برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1400
دسته‌بندی: سیگما
امتیاز:

تعریف سیگما

برای نشان دادن مجموع n عدد a1  ,  a2  ,  a3  ,  ...  ,  an به‌صورت زیر:

a1+a2+...+an

می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم: 

k=1nak    ;    nN

بنابراین داریم:

k=1nak=a1+a2++ank=mnak=am+am+1+am+2++an1+an

در تساوی فوق m و n هر دو عددی صحیح هستند و mn است.

  • عدد m را حد پایین مجموع می‌گویند.
  • عدد n را حد بالای مجموع می‌گویند.
  • علامت k را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

k=1612k

k=1612k=121+122+123++126

i=15i2

i=15i2=12+22+32+42+52

i=223i+2

i=223i+2=32+2+31+2+30+2+31+2+32+2

j=1nj3

j=1nj3=13+23+33++n3

k=381k

k=381k=13+14+15+16+17+18

i=25Fi

i=25Fi=F2+F3+F4+F5

i=04ii+1

i=04ii+1=00+1+11+1+22+1+33+1+44+1

i=462ix2i+1

i=462ix2i+1=24x9+25x11+26x13=16x9+32x11+64x13

i=14f(xi)

i=14f(xi)=f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

قضایای سیگما

قضیه

 k=1nak±bk=k=1nak±k=1nbk

اثبات

k=1nak±bk

=a1±b1+a2±b2++an±bn

=a1+a2++an±b1+b2+...+bn

=k=1nak±k=1nbk

قضیه

k=1nbak=bk=1nak    ;    bR

اثبات

k=1nbak

=ba1+ba2++ban

=ba1+a2++an

=bk=1nak

قضیه

 k=1nb=nb

اثبات

k=1nb

=b+b++bn

=nb

قضیه

k=1n+1ak=k=1nak+an+1

اثبات

k=1n+1ak

=a1+a2+...+an+an+1

=k=1nak+an+1

قضیه

 k=1nak+k=n+1mak=k=1mak:n<m    ;    m,n

اثبات

k=1nak=a1+a2+...+ank=n+1mak=an+1+an+2+...+am

k=1nak+k=n+1mak

=a1+a2++an+an+1+an+2++am

=k=1mak

قضیه

 i=mna=nm+1a

اثبات

یادآوری)

k=1nb=b+b+...+bn=b+b+...+bn1+1=n1+1b=nb

i=mna=a+a+a....+anm+1=nm+1a=nm+1a

قضیه

 i=mnai=i=mkai+i=k+1nai  :  mk<n    ;    n,k,mΖ

اثبات

i=mkai+i=k+1nai

=am+am+1+....+ak+ak+1+ak+2+....+an

=am+am+1+....+ak+ak+1+ak+2+....+an

=i=mnai

قضیه

 i=mnai=i=mknkai+ki=mnai=i=m+kn+kaik

اثبات

i=mknkai+k

=amk+k+amk+1+k+amk+2+k++ank1+k+ank+k

=am+am+1+am+2++an1+an

=i=mnai

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

قضیه

 i=mnai+1ai=an+1am

اثبات

i=mnai+1ai

i=mnai+1i=mnai

=i=m+1n+1aii=mnai

=i=m+1nai+an+1i=m+1nai+am

=an+1am

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

قضیه

 i=1naiai1=ana0

اثبات

i=1naiai1i=1naii=1nai1=i=1n1ai+ani=11n1ai+11=i=1n1ai+ani=0n1ai=i=1n1ai+ana0+i=1n1ai=ana0

قضیه

 i=1ni=nn+12

اثبات

i=1ni=1+2++n1+ni=1ni=n+n1+n2++2+1

دو طرف تساوی ها را با هم جمع می‌کنيم: 

2i=1ni=n+1+n+1++n+1

2i=1ni=nn+1

i=1ni=nn+12

قضیه

i=1ni2=nn+12n+16

اثبات

i13=i33i2+3i1

i3i13=3i23i+1

i=1ni3i13=i=1n3i23i+1

Fnf0=3i=1ni23i=1ni+i=1n1    ;    Fi=i3

n30=3i=1ni23nn+12+n

3i=1ni2=n3+32nn+1n

i=1ni2=n2n2+3n+16

i=1ni2nn+12n+16

قضیه

i=1ni3=n2n+124

اثبات

i14=i44i3+6i24i+1

i4i14=4i36i2+4i1

i=1ni4i14=i=1n4i36i2+4i1

FnF0=4i=1ni36i=1ni2+4i=1nii=1n1    ;    Fi=i4

n4=4i=1ni36nn+12n+16+4nn+12n

i=1ni3=n2n+124

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

i=i0n(aibi)(i=i0nai)(i=i0nbi)

i=i0naibii=i0naii=i0nbi

تمرین

سیگماهای زیر را محاسبه کنید.

i=1100(32i)2

=i=1100912i+4i2=i=11009i=110012i+i=11004i2=i=1100912i=1100i+4i=1100i2


=9(100)12(100(101)2)+4(100(101)(201)6)=1293700

k=1100kk+1!

kk+1!=k+11k+1!=k+1k+1!1k+1!=k+1k+1k!1k+1!=1k!1k+1!


kk+1!=1k!1k+1!


k=1100kk+1!=k=11001k!k=11001k+1!


k=1100kk+1!=11!+12!++1100!12!+13!++1101!


k=1100kk+1!=11101!


k=1100kk+1!=101!1101!

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری