سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

هرم

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: هندسه فضائی
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

تعریف هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده یا وجه زیرین آن یک چندضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث می‌باشند.

این مثلث‌ها یک راس مشترک به‌نام S دارند.

هرمی که قاعده آن مثلث باشد، هرم مثلث‌القاعده نامیده می‌شود:

هرم - پیمان گردلو

هرمی که قاعده آن مربع باشد، هرم مربع‌القاعده نامیده می‌شود:

هرم - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه اهرام ثلاثه مصر هرم مربع‌القاعده هستند:

هرم - پیمان گردلو

ارتفاع هرم

پاره‌خطی که از راس هرم بر صفحه قاعده آن عمود شود، ارتفاع نامیده می‌شود.

در شکل زیر SH ارتفاع هرم می‌باشد:

هرم - پیمان گردلو

نکته

1- سهم هرم 

در این هرم ارتفاع هر وجه جانبی (ارتفاع مثلث های جانبی) را سهم هرم می‌نامند. در شکل زیر SO را سهم هرم گویند.

هرم - پیمان گردلو


2-
 در شکل‌های زیر مثلث‌های قاعده هم‌نهشت هستند:

هرم - پیمان گردلو

چون ارتفاع OH بزرگ‌تر از O'H' است، حجم هرم OABC از هرم O'A'B'C' بیش‌تر است.


3-
 در شکل‌های زیر ارتفاعات دو هرم با هم برابر هستند.OH=O'H' 

هرم - پیمان گردلو

چون مثلث با قاعده ABC کوچک‌تر از مثلث با قاعده A'B'C' است، پس حجم هرم OABC کم‌تر است.


4-
 در شکل‌های زیر ارتفاعات دو هرم MABCD و NABCD با هم برابر هستند.OH=O'H'  

هرم - پیمان گردلو

چون مساحت قاعده ABCD در هر دو هرم یکسان است، بنابراین حجم‌های آنها برابرند. 

مساحت جانبی هرم

مساحت جانبی هرم برابر است با مجموع مساحت‌های وجوه جانبی آن.

هرم - پیمان گردلو

تمرین

قاعده یک هرم منتظم، مربعی به‌ضلع 12m و ارتفاع آن 8m می‌باشد.

هرم - پیمان گردلو  

مساحت جانبی و مساحت کل این هرم را بیابید.

SM2=SH2+HM2=82+62=64+36=100SM=10m


مساحت جانبی برابر است با:

4×BC×SM2=4×12×102=240m2


مساحت کل برابر است با:

240+122=240+144=384m2

حجم هرم

به شکل‌های زیر نگاه کنید:

هرم - پیمان گردلو 

در این‌جا سه هرم را کنار هم گذاشته‌ایم و یک مکعب که خود یک منشور است‌، ساخته‌ایم.

این کار مانند آن است که یک مکعب را به سه هرم با حجم‌های مساوی تجزیه کرده باشیم.

با استفاده از ایده تجزیه شکل‌ها، می‌توان حجم هرم را در حالت کلی محاسبه کرد.

با پذیرفتن این موضوع که دو هرم با سطح قاعده‌ها و ارتفاع‌های مساوی دارای حجم‌های یکسان هستند، کافی است که حجم یک هرم با قاعده مربع را پیدا کنیم‌، زیرا برای هر هرم دیگری می‌توان هرمی با قاعده مربع ساخت که مساحت قاعده و ارتفاع آن با مساحت قاعده و ارتفاع آن هرم برابر باشد.

برای این منظور مکعب مستطیلی می‌سازیم که قاعده آن همان قاعده هرم و ارتفاع آن با ارتفاع هرم برابر باشد.

این مکعب مستطیل را به سه هرم تجزیه می‌کنیم.

این سه هرم دارای حجم‌های برابر می‌باشند، چون حجم مکعب مستطیل مساوی مجموع حجم این سه هرم است، بنابراین:

=13×S×hحجم مکعب مستطیل=13×حجم هرم

در فرمول فوق:

  • S مساحت قاعده هرم است.
  • h ارتفاع است.

تذکر

برای محاسبه حجم هرم، منشور زیر را در نظر بگیرید:

هرم - پیمان گردلو

با توجه به مراحل زیر، منشور فوق را به سه هرم تجزیه می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

مساحت قاعده دو هرم یعنی مثلث‌های ABD و BDE باهم برابرند و اندازه ارتفاع این هرم‌ها یعنی فاصله نقطه C از وجه ABDE نیز یکسان می‌باشد.   

مساحت قاعده دو هرم یعنی مثلث‌های ABC و DEF با هم برابرند AD=CF پس ارتفاع برابر دارند.

در نتیجه دارای حجم‌های برابر خواهند بود. نتیجه می‌گیریم حجم هر سه هرم با هم مساوی است و حجم هر یک از آن‌ها یک سوم حجم منشور است.

تمرین

قاعده یک هرم، مربعی به‌ضلع 8 و ارتفاع آن 3 است.

هرم - پیمان گردلو

مساحت جانبی، مساحت کل و حجم این هرم را حساب کنید. اندازه هر یال هرم چقدر است؟

اگر M وسط ضلع BC باشد، داریم:

SM2=OS2+OM2=32+42=25SM=5


مساحت جانبی برابر است با:

4×5×82=80


مساحت کل برابر است با:

80+8×8=144


حجم هرم برابر است با:

13×8×8×3=64

SB2=OS2+OB2=32+422=9+32=41SB=41

تمرین

در داخل يک استوانه به شعاع قاعده 52 m و ارتفاع 15 m هرمی مربع القاعده چنان محاط کرده ايم که قاعده آن در يک قاعده استوانه محاط و راس هرم به مرکز قاعده ديگر استوانه منطبق است، حجم هرم را حساب کنيد. 

هرم - پیمان گردلو


OH=BH=AB2OB2=OH2+HB2522=AB22+AB2250=AB24+AB24100=AB2AB=10


حجم هرم:

V=13×102×15=100m3

در شکل زير SABC يک هرم مثلث القاعده است، حجم اين هرم چند واحد مکعب است؟

هرم - پیمان گردلو

هرم - پیمان گردلو


ضلع مقابل به زاویه 30 نصف وتر است: 

AH=12×5=52SABC=12×BC×AH=12×8×52=1013×SABC×12=13×10×12=40

حجم هرمی 225cm3 و مساحت قاعده آن 75cm2 است. ارتفاع هرم چند سانتی‌متر است؟ 

13×75×h=225h=3×22575=9cm

ظرفی به شکل منشور 729 ليتر گنجايش دارد، حجم ظرف هرم شکلی که هم قاعده و هم ارتفاع آن باشد، چند متر مکعب است؟

V=13×729=243  litr=0.243  m3

قاعده هرمی به شکل لوزی است که قطرهای 6 cm و 8 cm و  ارتفاع هرم 12 cm می‌باشد، حجم اين هرم چند سانتی‌متر مکعب است؟ 

S=6×82=24cm2V=13×24×12=96cm3

برای ارسال نظر وارد سایت شوید