سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 15 خرداد 1404

دسته‌بندی: سیگما

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

تعریف سیگما

$n$ عدد زیر را در نظر بگیرید:

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}$

این $n$ عدد را به‌صورت زیر باهم جمع می‌کنیم:

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

برای نشان دادن مجموع این $n$ عدد، می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}; n \in N$

به نماد $\sum_{}$ سیگما یا مجموع یابی $(S u m m a t i o n)$ گفته می‌شود.

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \end{array}$

$\sum_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$

در تساوی فوق $m$ و $n$ هر دو عددی صحیح هستند و $m \leq n$ است.

عدد $m$ را حد پایین مجموع می‌گویند.
عدد $n$ را حد بالای مجموع می‌گویند.
علامت $k$ را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}}$

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{6}}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2)$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2) = [3 (- 2) + 2] + [3 (- 1) + 2] + [3 (0) + 2] + [3 (1) + 2] + [3 (2) + 2]$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3}$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i)$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i) = F (2) + F (3) + F (4) + F (5)$

$\sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1} & = \frac{0}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{2 + 1} + \frac{3}{3 + 1} + \frac{4}{4 + 1} \end{aligned}$

$\sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1} & = 2^{4} x^{9} + 2^{5} x^{11} + 2^{6} x^{13} = 16 x^{9} + 32 x^{11} + 64 x^{13} \end{aligned}$

$\sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*})$

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*}) & = f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + f (x_{3}^{*}) + f (x_{4}^{*}) \end{aligned}$

قضایای سیگما

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} \pm b_{1}) + (a_{2} \pm b_{2}) + \dots + (a_{n} \pm b_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \pm (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b a_{k} = b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}; (b \in R)$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b a_{1} + b a_{2} + \dots + b a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \end{array}$

$= b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b = n b$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + \dots + b}} \end{array}$

$= n b$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + (a_{n + 1})$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) + a_{n + 1} \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} : n < m; m, n \in ℕ$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \\ \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{m} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + (a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{m}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{m} a_{k}$

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} a = (n - m + 1) a$

اثبات

یادآوری)

$\sum_{k = 1}^{n} b = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = \underset{(n - 1) + 1}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = [(n - 1) + 1] b = n b$

$\sum_{i = m}^{n} a = \underset{(n - m) + 1}{\underset{⏟}{(a + a + a .... + a)}} = [(n - m) + 1] a = (n - m + 1) a$

قضیه

null

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{k} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k}) + (a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

قضیه

$\{\begin{cases} \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \\ \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m + k}^{n + k} a_{i - k} \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{(m - k) + k} + a_{(m - k + 1) + k} + a_{(m - k + 2) + k} + \dots + a_{(n - k - 1) + k} + a_{(n - k) + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) = a_{n + 1} - a_{m}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} a_{i + 1} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = m + 1}^{n + 1} a_{i} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{n + 1}) - (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{m}) \end{array}$

$= a_{n + 1} - a_{m}$

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) = a_{n} - a_{0}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i - 1} \\ = (\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n}) - \sum_{i = 1 - 1}^{n - 1} a_{[(i + 1) - 1]} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - (a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}) \\ = a_{n} - a_{0} \end{array}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

اثبات

$\{\begin{cases} \sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + (n - 1) + n \\ \sum_{i = 1}^{n} i = n + (n - 1) + (n - 2) + \cdot \cdot \cdot + 2 + 1 \end{cases}$

دو طرف تساوی ها را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} 2 \sum_{i = 1}^{n} i = (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sum_{i = 1}^{n} i = n (n + 1) \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{3} = i^{3} - 3 i^{2} + 3 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{3} - {(i - 1)}^{3} = 3 i^{2} - 3 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{3} - {(i - 1)}^{3}] = \sum_{i = 1}^{n} [3 i^{2} - 3 i + 1] \end{array}$

$\Rightarrow F (n) - f (0) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{3}$

$\Rightarrow n^{3} - 0 = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 [\frac{n (n + 1)}{2}] + n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = n^{3} + \frac{3}{2} n (n + 1) - n \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{4} = i^{4} - 4 i^{3} + 6 i^{2} - 4 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{4} - {(i - 1)}^{4} = 4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{4} - {(i - 1)}^{4}] = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow F (n) - F (0) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + 4 \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{4} \end{array}$

$\Rightarrow n^{4} = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] + 4 [\frac{n (n + 1)}{2}] - n$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

$\sum_{i = i_{0}}^{n} (a_{i} b_{i}) \neq (\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}) (\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i})$

$\sum_{i = i_{0}}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}}{\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i}}$

تمرین

سیگما های زیر را محاسبه کنید.

$\sum_{k = 1}^{100} 5$

$\sum_{k = 1}^{100} 5 = 100 \times 5 = 500$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k$

یادآوری)

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1} \end{array}$

$\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n + 1} k = \sum_{k = 1}^{n} k + (n + 1) = n k + n + 1 = n (k + 1) + 1 \end{matrix}$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k (k + 1)$

یادآوری)

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1} \end{array}$

$\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n + 1} k (k + 1) = \sum_{k = 1}^{n} k (k + 1) + (n + 1) (n + 2) \end{matrix}$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k!$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k! = \sum_{k = 1}^{n} k! + (n + 1)!$

$\sum_{i = 10}^{21} a$

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} a = (n - m + 1) a \\ \sum_{i = 10}^{21} a = (21 - 10 + 1) a = 12 a \end{array}$

$\sum_{i = 1}^{6} (3 i - 2)$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{6} (3 i - 2) \\ = 3 \sum_{i = 1}^{6} i - 2 \sum_{i = 1}^{6} 1 \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = 3 [\frac{n}{2} (n + 1)] - 2 (6); n = 6 \\ = 63 - 12 \\ = 51 \end{array} \end{matrix}$

$\sum_{i = 1}^{7} {(i + 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{7} {(i + 1)}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{7} (i^{2} + 2 i + 1) \\ = \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} = [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] + 2 [\frac{n}{2} (n + 1)] + 7 (7); n = 7 \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} = 245 \end{matrix}$

$\sum_{i = 2}^{5} \frac{i}{i - 1}$

$\sum_{i = 2}^{5} \frac{i}{i - 1} = \frac{2}{1} + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4}$

$\sum_{i = 3}^{6} \frac{2}{i (i - 2)}$

$\sum_{i = 3}^{6} \frac{2}{i (i - 2)} = \frac{2}{3} + \frac{2}{8} + \frac{2}{15} + \frac{2}{24}$

$\sum_{i = 1}^{20} 3 i (i^{2} + 2)$

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{20} 3 i (i^{2} + 2) \\ = \sum_{i = 1}^{20} (3 i^{3} + 6 i) \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} = 3 \sum_{i = 1}^{20} i^{3} + 6 \sum_{i = 1}^{20} i \end{array} \end{array}$

$\begin{matrix} = 3 [\frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}] + 6 [\frac{n (n + 1)}{2}]; n = 20 \end{matrix}$

$\sum_{i = 1}^{100} {(3 - 2 i)}^{2}$

$\begin{aligned} = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 i + 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - \sum_{i = 1}^{100} 12 i + \sum_{i = 1}^{100} 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 \sum_{i = 1}^{100} i + 4 \sum_{i = 1}^{100} i^{2} \end{aligned}$

$= 9 (100) - 12 (\frac{100 (101)}{2}) + 4 (\frac{100 (101) (201)}{6})$

$= 1293700$

$\sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!}$

$\frac{k}{(k + 1)!} = \frac{k + 1 - 1}{(k + 1)!} = \frac{k + 1}{(k + 1)!} - \frac{1}{(k + 1)!} = \frac{k + 1}{(k + 1) k!} - \frac{1}{(k + 1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!}$

$\begin{array}{l} \frac{k}{(k + 1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k!} - \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{(k + 1)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{100!}) - (\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{101!}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = 1 - \frac{1}{101!} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = \frac{101! - 1}{101!}$

تمرین

با توجه به شرط های بیان شده، سیگماهای مورد نظر را محاسبه کنید.

$i f \sum_{x = 1}^{n} (4 x + 1) = 2 n \Rightarrow \sum_{x = 1}^{n} x = ?$

$\begin{array}{l} \sum_{x = 1}^{n} (4 x + 1) = 2 n \\ \Rightarrow \sum_{x = 1}^{n} 4 x + \sum_{x = 1}^{n} 1 = 2 n \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 \sum_{x = 1}^{n} x + n = 2 n \\ \Rightarrow 4 \sum_{x = 1}^{n} x = n \\ \Rightarrow \sum_{x = 1}^{n} x = \frac{n}{4} \end{array}$

$i f \sum_{k = 1}^{n} (a x_{k} + b) = L \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = ?$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} (a x_{k} + b) = L \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a x_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b = L \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow a \sum_{k = 1}^{n} x_{k} + n b = L \\ \Rightarrow a \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = L - n b \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = \frac{L - n b}{a} \end{array} \end{matrix}$

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - x_{k - 1}) = x_{n} - x_{0}$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - x_{k - 1}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} - \sum_{k = 1}^{n} x_{k - 1} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}) - (x_{0} + x_{1} + ... + x_{n - 1}) \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = x_{n} - x_{0} \end{array}$

$\sum_{k = 1}^{n} [a + (k - 1) d] = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} [a + (k - 1) d] \\ = \sum_{k = 1}^{n} [a + k d - d] \\ = \sum_{k = 1}^{n} [(a - d) + k d] \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = \sum_{k = 1}^{n} (a - d) + \sum_{k = 1}^{n} k d \\ = n (a - d) + d \sum_{k = 1}^{n} k \\ = n (a - d) + d (1 + 2 + ... + n) \\ = n (a - d) + d [\frac{n (n + 1)}{2}] \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} = \frac{n}{2} [2 (a - d) + d (n + 1)] \\ = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] \end{array} \end{matrix}$

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 7} + \dots + \frac{1}{1001 \times 2001}$

این عبارت را با نماد سیگما نمایش دهید.

اگر مخرج هر کسر را در نظر بگيريم و عدد اول را به $i$ و عدد دوم را به $(2 i - 1)$ نشان دهيم، می‌توانيم عبارت فوق را برحسب سیگما به‌صورت زیر بنویسیم.

$\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \dots + \frac{1}{1001 \times 2001} = \sum_{i = 2}^{1001} \frac{1}{i (2 i - 1)}$

تمرین

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.

$A = 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7 + ... + (n + 1) (2 n + 1)$

یادآوری)

$\{\begin{cases} \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \\ \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} A = (2 \times 3) + (3 \times 5) + (4 \times 7) + ... + (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sum_{i = 1}^{n} (i + 1) (2 i + 1) \\ \Rightarrow A = \sum_{i = 1}^{n} (2 i^{2} + 3 i + 1) \\ \Rightarrow A = 2 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + 3 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1 \end{array}$

$\Rightarrow A = 2 [\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)] + 3 [\frac{1}{2} n (n + 1)] + n$

تمرین

دنباله $\{a_{n}\}$ با رابطه بازگشتی زير تعريف شده است:

$\{\begin{cases} a_{1} = a_{2} = 1 \\ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} \end{cases}$

حاصل عبارت های زير را بر حسب جمله هايی از دنباله محاسبه کنيد.

$\sum_{k}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

$\begin{array}{l} a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} \\ \Rightarrow a_{k + 2} = a_{k + 1} + a_{k} \\ \Rightarrow a_{k} = a_{k + 2} - a_{k + 1} \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (a_{k + 2} - a_{k + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = (a_{3} + a_{4} + ... + a_{n + 2}) - (a_{2} + a_{3} + ... + a_{n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{n + 2} - a_{2}; a_{2} = 1 \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{n + 2} - 1 \end{array}$

$\sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = a_{2} + a_{4} + ... + a_{2 n}$

$\begin{array}{l} a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{(2 n - 1) + 2} = a_{(2 n - 1) + 1} + a_{(2 n - 1)}; n \to 2 n - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a_{2 n + 1} = a_{2 n} + a_{2 n - 1} \\ \Rightarrow a_{2 n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1} \\ \Rightarrow a_{2 k} = a_{2 k + 1} - a_{2 k - 1} \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = \sum_{k = 1}^{n} (a_{2 k + 1} - a_{2 k - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = (a_{3} - a_{1}) + (a_{5} - a_{3}) + \dots + (a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = a_{2 n + 1} - a_{1} \\ \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = a_{2 n + 1} - 1 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$A = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$

$A = \frac{π^{2}}{6}$
$A = \frac{π^{2}}{3}$
$A = \frac{π^{2}}{2}$
$A = \frac{π^{2}}{4}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

4oo4e

18 مهر 1401

عالی بود

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف سیگما

قضایای سیگما

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟