تعریف تقارن جبری

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 17 خرداد 1400
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

دستگاه دومعادله دومجهولی زیر را در نظر بگیرید:

x+y=1x3+y3=19

فرض ‌کنیم به‌طریقی کشف کرده باشیم x=3y=2 در دستگاه صدق می کند. آیا می‌توانیم جواب دیگری از دستگاه را بشناسیم؟

در دومعادله دستگاه، x و y نقشی یکسان دارند و هیچ‌کدام از آنها نسبت به‌دیگری، برتری یا کمبودی ندارد.

در این دستگاه x و y حقی برابر دارند، بنابراین تنها یکی از دو حالت ممکن است:

  • یا باید x و y برابر باشند.
  • یا اگر x=a و y=b جوابی از دستگاه باشد، به‌‏ناچار باید x=b و y=a جواب دیگری از دستگاه باشد.     

به‌این ترتیب، وقتی می‌دانیم جواب x=3y=2 در معادلات دستگاه فوق صدق می‌کند، بلافاصله می‌توان نتیجه گرفت که x=-2y=3 هم جواب دیگری از دستگاه است.

البته این بحث تضمین نمی‌کند که دستگاه جواب دیگری ندارد.

عباراتی هم‌چون x+y و x3+y3 را عباراتی متقارن نسبت به x و y گویند، بنابراین اگر یک عبارت جبری نسبت به دو حرف، متقارن باشد به‌معنای آن است که نقش این دو حرف در عبارت جبری، یکی است. 

دریافت مثال

   

تعریف- یک عبارت جبری، نسبت به دو حرف یا دو مجهول متقارن است، وقتی که با تغییر جای این دو حرف یا این دو مجهول، خود عبارت جبری تغییر نکند.

عبارات a3+b3 و ab و a+b+c3 نسبت به دو حرف a و b متقارنند.

توجه کنید که عبارت a+b+c3 نسبت به دو حرف a و c یا نسبت به دو حرف c و b متقارن نیست.

به‌عنوان نمونه:

معادلات دستگاه x+y=1x3+y3=19 نسبت به دو متغیر  x و y متقارنند زیرا اگر در هر کدام از این معادلات x را به y و y را به x تبدیل کنیم، به‌دستگاه y+x=1y3+x3=19 می‌رسیم که با دستگاه x+y=1x3+y3=19 هیچ تفاوتی ندارد.   

عبارت جبری x2+y25x2y3+5x3y2 نسبت به دو متغیر  x و y متقارن نیست.

دریافت مثال

تعمیم مفهوم تقارن و ویژگی‌های آن

تا این‌جا از عبارات جبری سخن گفتیم که نسبت به دو حرف متقارن بودند و دیدیم:

عبارتی نسبت به دو حرف متقارن است که اگر در آن، جای دو حرف را با هم عوض کنیم، تغییری در عبارت به‌وجود نیاید.

در واقع عبارت fx1,x2 وقتی نسبت به x1 و x2 متقارن است که داشته باشیم:

fx1x2=fx2,x1

اکنون به تعریف کلی یک عبارت متقارن می‌پردازیم:

عبارت جبری fx1,x2,...,xn را نسبت به n متغیر xn,...,x2,x1 متقارن گوییم وقتی که با تبدیل هر دو متغیر دل‌خواه xi و xj به‌یکدیگر، عبارت تغییر نکند.

عبارات زیر نسبت به سه حرف c,b,a متقارنند:

a+b+ca2+b2+c2abcab+bc+ca1a2+1b2+1c2

در هریک از این عبارات، اگر a به b یا a به c یا b به c تبدیل شوند، دوباره همان عبارت اصلی به‌دست می‌آید.

هم‌چنین عبارت a2+b2+c2+d22abcd نسبت به چهار حرف d,c,b,a متقارن است.

نکته

1- اگر در عبارت جبری fx1,x2,...,xn، x1 به x2 و x2 به x3 و ... و xn-1 به xn و در آخر xn به x1 تبدیل کنیم، به‌عبارت fx2,x3,...,xn,x1 می‌رسیم که آن را تبدیل دوری عبارت اصلی گویند.     


2- اگر یک عبارت ضمن تبدیل دوری تغییر نکند، گوییم یک دور (سیکل) تشکیل داده است و با یک عبارت دوری سرو کار داریم.

به‌عنوان نمونه:

عبارت ab+bc+ca یک عبارت دوری است زیرا تبدیل دوری آن بر خودش منطبق می‌شود.

abbcca

در ضمن هر عبارت متقارن، یک عبارت دوری است.

به‌عنوان نمونه:

چندجمله‌ای x3+y3+z33xyz نسبت به z,y,x متقارن و بنابراین دوری است.  


3- یک عبارت دوری ، ممکن است متقارن نباشد.

چندجمله‌ای ab+bc+da+dc نسبت به چهار d,c,b,a یک چندجمله‌ای دوری است در حالی که نسبت به همین حرف‌ها متقارن نیست.    

تمرین

اگر R طول شعاع دایره محیط بر مثلث S مقدار مساحت و c,b,a طول ضلع‌های آن باشند، آیا رابطه زیر می‌تواند درست باشد؟ 

R=2Sa+bc

دایره محیطی مثلث و در نتیجه طول شعاع آن نسبت به‌هیچ کدام از سه ضلع مثلث، موقعیت ممتازی ندارد. 


بنابراین R باید نسبت به سه ضلع c,b,a متقارن باشد.


رابطه صورت مساله نسبت به c,b,a متقارن نیست و در نتیجه نمی‌تواند درست باشد.   

مثال‌ها و جواب‌ها

تعریف تقارن جبری

2,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید