سرفصل‌های این مبحث

قضیه تالس و نتایج آن

قضایای تالس

آخرین ویرایش: 16 دی 1402
دسته‌بندی: قضیه تالس و نتایج آن
امتیاز:

قضیه

خطوط موازی

اگر چند خط موازی روی یک خط، پاره‌خط‌های مساوی بسازند، روی هر خط دیگری که آنها را قطع کند نیز پاره‌ خط‌ های مساوی پدید می‌آورند.

اثبات

فرض آن‌است که:

AB=BCmnt

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

A'B'=B'C'

پاره‌ خط‌ های AD و BE را به‌موازات خط d' رسم می‌کنیم. 

چهار ضلعی‌ های AA'B'D و BB'C'E متوازی‌ الاضلاع هستند، بنابراین:

BE=B'C'  ,  AD=A'B'    ;    1

ntd   (movarab)B^2=C^2

ADBEd(movarab)A^1=B^1

AB=BC

مثلث‌های زیر از طریق دو زاویه و یک ضلع برابرند:

ABD=BCEAD=BE1A'B'=B'C'

تمرین

يک پاره خط رسم کنيد و بدون استفاده از خط کش آن‌را به پنج قسمت مساوی تقسيم کنيد.

نيم خط Ax را رسم می‌کنيم و روی آن پنج قسمت مساوی جدا می‌کنيم.


آخرين نقطه حاصل يعنی G را به B وصل می‌کنيم.


سپس از نقاط F,E,D,C خطوطی به موازات رسم می‌کنيم.


 بدين ترتيب پاره خط AB را نيز به پنج قسمت مساوی تقسيم می‌شود.


يک پاره خط رسم کنيد و آن را به دو قسمت چنان تقسيم کنيد که يک قسمت سه برابر قسمت ديگر باشد.

ابتدا پاره خط را به چهار قسمت مساوی تقسيم می‌کنيم.



AM=3MB

نشان دهيد پاره خطی که از وسط يک ساق از ذوزنقه به موازات دو قاعده رسم می‌شود از وسط ساق ديگر می‌گذرد.


بر اساس قضيه خطوط موازی، سه خط زیر پاره خط AD را به دو قسمت مساوی تقسيم کرده‌اند.

AB  ,  EF  ,  DC


پس پاره خط BC را نيز به دو قسمت مساوی تقسيم می‌کنند.


BF=FC

تمرین

در شکل های زير خطوط افقی موازيند، مقدار x را به‌دست آورید.

3÷2=1.5x÷3=1.5x÷3=1.5

x×13=1.5x=3×1.5x=4.5

x=243x=8       

212÷2=52÷2=52×12=54x÷3=54


x÷3=54x×13=54x=154x=334


4÷6=46=23113÷a=23


113÷a=2343÷a=2343×1a=23a=2


x=6+aa=2x=6+2x=8

تمرین

شکل زير را در نظر بگیرید: 

ثابت کنید:

ABBC=DEEF

از A خطی موازی DF  رسم می‌کنیم تا BE و CF را در نقاط M و N قطع کنند.




چهار ضلعی های MEFN,ADEM متوازی الاضلاعند، بنابراين داریم:


MN=EFAM=DE


ACN:BMCNABBC=AMMNABBC=DEEF

دریافت مثال

قضیه تالس

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه:

ADDB=AEEC

اثبات

از نقطه D به C و از نقطه E به B وصل می‌کنیم. 

نشان می‌دهیم مساحت‌های دو مثلث DEC و DEB با هم برابرند: 

CH ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEC=12CH  .  DE

BH' ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEB=12  BH'  .  DE

با توجه به این‌که DEBC است، پس فاصله‌ این دو خط، همواره مقداری ثابتی است:

CH=BH'

SDEC=12CH.DESDEB=12BH'.DE

SDEC=12CH.  DESDEB=12  CH  .  DE

SDEC=SDEB

از نقطه E به ضلع AB عمود می‌کنیم و پای عمود را H1 می‌نامیم.

سپس از نقطه D به ضلع AC عمود می‌کنیم و پای عمود را H2 می‌نامیم. 

SADESDEB=12EH1×AD12EH1×DB=ADDB

SADESDEC=12DH2×AE12DH2×EC=AEEC

SADESDEB=ADDB    ;    SADESDEC  =AEEC    ;    SDEB=SDEC

ADDB=AEEC

تمرین

در شکل زیر پاره خط های BC,GH موازیند.

اندازه پاره خط های AC,HC را به دست آورید.

طبق قضیه تالس داریم:

GHBCAGGB=AHHC35=2HC


HC=5×23HC=103


AC=AH+HC=2+103AC=163

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با تشکیل یک معادله، مقدار x و اندازه پاره خط های AJ,AI را به‌دست آورید.

طبق قضیه تالس داریم:

IJBCAIIB=AJJC2x5=x+47/5


15x=5x+2010x=20x=2


AI=2x=2×2=4AJ=x+4=2+4=6

تمرین

در شکل زیر داریم:

DEBC  ,  AB=2  ,  AD=1  ,  AC=4

طول پاره خط های EC,AE را حساب کنيد.

DEBCADAB=AEAC12=AE4AE=2


EC=ACAE=42=2

تمرین

در شکل زير DEBC است.

اندازه EC چقدر است.

DEBCADDB=AEEC


12=32ECEC=2×32EC=3

تمرین

در شکل زير AD=12CD است.

نسبت های DEAB,CEEB چقدر است؟

DEABCDAD=CEEBCD12CD=CEEBCEEB=2


DEABCDCA=DEABCD32CD=DEABDEAB=23

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق داریم:

DEBC  ,  EFAB

آيا تساوی درست است؟ اگر جواب منفی است آن‌را درست کنيد.

ADDB=AEEC=DEBC

تساوی فوق درست نيست، يعنی داريم:


ADDB=AEECDEBCADAB=AEAC=DEBC


ADABAD=AEACAE=DEBCDE


ADDB=AEEC=DEBCBFADDB=AEEC=DEFC

تمرین

سه پاره خط به طول های a,b,c مفروضند.

اگر داشته باشیم:

ab=cd

پاره خطی به طول d را پيدا کنيد.


زاويه دل‌خواه xOy^  را رسم می‌کنيم.


بر روی Ox پاره خط های زیر را جدا می‌کنيم:

AB=b  ,  OA=a


هم‌چنين بر روی ضلع Oy پاره خط OC=c را جدا کرده و از A به C وصل می‌کنيم.


از B خطی موازی AC رسم می‌کنيم تا Oy را در d قطع کند.


طول پاره خط CD برابر d می‌شود.


ACBDOAAB=OCCDab=cd

تمرین

در تناسب زیر مقدار مجهول را با رسم شکل پيدا کنيد.

23=x4.5

تناسب فوق  را به‌صورت زیر می‌نويسيم:


32=4.5x



زاويه دل‌خواه xOy  را رسم کرده و روی ضلع Ox  پاره خط های OA,AB را به نسبت 3 به 2 جدا می‌کنيم.


روی Oy نيز پاره خط OC را به اندازه 4.5 سانتی‌متر جدا می‌کنيم.


از A به C وصل کرده و از B خطی به موازات AC  را رسم می‌کنيم تا Oy را در D قطع کند.


اندازه پاره خط CD همان جزء مجهول است، زيرا:


ACBDOAAB=OCCD

تمرین

چهار ضلعی ABCD زیر ذوزنقه است:

 

اگر داشته باشیم:

EFDC

ثابت کنید.

AEED=BFFC

ساق های ذوزنقه را امتداد می‌دهيم تا يک‌ديگر را در O قطع کنند، خواهيم داشت:



OEF:ABEFOAAE=OBBFOAOB=AEBF


ODC:ABDCOAAD=OBBCOAOB=ADBC


AEBF=ADBCAEAD=BFBC


AEADAE=BFBCBFAEED=BFFC

دریافت مثال

تعمیم قضیه تالس 

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه: 

ADAB=AEAC=DEBC

اثبات

روش اول) بر اساس قضیه تالس داریم:

DEBC

ADDB=AEEC

ADAD+DB=AEAE+EC

ADAB=AEAC    ;    1

پاره‌خط EF را موازی AB رسم می‌کنیم: 

با توجه به نتیجه‌ تالس داریم:

EFABBFBC=AEAC    ;    2

1,2  ADAB=AEACBFBC=AEACADAB=AEAC=BFBC


روش دوم) برای اثبات ADAB=AEAC داریم: 

نقاط D و E را به‌ترتیب به C و B وصل می‌کنیم. 

دو مثلث DBC و EBC پدید می‌آیند که ضلع BC در آنها مشترک است و ارتفاع‌های نظیر BC در دو مثلث مساویند، بنابراین مساحت‌های این دو مثلث برابرند.

SDBC=SEBCCH'×DB=BH×ECDBEC=BHCH'    ;    1

در مثلث ABC داریم:

SABC=BH×AC2=CH'×AB2BH×AC=CH'×ABABAC=BHCH'    ;    2

1  ,  2  :   DBEC=ABACDBAB=ECAC

تساوی فوق را تفضیل نسبت در صورت می‌کنیم: 

ABDBAB=ACECACADAB=AEAC

نکته

از نتایح قضیه تالس به نسبت‌های زیر می‌توان اشاره کرد:

DEBC:

ADDB=AEECADAD+DB=AEAE+ECADAB=AEAC    ;    ABAD=ACAE

ADAB=AEACABADAB=ACAEACDBAB=ECAC    ;    ABDB=ACEC

تمرین

در شکل زیر PQBC است.

طول پاره خط های AP,PQ را به‌دست آورید.

با استفاده از قضیه‌ تالس می‌نویسم:

PQBCAPPB=AQQCAP6=23AP=4


حالا با استفاده از تعمیم قضیه‌ تالس می‌نویسم:


PQBCAPAB=AQAC=PQBC44+6=PQ9


PQ=9×410PQ=3/6

تمرین

در شکل زیر STBC است.

مقادیر x و y را به‌دست آورید.

با استفاده از قضیه‌ تالس می‌نویسم:

STBCASSB=ATTC84=3y+364(3y+3)=6×8


12y+12=4812y=481212y=36y=3


حالا با استفاده از تعمیم قضیه‌ تالس می‌نویسم:

STBCASAB=ATAC=STBC88+4=64x+1


8(4x+1)=12×632x+8=7232x=64x=2

تمرین

در مثلث ABC از نقطه M روی BC دو خط به موازات دو ضلع ديگر رسم می‌کنيم تا آنها را در E,D قطع کند.

ثابت کنيد:

AEAB=ADAC=1

EMACAEAB=MCBCDMABCDAC=MCBC


AEAB=CDACAEAB=ACADAC


AEAB=ACACADACAEAB+ADAC=1

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر DEBC باشد، ثابت کنید:

DAAC=EAAB

پاره خط های AM,AN را به‌ترتيب مساوی EA,DA و بر اضلاع AB,AC جدا می‌کنيم.


دو مثلث ADE,AMNبا هم مساوی می‌شوند.


M^=E^B^=E^M^=B^


MNBCAMAB=ANACEAAB=DAAC

دریافت مثال

قضیه

اگر M وسط AB و MNBC باشد، آن‌گاه N وسط AC است.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBMNBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

AN=NC

MNBC

ANNC=AMMB=1

ANNC=1

AN=NC

از تساوب اخبر نتیجه می‌شود که N وسط AC است. 

عکس قضیه تالس 

قضیه

اگر خطی دو ضلع یک مثلث را قطع کند و بر آن دو ضلع پاره‌خط‌هایی متناسب با آن دو ضلع پدید آورد با ضلع سوم مثلث موازی است.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

ADAB=AEAC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

DEBC

فرض کنیم DE موازی BC نباشد، بنابراین DF را به موازات BC رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:    

DFBCTalesADAB=AFACADAB=AEAC  AFAC=AEACAF=AE

با توجه به این‌که E و F هر دو روی ضلع AC قرار دارند، پس بر هم منطبق هستند، بنابراین DF نیز بر DE منطبق می‌شود، لذا DEBC.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ثابت کنید BCDE.

ADAB=33+2=35AEAC=3.63.6+2.4=3.66=35ADAB=AEAC


با توجه به عکس تالس داریم:


DEBC

دریافت مثال

قضیه

اگر M و N اوساط اضلاع AB و AC باشند، آن‌گاه MN و BC موازیند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AN=NCAM=MB

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MNBC

AM=MBAMMB=1AN=NCANNC=1  AMMB=ANNCMNBC

قضیه

اگر خطی موازی یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن‌را قطع کند با آن دو ضلع مثلثی می‌سازد که اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی متناسبند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

DEBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ADAB=AEAC=DEBC


DEBCADAB=AEAC    ;    1

EF را به‌موازات AB رسم می‌کنیم، خواهیم داشت: 

EFAB

CEAC=CFBC

ACCEAC=BCCFBC

AEAC=BFBC

AEAC=DEBC    ;    2


1  ,  2   :   ADAB=AEAC=DEBC

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق:

AE=DE=DB

اندازه پاره خط های DE  ,  CE را حساب کنيد.


DEBCADAB=AEAC=DEBC6x6=xAC=x9


6x6=x9549x=6x54=15xx=3.6DE=3.6


xAC=x93.6AC=3.69AC=9


EC=ACAE=93.6=5.4

تمرین

در شکل های زير مقادير مجهول را به‌دست آوريد.

DEBCADAB=AEAC=DEBC55+x=yy+6=7.512


55+x=7.51237.5+7.5x=607.5x=22.5x=3


yy+6=7.5127.5y+45=12y45=4.5yy=10

DEBCAEAC=DEBC


3.28=3xx=7.5

تمرین

در شکل زير DEBC  است.

مقادير x,y را حساب کنيد.

DEBCADAB=AEAC=DEBC


66+x=yy+4=1218


66+x=121866+x=2312+2x=182x=6x=3


yy+4=1218yy+4=232y+8=3y3y2y=8y=8

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر در شکل فوق داشته باشیم:

AD=3DB  ,  DEBC

مقادير x,y را حساب کنيد.

DEBCADAB=AEAC=DEBC3DB4DB=1212+y=15x


34=1212+y=15x


34=1212+y36+3y=483y=12y=4


34=15xx=4×153x=20

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

اگر در شکل فوق داشته باشیم:

DEAB  ,  DFAC

با استفاده از رابطه تالس ثابت کنيد:

DE×AC=DF×AB

DEABMDMA=MEMB=DEAB


DFACMDMA=MFMC=DFAC


DEAB=DFACDE×AC=AB×DF

MF×BC=MC×EF

MEMB=MFMC=ME+MFMB+MCMFMC=EFBCMF×BC=EF×MC

تمرین

در مثلث  ميانه  را رسم می‌کنيم:

BM=CM

از نقطه دل‌خواه D بر ضلع BC خطی موازی AM رسم می‌کنيم تا AC را در E و امتداد AB را در F قطع کند.

ثابت کنيد:

DE+DF=2AM

CAM:DEMACDCM=DEAM


BDF:AMDFBDBM=DFAM


CDCM+BDBM=DEAM+DFAMCDBM+BDBM=DEAM+DFAMCD+BDBM=DE+DFAM


BCBM=DE+DFAM2BMBM=DE+DFAM


2=DE+DFAMDE+DF=2AM

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ثابت کنید:

BFAF=CGAG=DHAH=EKAK

BFCGBFCG=AFAGBFAF=CGAG


BFDHBFDH=AFAHBFAF=DHAH


BFEKBFEK=AFAKBFAF=EKAK


BFAF=CGAG=DHAH=EKAK

دریافت مثال

قضیه

در هر مثلث نیمساز هر زاویه، ضلع مقابل آن‌را به دو پاره‌خط که با دو ضلع آن زاویه متناسبند، تقسیم می‌کند.

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

A^1=A^2

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

BDDC=ABAC

از راس C خطی موازی نیمساز AD رسم می‌کنیم تا امتداد BA را در E قطع کند، خواهیم داشت:

ADCEBE(movarab)  A^1=E^

ADCEAC  (movarab)  A^2=C^

C^=E^AE=AC    ;    1

BEC:ADCEBDDC=ABAE1BDDC=ABAC

قضیه

در هر مثلث، پاره‌خطی که اوساط دو ضلع مثلث را به‌هم وصل کند، با ضلع سوم موازی و مساوی نصف آن است.

اثبات

با توجه به‌فرض مساله M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس:

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBAN=NC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MN=12BC

با توجه به عکس تالس:

AMMB=ANNC=1     MN    BC

از تعمیم قضیه‌ تالس استفاده می‌کنیم:

MN  BC  AMAB=ANAC=MNBC

با توجه به این‌که  M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس AMAB و ANAC برابرند با 12 در نتیجه: 

MNBC=12MN=12BC

خرید پاسخ‌ها

قضایای تالس

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید