سرفصل‌های این مبحث

قضیه تالس و نتایج آن

قضایای تالس

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: قضیه تالس و نتایج آن
امتیاز:
بازدید: 57 مرتبه

قضیه

خطوط موازی

اگر چند خط موازی روی یک خط، پاره‌خط‌های مساوی بسازند، روی هر خط دیگری که آنها را قطع کند نیز پاره‌خط‌های مساوی پدید می‌آورند.

اثبات

قضیه تالس - پیمان گردلو

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AB=BCmnt

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

A'B'=B'C'

پاره‌خط‌های AD و BE را به‌موازات خط d' رسم می‌کنیم. 

چهارضلعی‌های AA'B'D و BB'C'E متوازی‌الاضلاع هستند، بنابراین:

BE=B'C'  ,  AD=A'B'    ;    1

ntd   (movarab)    B^2=C^2ADBEd(movarab)  A^1=B^1AB=BC

مثلث‌های زیر از طریق دو زاویه و یک ضلع برابرند:

ABD=BCEAD=BE1A'B'=B'C'

دریافت مثال

قضیه تالس

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه:

ADDB=AEEC

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

از نقطه D به C و از نقطه E به B وصل می‌کنیم. 

قضیه تالس - پیمان گردلو

نشان می‌دهیم مساحت‌های دو مثلث DEC و DEB با هم برابرند: 

CH ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEC=12CH  .  DE

BH' ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEB=12  BH'  .  DE

با توجه به این‌که DEBC است، پس فاصله‌ این دو خط، همواره مقداری ثابتی است:

CH=BH'  SDEC=12CH  .  DESDEB=12  BH'  .  DESDEC=12CH  .  DESDEB=12  CH  .  DESDEC=SDEB

از نقطه E به ضلع AB عمود می‌کنیم و پای عمود را H1 می‌نامیم.

سپس از نقطه D به ضلع AC عمود می‌کنیم و پای عمود را H2 می‌نامیم. 

قضیه تالس - پیمان گردلو

SADESDEB=12EH1×AD12EH1×DB=ADDBSADESDEC=12DH2×AE12DH2×EC=AEEC

SADESDEB=ADDB    ;    SADESDEC  =AEEC    ;    SDEB=SDEC  ADDB=AEEC

دریافت مثال

تعمیم قضیه تالس 

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه: 

ADAB=AEAC=DEBC

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

روش اول) بر اساس قضیه تالس داریم:

DEBC  ADDB=AEECADAD+DB=AEAE+EC  ADAB=AEAC    ;    1

پاره‌خط EF را موازی AB رسم می‌کنیم: 

قضیه تالس - پیمان گردلو

با توجه به نتیجه‌ تالس داریم:

EFABBFBC=AEAC    ;    2

1,2  ADAB=AEACBFBC=AEACADAB=AEAC=BFBC


روش دوم) برای اثبات ADAB=AEAC داریم: 

قضیه تالس - پیمان گردلو

نقاط D و E را به‌ترتیب به C و B وصل می‌کنیم. 

دو مثلث DBC و EBC پدید می‌آیند که ضلع BC در آنها مشترک است و ارتفاع‌های نظیر BC در دو مثلث مساویند، بنابراین مساحت‌های این دو مثلث برابرند.

SDBC=SEBCCH'×DB=BH×ECDBEC=BHCH'    ;    1

در مثلث ABC داریم:

SABC=BH×AC2=CH'×AB2BH×AC=CH'×ABABAC=BHCH'    ;    2

1  ,  2  :   DBEC=ABACDBAB=ECAC

تساوی فوق را تفضیل نسبت در صورت می‌کنیم: 

ABDBAB=ACECACADAB=AEAC

نکته

از نتایح قضیه تالس به نسبت‌های زیر می‌توان اشاره کرد:

قضیه تالس - پیمان گردلو

DEBCADDB=AEECADAD+DB=AEAE+EC  ADAB=AEAC    ;    ABAD=ACAEADAB=AEACABADAB=ACAEAC  DBAB=ECAC    ;    ABDB=ACEC

دریافت مثال

قضیه

اگر M وسط AB و MNBC باشد، آن‌گاه N وسط AC است.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBMNBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

AN=NC

MNBCANNC=AMMB=1ANNC=1AN=NC

از تساوب اخبر نتیجه می‌شود که N وسط AC است. 

عکس قضیه تالس 

قضیه

اگر خطی دو ضلع یک مثلث را قطع کند و بر آن دو ضلع پاره‌خط‌هایی متناسب با آن دو ضلع پدید آورد با ضلع سوم مثلث موازی است.

اثبات

قضیه تالس - پیمان گردلو

فرض آ‌ن‌است‌که: 

ADAB=AEAC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

DEBC

فرض کنیم DE موازی BC نباشد، بنابراین DF را به موازات BC رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:    

DFBCTalesADAB=AFACADAB=AEAC  AFAC=AEACAF=AE

با توجه به این‌که E و F هر دو روی ضلع AC قرار دارند، پس بر هم منطبق هستند، بنابراین DF نیز بر DE منطبق می‌شود، لذا DEBC.

دریافت مثال

قضیه

اگر M و N اوساط اضلاع AB و AC باشند، آن‌گاه MN و BC موازیند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AN=NCAM=MB

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MNBC

AM=MBAMMB=1AN=NCANNC=1  AMMB=ANNCMNBC

قضیه

اگر خطی موازی یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن‌را قطع کند با آن دو ضلع مثلثی می‌سازد که اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی متناسبند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

DEBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ADAB=AEAC=DEBC


DEBCADAB=AEAC    ;    1

EF را به‌موازات AB رسم می‌کنیم، خواهیم داشت: 

EFABCEAC=CFBCACCEAC=BCCFBCAEAC=BFBCAEAC=DEBC    ;    2


1  ,  2   :   ADAB=AEAC=DEBC

دریافت مثال

قضیه

در هر مثلث نیمساز هر زاویه، ضلع مقابل آن‌را به دو پاره‌خط که با دو ضلع آن زاویه متناسبند، تقسیم می‌کند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

A^1=A^2

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

BDDC=ABAC

از راس C خطی موازی نیمساز AD رسم می‌کنیم تا امتداد BA را در E قطع کند، خواهیم داشت:

قضیه تالس - پیمان گردلو

ADCEBE(movarab)  A^1=E^ADCEAC  (movarab)  A^2=C^C^=E^AE=AC    ;    1

BEC:ADCEBDDC=ABAE1BDDC=ABAC

قضیه

در هر مثلث، پاره‌خطی که اوساط دو ضلع مثلث را به‌هم وصل کند، با ضلع سوم موازی و مساوی نصف آن است.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

با توجه به‌فرض مساله M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس:

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBAN=NC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MN=12BC

با توجه به عکس تالس:

AMMB=ANNC=1     MN    BC

از تعمیم قضیه‌ تالس استفاده می‌کنیم:

MN  BC  AMAB=ANAC=MNBC

با توجه به این‌که  M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس AMAB و ANAC برابرند با 12 در نتیجه: 

MNBC=12MN=12BC

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای تالس

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید