پیشامد (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 45 مرتبه

تعریف پیشامد

در یک فضای نمونه متناهی، هر زیر مجموعه از این فضای نمونه را یک پیشامد گویند.

می‌گوییم پیشامد A به‌وقوع پیوسته است، هرگاه نتیجه آزمایش تصادفی، یکی از اعضای پیشامد باشد.

نکته

اگر A پیشامدی از فضای نمونه S باشد ، تعداد عضوهای آن را با nA نشان می‌دهیم.

اگر فضای نمونه‌ای n عضوی باشد، تعداد پیشامدها در یک آزمایش تصادفی برابر 2n است.

انواع پیشامد

پیشامد ساده

اگر پیشامدی تنها یک عضو داشته باشد آن را پیشامد ساده گویند.

پیشامد مرکب

اگر پیشامدی بیش از یک عضو داشته باشد آن را پیشامد مرکب گویند.

پیشامد محال

اگر پیشامدی هیچ عضو نداشته باشد آن را پیشامد محال گویند.

پیشامد حتمی

اگر پیشامدی، برابر فضای نمونه S باشد آن را پیشامد حتمی گویند.

تمرین

یک جفت تاس را یک مرتبه پرتاب می‌کنیم:

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

پیشامد - پیمان گردلو


S=1,1  ,  1,2  ,  ...  ,  2,1  ,   2,2  ,  ...  ,  6,6

پیشامد این‌که مجموع دو تاس کمتر از سه باشد:

E1=1,1


همان‌طور که مشاهده می‌شود، E1 پیشامدی یک عضوی است بنابراین یک پیشامد ساده محسوب می‌شود. 

پیشامد این‌که مجموع دو تاس بیشتر از ده باشد:

E2=5,6,6,5,6,6


همان‌طور که مشاهده می‌شود، E2 پیشامدی چند عضوی است بنابراین یک پیشامد مرکب محسوب می‌شود. 

پیشامد این‌که مجموع دو تاس حداکثر یک باشد:

E3==


همان‌طور که مشاهده می‌شود E3 پیشامدی است که عضوی ندارد، بنابراین یک پیشامد محال محسوب می‌شود.

پیشامد این‌که مجموع دو تاس حداقل دو باشد:

E4=S=1,1,1,2,...,2,1,2,2,...,6,6=S


همان‌طور که مشاهده می‌شود E4 پیشامدی است که همه فضای نمونه S را در بر می‌گیرد، بنابراین یک پیشامد حتمی است. 

تمرین

هر یک از اعداد فرد و طبیعی کوچک‌تر از 18 را روی یک کارت نوشته و یکی از این کارت‌ها را به تصادف بر می‌داریم:

فضای نمونه این آزمایش تصادفی را مشخص کنید.

S=1,3,5,7,9,11,13,15,17

پیشامد A که در آن عدد روی کارت بر 3 بخش پذیر باشد.

A=3,9,15

پیشامد B که در آن روی عدد کارت اول یا زوج باشد.

B=3,5,7,11,13,17=3,5,7,11,13,17

تمرین

تمام اعداد دو رقمی را  که با ارقام 5,4,2,1 می‌توان ساخت، روی کارت‌های متمایزی نوشته و در یک کیسه قرار می‌دهیم و سپس یکی از این کارت‌ها را به تصادف خارج می‌کنیم، مطلوب است:

اگر تکرار ارقام مجاز نباشد، فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

S=12,14,15,21,24,25,41,42,45,51,52,54nS=12

پیشامد A که در آن عدد روی کارت مضرب 4 باشد. 

A=12,24,52nA=3

پیشامد B که در آن عدد روی کارت کوچک‌تر از 40 باشد.

B=12,14,15,21,24,25

پیشامد C که در آن عدد روی کارت مضرب 4 باشدیا عدد روی کارت کوچک‌تر از 40 باشد.   

C=AB=12,14,15,21,24,25,52

اگر تکرار ارقام مجاز باشد، فضای نمونه این آزمایش تصادفی را بنویسید.

S=11,12,14,15,21,22,24,25,41,42,44,45,51,52,54,55nS=16

پیشامد A که در آن عدد روی کارت مضرب 4 باشد. 

A=12,24,44,52

پیشامد B که در آن عدد روی کارت کوچک‌تر از 40 باشد.

B=11,12,14,15,21,22,24,25

پیشامد C که در آن عدد روی کارت مضرب 4 باشدیا عدد روی کارت کوچک‌تر از 40 باشد.   

C=AB=11,12,14,15,21,22,24,25,44,52

پیشامد ناسازگار

دو پیشامد A و B را ناسازگار گویند، هرگاه اشتراک آنها تهی باشد، به عبارت دیگر هر دو نتوانند همزمان اتفاق بیافتد.

پیشامدهای An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 را دوبه‌دو ناسازگارگویند، هرگاه:

ij  ,  AiAj=

تمرین

یک تاس را پرتاب می‌کنیم:

پیشامد مشاهده عدد زوج را بنویسید:

A=2,4,6

پیشامد مشاهده عدد فرد را بنویسید:

B=1,3,5

آیا این دو پیشامد ناسازگار هستند؟

بله.

AB=

تمرین

خانواده‌ای دارای چهار فرزند است.

تعداد اعضای فضای نمونه خانواده چهار نفره را بنویسید.

جدول زیر اعضای فضای نمونه‌ خانواده‌ای که چهار فرزند دارد را نشان می‌دهد. در این جدول B نماینده فرزند پسر و G نماینده فرزند دختر است.


پیشامد - پیمان گردلو


S=BBBB,BBBG,BBGB,BBGG,BGBB,BGBG,BGGB,BGGGGBBB,GBBG,GBGB,GBGG,GGBB,GGBG,GGGB,GGGGnS=16=24

پیشامد آن‌که در آن، فرزند سوم و چهارم دختر باشند.

A=BBGG,BGGG,GBGG,GGGG

پیشامد آن‌که در آن حداقل یک فرزند پسر باشد.

D=BBBB,BBBG,BBGB,BBGG,BGBB,BGBG,BGGB,BGGGGBBB,GBBG,GBGB,GBGG,GGBB,GGBG,GGGB

پیشامد آن‌که در آن تعداد فرزندان دختر از تعداد فرزندان پسر بیشتر باشد.

C=BGGG,GBGG,GGBG,GGGB

آیا پیشامد‌های A و C ناسازگارند؟

این دو پیشامد سازگارند، زیرا اشتراک آنها تهی نیست:

AC=BGGG,GBGG

پیشامد فرسا

اگر پیشامدهای An,...,A2,A1 همه نتایج ممکن را در برگیرند، یعنی امکان نداشته باشد که در اثر آزمایش هیچ‌کدام از An,...,A2,A1 رخ ندهد، در این‌صورت پیشامدها را فرسا گوییم.

پیشامد‌های هم‌شناس 

اگر شرایط آزمایش به‌گونهای باشد که احتمال وقوع هر یک از پیشامدهای An,...,A2,A1 برابر باشند، در این‌صورت پیشامدها را هم‌شانس یا هم‌تراز گوییم. 

به‌عنوان پیشامدهای حاصل از پرتاب دو سکه سالم را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

A1 پیشامد رخ دادن دو شیر

A2 پیشامد رخ دادن دو خط

A3 پیشامد رخ دادن یک شیر و یک خط

به‌سادگی ملاحظه می‌شود این پیشامدها همتراز (همشانس) نیستند، زیرا مثلا شانس وقوع A3 دو برابر شانس وقوع A1 یا A2 است، ولی اگر پیشامدهای حاصل از پرتاب دو سکه سالم را به‌صورت زیر در نظر بگیریم:

A1 پیشامد رخ دادن سکه اول شیر و سکه دوم خط

A2 پیشامد رخ دادن سکه اول خط و سکه دوم شیر   

A3 پیشامد رخ دادن دو شیر

A4 پیشامد رخ دادن دو خط

واضح است که پیشامدهای فوق، فرسا، ناسازگار می‌باشند. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

پیشامد (تعریف)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید