لیست

سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 06 دی 1400

دسته‌بندی: سیگما

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف سیگما

برای نشان دادن مجموع $n$ عدد $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}$ به‌صورت زیر:

$a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}; n \in N$

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \\ \sum_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

در تساوی فوق $m$ و $n$ هر دو عددی صحیح هستند و $m \leq n$ است.

عدد $m$ را حد پایین مجموع می‌گویند.
عدد $n$ را حد بالای مجموع می‌گویند.
علامت $k$ را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}}$

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{6}}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2)$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2) = [3 (- 2) + 2] + [3 (- 1) + 2] + [3 (0) + 2] + [3 (1) + 2] + [3 (2) + 2]$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3}$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i)$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i) = F (2) + F (3) + F (4) + F (5)$

$\sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1} & = \frac{0}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{2 + 1} + \frac{3}{3 + 1} + \frac{4}{4 + 1} \end{aligned}$

$\sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1} & = 2^{4} x^{9} + 2^{5} x^{11} + 2^{6} x^{13} = 16 x^{9} + 32 x^{11} + 64 x^{13} \end{aligned}$

$\sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*})$

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*}) & = f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + f (x_{3}^{*}) + f (x_{4}^{*}) \end{aligned}$

خواص سیگما

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

$\sum_{k = 1}^{n} b a_{k} = b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}; (b \in R)$

$\sum_{k = 1}^{n} b = n b$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + (a_{n + 1})$

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} : n < m; m, n \in ℕ$

$\sum_{i = m}^{n} a = (n - m + 1) a$

$\sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m}^{k} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} a_{i} : m \leq k < n; n, k, m \in Ζ$

$\{\begin{cases} \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \\ \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m + k}^{n + k} a_{i - k} \end{cases}$

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

$\sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) = a_{n + 1} - a_{m}$

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) = a_{n} - a_{0}$

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

$\sum_{i = i_{0}}^{n} (a_{i} b_{i}) \neq (\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}) (\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i})$

$\sum_{i = i_{0}}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}}{\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i}}$

تمرین

سیگمای زیر را محاسبه کنید.

$\sum_{i = 1}^{100} {(3 - 2 i)}^{2}$

$\begin{aligned} = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 i + 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - \sum_{i = 1}^{100} 12 i + \sum_{i = 1}^{100} 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 \sum_{i = 1}^{100} i + 4 \sum_{i = 1}^{100} i^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} = 9 (100) - 12 (\frac{100 (101)}{2}) + 4 (\frac{100 (101) (201)}{6}) \\ = 1293700 \end{aligned}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

4,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف سیگما

خواص سیگما

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟