برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

سیگما

تعریف و خواص سیگما

تعریف و خواص سیگما

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1400

دسته‌بندی: سیگما

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف سیگما

برای نشان دادن مجموع $n$ عدد $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}$ به‌صورت زیر:

$a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

می‌توانیم از نماد زیر استفاده کنیم:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}; n \in N$

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} \\ \sum_{k = m}^{n} a_{k} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

در تساوی فوق $m$ و $n$ هر دو عددی صحیح هستند و $m \leq n$ است.

عدد $m$ را حد پایین مجموع می‌گویند.
عدد $n$ را حد بالای مجموع می‌گویند.
علامت $k$ را اندیس مجموع‌گیری می‌گویند.

تمرین

سیگماهای زیر را بسط دهید.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}}$

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{6}}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2}$

$\sum_{i = 1}^{5} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2)$

$\sum_{i = - 2}^{2} (3 i + 2) = [3 (- 2) + 2] + [3 (- 1) + 2] + [3 (0) + 2] + [3 (1) + 2] + [3 (2) + 2]$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3}$

$\sum_{j = 1}^{n} j^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k}$

$\sum_{k = 3}^{8} \frac{1}{k} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i)$

$\sum_{i = 2}^{5} F (i) = F (2) + F (3) + F (4) + F (5)$

$\sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{4} \frac{i}{i + 1} & = \frac{0}{0 + 1} + \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{2 + 1} + \frac{3}{3 + 1} + \frac{4}{4 + 1} \end{aligned}$

$\sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1}$

$\begin{aligned} \sum_{i = 4}^{6} 2^{i} x^{2 i + 1} & = 2^{4} x^{9} + 2^{5} x^{11} + 2^{6} x^{13} = 16 x^{9} + 32 x^{11} + 64 x^{13} \end{aligned}$

$\sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*})$

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{4} f (x_{i}^{*}) & = f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + f (x_{3}^{*}) + f (x_{4}^{*}) \end{aligned}$

قضایای سیگما

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} \pm b_{1}) + (a_{2} \pm b_{2}) + \dots + (a_{n} \pm b_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \pm (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b a_{k} = b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}; (b \in R)$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b a_{1} + b a_{2} + \dots + b a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = b (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \end{array}$

$= b \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} b = n b$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} b \end{array}$

$\begin{array}{l} = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + \dots + b}} \end{array}$

$= n b$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + (a_{n + 1})$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) + a_{n + 1} \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + a_{n + 1}$

قضیه

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} : n < m; m, n \in ℕ$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \\ \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} = a_{n + 1} + a_{n + 2} + ... + a_{m} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) + (a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{m}) \end{array}$

$= \sum_{k = 1}^{m} a_{k}$

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} a = (n - m + 1) a$

اثبات

یادآوری)

$\sum_{k = 1}^{n} b = \underset{n}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = \underset{(n - 1) + 1}{\underset{⏟}{b + b + ... + b}} = [(n - 1) + 1] b = n b$

$\sum_{i = m}^{n} a = \underset{(n - m) + 1}{\underset{⏟}{(a + a + a .... + a)}} = [(n - m) + 1] a = (n - m + 1) a$

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m}^{k} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} a_{i} : m \leq k < n; n, k, m \in Ζ$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{k} a_{i} + \sum_{i = k + 1}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k}) + (a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{m} + a_{m + 1} + .... + a_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2} + .... + a_{n}) \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

قضیه

$\{\begin{cases} \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \\ \sum_{i = m}^{n} a_{i} = \sum_{i = m + k}^{n + k} a_{i - k} \end{cases}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m - k}^{n - k} a_{i + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{(m - k) + k} + a_{(m - k + 1) + k} + a_{(m - k + 2) + k} + \dots + a_{(n - k - 1) + k} + a_{(n - k) + k} \end{array}$

$\begin{array}{l} = a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

$= \sum_{i = m}^{n} a_{i}$

خاصیت فوق به قاعده لغزان معروف است.

قضیه

$\sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) = a_{n + 1} - a_{m}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} (a_{i + 1} - a_{i}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum_{i = m}^{n} a_{i + 1} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_{i = m + 1}^{n + 1} a_{i} - \sum_{i = m}^{n} a_{i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{n + 1}) - (\sum_{i = m + 1}^{n} a_{i} + a_{m}) \end{array}$

$= a_{n + 1} - a_{m}$

خاصیت فوق به قاعده ادغام معروف است.

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) = a_{n} - a_{0}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i - 1} \\ = (\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n}) - \sum_{i = 1 - 1}^{n - 1} a_{[(i + 1) - 1]} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + a_{n} - (a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}) \\ = a_{n} - a_{0} \end{array}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

اثبات

$\{\begin{cases} \sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + (n - 1) + n \\ \sum_{i = 1}^{n} i = n + (n - 1) + (n - 2) + \cdot \cdot \cdot + 2 + 1 \end{cases}$

دو طرف تساوی ها را با هم جمع می‌کنيم:

$\begin{array}{l} 2 \sum_{i = 1}^{n} i = (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 \sum_{i = 1}^{n} i = n (n + 1) \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{3} = i^{3} - 3 i^{2} + 3 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{3} - {(i - 1)}^{3} = 3 i^{2} - 3 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{3} - {(i - 1)}^{3}] = \sum_{i = 1}^{n} [3 i^{2} - 3 i + 1] \end{array}$

$\Rightarrow F (n) - f (0) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{3}$

$\Rightarrow n^{3} - 0 = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - 3 [\frac{n (n + 1)}{2}] + n$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = n^{3} + \frac{3}{2} n (n + 1) - n \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6}$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

قضیه

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

اثبات

$\begin{array}{l} {(i - 1)}^{4} = i^{4} - 4 i^{3} + 6 i^{2} - 4 i + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow i^{4} - {(i - 1)}^{4} = 4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} [i^{4} - {(i - 1)}^{4}] = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{3} - 6 i^{2} + 4 i - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow F (n) - F (0) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + 4 \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{i = 1}^{n} 1; F (i) = i^{4} \end{array}$

$\Rightarrow n^{4} = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{3} - 6 [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] + 4 [\frac{n (n + 1)}{2}] - n$

$\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

تذکر

به نامساوی های زیر توجه کنید:

$\sum_{i = i_{0}}^{n} (a_{i} b_{i}) \neq (\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}) (\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i})$

$\sum_{i = i_{0}}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{\sum_{i = i_{0}}^{n} a_{i}}{\sum_{i = i_{0}}^{n} b_{i}}$

تمرین

سیگماهای زیر را محاسبه کنید.

$\sum_{i = 1}^{100} {(3 - 2 i)}^{2}$

$\begin{aligned} = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 i + 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - \sum_{i = 1}^{100} 12 i + \sum_{i = 1}^{100} 4 i^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{100} 9 - 12 \sum_{i = 1}^{100} i + 4 \sum_{i = 1}^{100} i^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} = 9 (100) - 12 (\frac{100 (101)}{2}) + 4 (\frac{100 (101) (201)}{6}) \\ = 1293700 \end{aligned}$

$\sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!}$

$\frac{k}{(k + 1)!} = \frac{k + 1 - 1}{(k + 1)!} = \frac{k + 1}{(k + 1)!} - \frac{1}{(k + 1)!} = \frac{k + 1}{(k + 1) k!} - \frac{1}{(k + 1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!}$

$\begin{array}{l} \frac{k}{(k + 1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k!} - \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{(k + 1)!} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{100!}) - (\frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{101!}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = 1 - \frac{1}{101!} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{100} \frac{k}{(k + 1)!} = \frac{101! - 1}{101!}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تعریف و خواص سیگما

4,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

سیگما

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

تعریف و خواص سیگما

تعریف سیگما

قضایای سیگما

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟