سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

کره

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه فضائی
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

کره زمین و توپ بسکتبال نمونه‌هایی از حجم‌های کروی هستند.

کره - پیمان گردلو

تعریف کره

مجموعه نقاطی از فضا را که از یک نقطه ثابت به‌نام مرکز به فاصله R باشند، کره نامیده می‌شود.

نقطه ثابت را مرکز و مقدار ثابت R را شعاع کره می‌گویند. 

کره - پیمان گردلو

اگر یک کره را نصف کنیم به هر نیم آن یک نیم کره گویند و دایره‌ای که از نیم کردن کره بدست می‌آید، دایره عظیمه نام دارد.

کره - پیمان گردلو

حجم کره

روش اول محاسبه حجم کره

چون حجم کره دو برابر حجم نیم‌کره است، اگر بتوانیم حجم نیم‌کره را پیدا کنیم و آن را دو برابر می‌کنیم تا حجم کره به‌دست می‌آید.

حجم نیم‌کره را چگونه می‌توان پیدا کرد؟

یک راه تجربی آن بدین صورت است که یک ظرف به شکل نیم‌کره و به‌شعاع R و ظرف دیگری به شکل مخروط، طوری اختیار کنیم که شعاع قاعده و ارتفاع آن مساوی R باشد:

کره - پیمان گردلو

سپس ظرف مخروطی شکل را از آب پر کرده و در ظرف دیگر خالی کنیم، خواهیم دید که ظرف نیم‌کره‌ای شکل پر نمی‌شود، اما اگر عمل مذکور را یک‌بار دیگر تکرار کنیم، ظرف نیم‌کره‌ای شکل پر خواهد شد.

این تجربه نشان می‌دهد که حجم این نیم‌کره دو برابر حجم مخروط و لذا حجم کره چهار برابر حجم مخروط است.

حجم مخروط برابر است با:

13πR2×R=13πR3

بنابراین حجم کره با شعاع R برابر است با:

V=4×13πR3=43πR3

روش دوم محاسبه حجم کره

یک توپ پلاستیکی کروی را در نظر گرفته و مطابق شکل با قرار دادن دو سطح صاف موازی، قطر کره را اندازه می‌گیریم:

کره - پیمان گردلو

مانند شکل فوق به کمک طلق، یک استوانه درست می‌کنیم، به‌طوری که توپ کروی به طور کامل درون آن قرار گیرد و از اطراف، بالا و پایین بر آن مماس باشد.

در این حالت کره در استوانه محاط شده است و استوانه بر کره محیط شده است.

اگر شعاع کره R باشد، ارتفاع استوانه و شعاع قاعده آن را برحسب R نشان می‌دهیم:

کره - پیمان گردلو

  • ارتفاع استوانه 2R است.
  • شعاع قاعده استوانه R است.

حجم استوانه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

πR2×2R=2πR3

توپ را از استوانه خارج می‌کنیم و با دقت آن را به دو نیم‌کره مساوی تبدیل می‌کنیم.

یکی از نیم‌کره‌ها را داخل استوانه می‌گذاریم و نیم‌کره دیگر را از آب پر کرده و در استوانه خالی می‌کنیم.

کره - پیمان گردلو

حجم استوانه 3 برابر حجم نیم کره است و 32 برابر حجم کره است و حجم کره 23 برابر حجم استوانه می‌باشد:

=23×2πR3=43πR3حجم استوانه=23حجم کره

تمرین

کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع 10 سانتی‌متر محاط شده است:

کره - پیمان گردلو

حجم کره را محاسبه کنید. 

V1=43πR3=43π×53=5003πcm3

حجم استوانه را محاسبه کنید. 

V2=2πR3=2π×53=250π  cm3

حجم فضای بین کره و استوانه را محاسبه کنید.  

V2-V1=250  π5003  π=2503π  cm3

مساحت کره

روش اول محاسبه مساحت کره

مانند شکل زیر، نیم‌کره‌ای را که از نصف کردن توپ پلاستیکی به‌دست آورده‌ایم روی یک صفحه کاغذ قرار داده، دو بار روی کاغذ دایره رسم می‌کنیم به‌طوری‌که نیم‌کره بتواند روی این دایره‌ها قرار گیرد و آن را بپوشاند.

کره - پیمان گردلو

این دو دایره کاغذی را برش می‌زنیم و کاغذهای بریده شده را روی سطح نیم‌کره طوری می‌چسبانیم که کل سطح نیم‌کره را بپوشاند.

ثابت می‌شود که مساحت رویه یک نیم‌کره به‌شعاع R دو برابر مساحت دایره است. (منظور قاعده نیم‌کره)

مساحت رویه نیم‌کره برابر است با:

2πR2

در نتیجه مساحت کره به‌شعاع R برابر است با:

S=2×2πR2=4πR2

روش دوم محاسبه مساحت کره

چون مساحت کره دو برابر مساحت جانبی نیم‌کره است، اگر مساحت جانبی نیم‌کره را پیدا کنیم و آن را دو برابر کنیم، مساحت کره به‌دست خواهد آمد.

مساحت جانبی نیم‌کره را چگونه می‌توان پیدا کرد؟

یک نیم‌کره چوبی به‌شعاع R تهیه کرده و میخی مانند شکل زیر در راس آن می‌کوبیم. 

کره - پیمان گردلو

نخی را دور این میخ طوری می‌پیچیم که روی سطح نیم‌کره قرار گرفته و تمام سطح جانبی نیم‌کره را بپوشاند.

نخ را باز کرده و طول قسمتی از آن را که سطح جانبی نیم‌کره را پوشانده بود، اندازه می‌گیریم.

بار دیگر میخ را مانند شکل زیر در مرکز دایره عظیمه همان نیم‌کره کوبیده و نخی از همان جنس را دور این میخ طوری می‌پیچیم که سطح دایره عظیمه را کاملا بپوشاند.

کره - پیمان گردلو

این نخ را هم باز کرده و طول قسمتی از آن را که سطح دایره عظیمه نیم‌کره را پوشانده، اندازه گرفته و یادداشت می‌کنیم.

پس از انجام این کارها اگر اندازه نخ اول را با اندازه نخ دوم مقایسه کنیم خواهیم دید که اندازه نخ اول دو برابر اندازه نخ دوم است، یعنی مساحت جانبی نیم‌کره دو برابر مساحت دایره عظیمه‌اش است، یعنی مساحت کل کره‌ای به‌شعاع R برابر است با:

S=4πR2

نکته

1- با دوران یک ربع دایره حول شعاعش یک نیم‌کره با دوران یک نیم‌دایره حول قطرش یک کره پدید می‌آید.

کره - پیمان گردلو


2- اگر مکعبی را در یک کره محاط کنیم، قطر مکعب با قطر کره مساوی است.

کره - پیمان گردلو


3- اگر کره‌ای در یک مکعب محاط شود قطر کره با ضلع مکعب مساوی است.

کره - پیمان گردلو


4- اگر کره‌ای در یک استوانه محاط شود ارتفاع استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعده استوانه با شعاع کره مساوی است.

کره - پیمان گردلو


5-
اگر استوانه‌ای داخل کره‌ای محاط شود، وسط ارتفاع استوانه بر مرکز کره قرار می‌گیرد.

کره - پیمان گردلو

تمرین

قطر تقریبی کره زمین حدود 12/800 کیلومتر است.

شعاع کره زمین را محاسبه کنید.

قطر کره‌ زمین:

12800  =1/28×104  km


شعاع کره‌ زمین:

12800÷2=6400   km  =  6/4×103   km

مساحت تقریبی رویه (سطح) کره زمین بر حسب کیلومتر را محاسبه کنید. 

R=6/4×103kmS=4πR2S=  4×3/14×6/4×1032S=4×3/14×6/42×106S=514/4576×106S=  5/144576×108   km2

مساحت کشور عزیزمان ایران حدود 1/648/000 کیلومتر مربع است. مساحت ایران چه کسری از مساحت کره زمین است؟

مساحت کره زمین:

S5/144576×108  km2


1/648×1065/144576×108=x100x=1/648×106×1025/144576×108=1/6485/144576  0/32%

تمرین

حجم محصور بين دو کره هم مرکز به شعاع های 3 و 6 چند برابر حجم کره کوچک‌تر است؟

کره - پیمان گردلو


حجم کره کوچک‌تر:

43π33=36π


حجم کره بزرگ‌تر:

43π63=288π


حجم محصور بين دو کره:

288π36π=252π=7×36π


حجم محصور بین دو کره، هفت برابر حجم کره کوچک‌تر است.

کره ای در داخل يک مکعب به ضلع 6 cm محاط شده است، حجم فضای داخلی بين دو کره و مکعب را حساب کنيد.

اگر کره ای در يک مکعب محاط شود، قطر کره با ضلع مکعب مساوی است.


کره - پیمان گردلو


حجم کره:

43π33=36π=113.04   cm3


حجم مکعب:

63=216    cm3


حجم محصور بين کره و مکعب:

216113.04=102.96    cm3

در کره ای به شعاع 4 m استوانه ای به شعاع قاعده 7 m محاط کرده ايم، حجم اين استوانه چند متر مکعب است؟

کره - پیمان گردلو


ابتدا بايد ارتفاع استوانه را بيابيم:

OB2=BA2OA2=4272=167=9OB=3m


پس ارتفاع استوانه 3×2=6m است.


حجم استوانه:

πr2h=π×72×6=42π

مساحت کره ای به شعاع 5 cm چند سانتی متر مربع است؟

S=4πR2=4π52=100π314cm2

حجم يک نيم کره به شعاع 5 cm چند برابر حجم يک مخروط به شعاع قاعده 5 cm و ارتفاع 5 cm است.  

حجم نيم کره:

1243×π×53=250π3


حجم مخروط: 

13×π×52×5=125π3


ملاحظه می‌شود که حجم نيم کره دو برابر حجم مخروط است.

ربع دايره زير به شعاع 3 cm را حول AB به اندازه 90 دوران می‌دهيم، حجم حادث چند سانتی متر مکعب است؟

کره - پیمان گردلو 

کره - پیمان گردلو

V=1843πr3=1843×π×33=9π2

می‌خواهيم سطح کره ای را با کاغذ رنگی بپوشانيم. اگر شعاع کره 3 cm باشد، طول کاغذ رنگی 40 cm عرض کاغذ چند سانتی متر بايد باشد؟

اگر x عرض کاغذ باشد:


مساحت کره:

4πR24×3.14×9=113.04cm2


عرض×طول=مساحت مستطيل


113.04=40×xx=2.826cm

حجم کره ای 113.04m3 است، مساحت اين کره چند متر مربع است؟

حجم کره:

43πR3=113.04R3113.04×34×3.14=27R=3


مساحت کره:

4πR24×3.14×32=113.04m2

ليوانی به شکل استوانه که محيط دهانه آن 15.7 cm و ارتفاع ليوان 10 cm است. می‌خواهيم با اين ليوان نيم کره ای به شعاع 15 cm را پر از آب کنيم. چند بار بايد ليوان پر از آب را در ظرف، خالی کرد؟