سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 04 آبان 1404

دسته‌بندی: سیگما

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

تعریف سیگما

$n$ عدد زیر را در نظر بگیرید:

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}$

این $n$ عدد را به‌صورت زیر باهم جمع می‌کنیم:

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

برای نشان دادن مجموع این $n$ عدد، می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}; n \in N$

به نماد $\sum_{}$ سیگما یا مجموع یابی $(S u m m a t i o n)$ گفته می‌شود.

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \end{array}$

$\sum_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$

در تساوی فوق $m$ و $n$ هر دو عددی صحیح هستند و $m \leq n$ است.

عدد $m$ را حد پایین مجموع می‌گویند.
عدد $n$ را حد بالای مجموع می‌گویند.
علامت $k$ را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}}$

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{6}}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2)$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2) = [3 (- 2) + 2] + [3 (- 1) + 2] + [3 (0) + 2] + [3 (1) + 2] + [3 (2) + 2]$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3}$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i)$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i) = F (2) + F (3) + F (4) + F (5)$

$\sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1} & = \frac{0}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{2 + 1} + \frac{3}{3 + 1} + \frac{4}{4 + 1} \end{aligned}$

$\sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1} & = 2^{4} x^{9} + 2^{5} x^{11} + 2^{6} x^{13} = 16 x^{9} + 32 x^{11} + 64 x^{13} \end{aligned}$

$\sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*})$

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*}) & = f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + f (x_{3}^{*}) + f (x_{4}^{*}) \end{aligned}$

قضایای سیگما

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} \pm b_{1}) + (a_{2} \pm b_{2}) + \dots + (a_{n} \pm b_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \pm (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b a_{k} = b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}; (b \in R)$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b a_{1} + b a_{2} + \dots + b a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \end{array}$

$= b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b = n b$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + \dots + b}} \end{array}$

$= n b$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + (a_{n + 1})$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) + a_{n + 1} \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} : n < m; m, n \in ℕ$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \\ \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{m} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + (a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{m}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{m} a_{k}$

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} a = (n - m + 1) a$

اثبات

یادآوری)

$\sum_{k = 1}^{n} b = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = \underset{(n - 1) + 1}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = [(n - 1) + 1] b = n b$

$\sum_{i = m}^{n} a = \underset{(n - m) + 1}{\underset{⏟}{(a + a + a .... + a)}} = [(n - m) + 1] a = (n - m + 1) a$

قضیه

null

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{k} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k}) + (a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

قضیه

$\{\begin{cases} \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \\ \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m + k}^{n + k} a_{i - k} \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{(m - k) + k} + a_{(m - k + 1) + k} + a_{(m - k + 2) + k} + \dots + a_{(n - k - 1) + k} + a_{(n - k) + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) = a_{n + 1} - a_{m}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} a_{i + 1} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = m + 1}^{n + 1} a_{i} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{n + 1}) - (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{m}) \end{array}$

$= a_{n + 1} - a_{m}$

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) = a_{n} - a_{0}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i - 1} \\ = (\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n}) - \sum_{i = 1 - 1}^{n - 1} a_{[(i + 1) - 1]} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - (a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}) \\ = a_{n} - a_{0} \end{array}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

اثبات

$\{\begin{cases} \sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + (n - 1) + n \\ \sum_{i = 1}^{n} i = n + (n - 1) + (n - 2) + \cdot \cdot \cdot + 2 + 1 \end{cases}$

دو طرف تساوی ها را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} 2 \sum_{i = 1}^{n} i = (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sum_{i = 1}^{n} i = n (n + 1) \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{3} = i^{3} - 3 i^{2} + 3 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{3} - {(i - 1)}^{3} = 3 i^{2} - 3 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{3} - {(i - 1)}^{3}] = \sum_{i = 1}^{n} [3 i^{2} - 3 i + 1] \end{array}$

$\Rightarrow F (n) - f (0) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{3}$

$\Rightarrow n^{3} - 0 = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 [\frac{n (n + 1)}{2}] + n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = n^{3} + \frac{3}{2} n (n + 1) - n \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{4} = i^{4} - 4 i^{3} + 6 i^{2} - 4 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{4} - {(i - 1)}^{4} = 4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{4} - {(i - 1)}^{4}] = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow F (n) - F (0) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + 4 \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{4} \end{array}$

$\Rightarrow n^{4} = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] + 4 [\frac{n (n + 1)}{2}] - n$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

$\sum_{i = i_{0}}^{n} (a_{i} b_{i}) \neq (\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}) (\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i})$

$\sum_{i = i_{0}}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}}{\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i}}$

تمرین

سیگما های زیر را محاسبه کنید.

$\sum_{k = 1}^{100} 5$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k (k + 1)$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} k!$

$\sum_{i = 10}^{21} a$

$\sum_{i = 1}^{6} (3 i - 2)$

$\sum_{i = 1}^{7} {(i + 1)}^{2}$

$\sum_{i = 2}^{5} \frac{i}{i - 1}$

$\sum_{i = 3}^{6} \frac{2}{i (i - 2)}$

$\sum_{i = 1}^{20} 3 i (i^{2} + 2)$

$\sum_{i = 1}^{100} {(3 - 2 i)}^{2}$

$\sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!}$

تمرین

با توجه به شرط های بیان شده، سیگماهای مورد نظر را محاسبه کنید.

$i f \sum_{x = 1}^{n} (4 x + 1) = 2 n \Rightarrow \sum_{x = 1}^{n} x = ?$

$i f \sum_{k = 1}^{n} (a x_{k} + b) = L \Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} x_{k} = ?$

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

$\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - x_{k - 1}) = x_{n} - x_{0}$

$\sum_{k = 1}^{n} [a + (k - 1) d] = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$

تمرین

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 7} + \dots + \frac{1}{1001 \times 2001}$

این عبارت را با نماد سیگما نمایش دهید.

تمرین

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید.

$A = 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7 + ... + (n + 1) (2 n + 1)$

تمرین

دنباله $\{a_{n}\}$ با رابطه بازگشتی زير تعريف شده است:

$\{\begin{cases} a_{1} = a_{2} = 1 \\ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} \end{cases}$

حاصل عبارت های زير را بر حسب جمله هايی از دنباله محاسبه کنيد.

$\sum_{k}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

$\sum_{k = 1}^{n} a_{2 k} = a_{2} + a_{4} + ... + a_{2 n}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$A = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$

$A = \frac{π^{2}}{6}$
$A = \frac{π^{2}}{3}$
$A = \frac{π^{2}}{2}$
$A = \frac{π^{2}}{4}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

9,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

4oo4e

18 مهر 1401

عالی بود

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف سیگما

قضایای سیگما

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟