لیست

سرفصل‌های این مبحث

قضیه تالس و نتایج آن

قضایای تالس

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: قضیه تالس و نتایج آن
امتیاز:

قضیه

خطوط موازی

اگر چند خط موازی روی یک خط، پاره‌خط‌های مساوی بسازند، روی هر خط دیگری که آنها را قطع کند نیز پاره‌خط‌های مساوی پدید می‌آورند.

اثبات

قضیه تالس - پیمان گردلو

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AB=BCmnt

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

A'B'=B'C'

پاره‌خط‌های AD و BE را به‌موازات خط d' رسم می‌کنیم. 

چهارضلعی‌های AA'B'D و BB'C'E متوازی‌الاضلاع هستند، بنابراین:

BE=B'C'  ,  AD=A'B'    ;    1

ntd   (movarab)    B^2=C^2ADBEd(movarab)  A^1=B^1AB=BC

مثلث‌های زیر از طریق دو زاویه و یک ضلع برابرند:

ABD=BCEAD=BE1A'B'=B'C'

دریافت مثال

قضیه تالس

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه:

ADDB=AEEC

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

از نقطه D به C و از نقطه E به B وصل می‌کنیم. 

قضیه تالس - پیمان گردلو

نشان می‌دهیم مساحت‌های دو مثلث DEC و DEB با هم برابرند: 

CH ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEC=12CH  .  DE

BH' ارتفاع وارد بر امتداد DE است: 

SDEB=12  BH'  .  DE

با توجه به این‌که DEBC است، پس فاصله‌ این دو خط، همواره مقداری ثابتی است:

CH=BH'  SDEC=12CH  .  DESDEB=12  BH'  .  DESDEC=12CH  .  DESDEB=12  CH  .  DESDEC=SDEB

از نقطه E به ضلع AB عمود می‌کنیم و پای عمود را H1 می‌نامیم.

سپس از نقطه D به ضلع AC عمود می‌کنیم و پای عمود را H2 می‌نامیم. 

قضیه تالس - پیمان گردلو

SADESDEB=12EH1×AD12EH1×DB=ADDBSADESDEC=12DH2×AE12DH2×EC=AEEC

SADESDEB=ADDB    ;    SADESDEC  =AEEC    ;    SDEB=SDEC  ADDB=AEEC

دریافت مثال

تعمیم قضیه تالس 

قضیه

در شکل زیر اگر DEBC باشد، آن‌گاه: 

ADAB=AEAC=DEBC

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

روش اول) بر اساس قضیه تالس داریم:

DEBC  ADDB=AEECADAD+DB=AEAE+EC  ADAB=AEAC    ;    1

پاره‌خط EF را موازی AB رسم می‌کنیم: 

قضیه تالس - پیمان گردلو

با توجه به نتیجه‌ تالس داریم:

EFABBFBC=AEAC    ;    2

1,2  ADAB=AEACBFBC=AEACADAB=AEAC=BFBC


روش دوم) برای اثبات ADAB=AEAC داریم: 

قضیه تالس - پیمان گردلو

نقاط D و E را به‌ترتیب به C و B وصل می‌کنیم. 

دو مثلث DBC و EBC پدید می‌آیند که ضلع BC در آنها مشترک است و ارتفاع‌های نظیر BC در دو مثلث مساویند، بنابراین مساحت‌های این دو مثلث برابرند.

SDBC=SEBCCH'×DB=BH×ECDBEC=BHCH'    ;    1

در مثلث ABC داریم:

SABC=BH×AC2=CH'×AB2BH×AC=CH'×ABABAC=BHCH'    ;    2

1  ,  2  :   DBEC=ABACDBAB=ECAC

تساوی فوق را تفضیل نسبت در صورت می‌کنیم: 

ABDBAB=ACECACADAB=AEAC

نکته

از نتایح قضیه تالس به نسبت‌های زیر می‌توان اشاره کرد:

قضیه تالس - پیمان گردلو

DEBCADDB=AEECADAD+DB=AEAE+EC  ADAB=AEAC    ;    ABAD=ACAEADAB=AEACABADAB=ACAEAC  DBAB=ECAC    ;    ABDB=ACEC

دریافت مثال

قضیه

اگر M وسط AB و MNBC باشد، آن‌گاه N وسط AC است.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBMNBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

AN=NC

MNBCANNC=AMMB=1ANNC=1AN=NC

از تساوب اخبر نتیجه می‌شود که N وسط AC است. 

عکس قضیه تالس 

قضیه

اگر خطی دو ضلع یک مثلث را قطع کند و بر آن دو ضلع پاره‌خط‌هایی متناسب با آن دو ضلع پدید آورد با ضلع سوم مثلث موازی است.

اثبات

قضیه تالس - پیمان گردلو

فرض آ‌ن‌است‌که: 

ADAB=AEAC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

DEBC

فرض کنیم DE موازی BC نباشد، بنابراین DF را به موازات BC رسم می‌کنیم، خواهیم داشت:    

DFBCTalesADAB=AFACADAB=AEAC  AFAC=AEACAF=AE

با توجه به این‌که E و F هر دو روی ضلع AC قرار دارند، پس بر هم منطبق هستند، بنابراین DF نیز بر DE منطبق می‌شود، لذا DEBC.

دریافت مثال

قضیه

اگر M و N اوساط اضلاع AB و AC باشند، آن‌گاه MN و BC موازیند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AN=NCAM=MB

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MNBC

AM=MBAMMB=1AN=NCANNC=1  AMMB=ANNCMNBC

قضیه

اگر خطی موازی یک ضلع مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر آن‌را قطع کند با آن دو ضلع مثلثی می‌سازد که اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی متناسبند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

DEBC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

ADAB=AEAC=DEBC


DEBCADAB=AEAC    ;    1

EF را به‌موازات AB رسم می‌کنیم، خواهیم داشت: 

EFABCEAC=CFBCACCEAC=BCCFBCAEAC=BFBCAEAC=DEBC    ;    2


1  ,  2   :   ADAB=AEAC=DEBC

دریافت مثال

قضیه

در هر مثلث نیمساز هر زاویه، ضلع مقابل آن‌را به دو پاره‌خط که با دو ضلع آن زاویه متناسبند، تقسیم می‌کند.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

فرض آ‌ن‌است‌که: 

A^1=A^2

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

BDDC=ABAC

از راس C خطی موازی نیمساز AD رسم می‌کنیم تا امتداد BA را در E قطع کند، خواهیم داشت:

قضیه تالس - پیمان گردلو

ADCEBE(movarab)  A^1=E^ADCEAC  (movarab)  A^2=C^C^=E^AE=AC    ;    1

BEC:ADCEBDDC=ABAE1BDDC=ABAC

قضیه

در هر مثلث، پاره‌خطی که اوساط دو ضلع مثلث را به‌هم وصل کند، با ضلع سوم موازی و مساوی نصف آن است.

قضیه تالس - پیمان گردلو

اثبات

با توجه به‌فرض مساله M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس:

فرض آ‌ن‌است‌که: 

AM=MBAN=NC

می‌خواهیم ثابت کنیم: (حکم)

MN=12BC

با توجه به عکس تالس:

AMMB=ANNC=1     MN    BC

از تعمیم قضیه‌ تالس استفاده می‌کنیم:

MN  BC  AMAB=ANAC=MNBC

با توجه به این‌که  M و N به‌ترتیب وسط AB و AC هستند پس AMAB و ANAC برابرند با 12 در نتیجه: 

MNBC=12MN=12BC

خرید پاسخ‌ها

قضایای تالس

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید