای $10$ را لگاریتم اعشاری می گوییم و معمولا مبنا را نمی‌نویسیم.

$\log_{10} 3 = \log 3$

تمرین

در تساوی‌های زیر $x$ را پیدا کنید.

$\log_{4} 1 = x$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{matrix} \log_{4} 1 = x \\ \Rightarrow 1 = 4^{x} \\ \Rightarrow x = 0 \end{matrix}$

$\log_{2} 8 = x$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{matrix} \log_{2} 8 = x \\ \Rightarrow 8 = 2^{x} \\ \Rightarrow 2^{3} = 2^{x} \\ \Rightarrow x = 3 \end{matrix}$

$\log_{10} 0 / 01 = x$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{matrix} \log_{10} 0 / 01 = x \\ \Rightarrow 0 / 01 = 10^{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{100} = 10^{x} \\ \Rightarrow 10^{- 2} = 10^{x} \\ \Rightarrow x = - 2 \end{matrix}$

$\log_{\frac{1}{6}} 36 = x$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{6}} 36 = x \\ \Rightarrow 36 = {(\frac{1}{6})}^{x} \\ \Rightarrow 6^{2} = {(6^{- 1})}^{x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6^{2} = 6^{- x} \\ \Rightarrow - x = 2 \\ \Rightarrow x = - 2 \end{array}$

$\log_{x} 16 = 2$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{matrix} \log_{x} 16 = 2 \\ \Rightarrow 16 = x^{2} \\ \Rightarrow 4^{2} = x^{2} \\ \Rightarrow x = 4 \end{matrix}$

$\log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{array}{l} \log_{\sqrt[4]{5}} 5 \sqrt{5} = x \\ \Rightarrow 5 \sqrt{5} = {(\sqrt[4]{5})}^{x} \\ \Rightarrow {(5 \sqrt{5})}^{4} = {(\sqrt[4]{5})}^{4 x} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5^{4} \times 5^{2} = 5^{x} \\ \Rightarrow 5^{6} = 5^{x} \\ \Rightarrow x = 6 \end{array}$

$\log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14}$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{array}{l} \log_{a^{2} \sqrt[3]{a}} x = \frac{9}{14} \\ \Rightarrow x = {(a^{2} \sqrt[3]{a})}^{\frac{9}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{2 \times 9} \sqrt[3]{a^{9}})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a^{18} \cdot a^{3})}^{\frac{1}{14}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = {(a^{21})}^{\frac{1}{14}} \\ \Rightarrow x = {(a)}^{\frac{21}{14}} \\ \Rightarrow x = a^{\frac{3}{2}} \end{array}$

$\log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2}$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{array}{l} \log_{3 \sqrt[3]{3}} x = - \frac{3}{2} \\ \Rightarrow x = {(3 \sqrt[3]{3})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = {(3^{1} \times 3^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow x = {(3^{\frac{4}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x = 3^{- 2} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{9} \end{array} \end{matrix}$

$\log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1$

$i f N = a^{x} \Leftrightarrow \log_{a} N = x$

$\begin{array}{l} \log_{x} (2 + \sqrt{3}) = - 1 \\ \Rightarrow (2 + \sqrt{3}) = x^{- 1} \\ \Rightarrow 2 + \sqrt{3} = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \\ \Rightarrow x = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \\ \Rightarrow x = 2 - \sqrt{3} \end{array}$

تمرین

المپیاد ریاضی 1401

هرگاه برای اعداد حقیقی $a$ و $b$ داشته باشیم:

$\{\begin{cases} b > a > 1 \\ a^{b} = b^{a} \\ \log_{a} b + \log_{a} a = \frac{5}{2} \end{cases}$

مقدارعددی $a + b$ چند است؟

$i f \log_{a} b = t \Rightarrow \log_{b} a = \frac{1}{t}$

$\begin{array}{l} \log_{a} b + \log_{a} a = \frac{5}{2}; b > a > 1 \\ \Rightarrow t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} t = 2 \\ t = \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\log_{a} b = t \overset{t = 2}{\to} \log_{a} b = 2 \Rightarrow b = a^{2}$

$\begin{array}{l} a^{b} = b^{a}; b = a^{2} \\ \Rightarrow a^{a^{2}} = {(a^{2})}^{a} \\ \Rightarrow a^{a^{2}} = a^{2 a} \\ \Rightarrow a^{2} = 2 a \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} - 2 a = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ a = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} b = a^{2} = 4 \\ a = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow a + b = 6 \end{array}$

تمرین

آزمون هاروارد 2023

اگر $a, b$ اعداد حقیقی مثبت باشند و داشته باشیم:

$\{\begin{cases} a {.2}^{b} = 8 \\ a^{b} = 2 \end{cases}$

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a}$

همه مجهولات را برحسب $b$ می‌نویسیم:

$a^{b} = 2 \Rightarrow a = 2^{\frac{1}{b}} \Rightarrow \log_{2} a = \frac{1}{b}$

$\begin{array}{l} a {.2}^{b} = 8; a = 2^{\frac{1}{b}} \\ \Rightarrow (2^{\frac{1}{b}}) {.2}^{b} = 8 \\ \Rightarrow 2^{\frac{1}{b} + b} = 2^{3} \\ \Rightarrow \frac{1}{b} + b = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{b^{2}} . {(2^{\frac{1}{b}})}^{\frac{1}{b}}; \{\begin{cases} \log_{2} a = \frac{1}{b} \\ a = 2^{\frac{1}{b}} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{b^{2}} {.2}^{\frac{1}{b^{2}}} \\ \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{b^{2} + \frac{1}{b^{2}}} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{{(b + \frac{1}{b})}^{2} - 2}; \frac{1}{b} + b = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{{(3)}^{2} - 2} \\ \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 2^{7} \\ \Rightarrow 2^{b^{2}} . a^{\log_{2} a} = 128 \end{array} \end{array}$

تمرین

برای اعداد حقیقی مثبت $m$ و $n$ داریم:

$\log_{11} 3 n = \log_{13} (m + 6 n) = \log_{143} m^{2}$

باقیمانده $\frac{m}{n}$ بر $4$ را بیابید.

تساوی های فوق را برابر $k$ در نظر می‌گیریم:

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} \log_{11} 3 n = k \Rightarrow 3 n = 11^{k} \\ \log_{13} (m + 6 n) = k \Rightarrow m + 6 n = 13^{k} \end{array} \\ \log_{143} m^{2} = k \Rightarrow m^{2} = 143^{k} \end{cases}$

$\begin{matrix} 3 n \times (m + 6 n) = 11^{k} \times 13^{k} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 3 n \times (m + 6 n) = 11^{k} \times 13^{k} \\ \Rightarrow 3 n \times (m + 6 n) = 143^{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 n \times (m + 6 n) = m^{2}; m^{2} = 143^{k} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - 3 m n - 18 n^{2} = 0 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow (m - 6 n) (m + 3 n) = 0; m, n > 0 \end{array} \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} m - 6 n = 0 \Rightarrow \frac{m}{n} = 6 \\ m + 3 n = 0 \otimes \end{cases}$

باقیمانده $\frac{m}{n} = 6$ بر عدد $4$ برابر است با عدد $2$ .

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

محمدتقی ضیاوند
05 اسفند 1402

بی نظیر هست برخلاف کتابا که ادم رو به اشتباه میندازن این کاملا مناسبه
امیر مسعود پارسا
15 دی 1402

واقعا بی نظیره این زحماتی که کشیدید . خداقوت. دست تک تک کسایی که زحمت این کار بی نظیر رو کشیدند میبوسم

لگاریتم

تعریف لگاریتم

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟