برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

لیست

سرفصل‌های این مبحث

هندسه دکارتی

دستگاه مختصات دكارتی
فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها
مختصات وسط پاره خط
معادله خط
طول و عرض از مبدا
شیب خط (ضریب زاویه)
معادله خط با یک نقطه و شیب خط
معادله خط با داشتن دو نقطه
شرط موازی بودن دو خط
شرط عمود بودن دو خط
فصل مشترک دو خط
فاصله نقطه از خط
فاصله دو خط موازی
مكان هندسی نقاطی كه به فاصله معین از یک خط قرار دارند
معادله نیمساز زاویه بین دو خط
مساحت مثلث به كمک مختصات
دسته خط
انتقال محورهای مختصات
تقسیم پاره خط به نسبت معلوم
محور

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

آخرین ویرایش: 16 فروردين 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

اگر $A (x_{A}, y_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B})$ دو نقطه در صفحه مختصات $x o y$ باشند، فاصله این دو نقطه یعنی طول پاره خط $A B$ بر حسب مختصات نقاط $A$ و $B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

اثبات

از نقاط $A$ و $B$ خطوطی بر هر دو محور عمود می‌کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} \bar{H B} = y_{B} - y_{A} \\ \bar{H A} = x_{A} - x_{B} \end{cases}$

در مثلث $A B H$ با توجه به رابطه فیثاغورث داریم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = H B^{2} + H A^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(x_{A} - x_{B})}^{2} \\ \Rightarrow A B^{2} = {(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2} \\ \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \end{array}$

تمرین

دستگاه مختصات دکارتی زیر مفروض است:

فاصله دو نقطه - پیمان گردلو

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $B$ به‌دست آورید.

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(3 - 4)}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $C$ به‌دست آورید.

$A C = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $D$ به‌دست آورید.

$A D = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(3 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $E$ به‌دست آورید.

$A E = \sqrt{{(x_{A} - x_{E})}^{2} + {(y_{A} - y_{E})}^{2}} = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

تمرین

فاصله دو نقطه را در شکل زیر محاسبه کرده‌ایم:

فاصله دو نقطه - پیمان گردلو

تمرین

سه نقطه زیر را راس های یک مثلث در نظر می‌گیریم:

$A = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}]$

مثلث را رسم کنید.

پیمان گردلو

طول اضلاع و محیطش را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(- 1 + 0)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \\ A C = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(1 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \\ B C = \sqrt{{(x_{B} - x_{C})}^{2} + {(y_{B} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(0 - 3)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \end{array}$

$P = A B + A C + B C = \sqrt{5} + \sqrt{20} + 5 = \sqrt{5} + \sqrt{4 \times 5} + 5 = \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5 = 3 \sqrt{5} + 5$

نوع این مثلث را مشخص کنید.

طول اضلاع مثلث در قضیه‌ فیثاغورس زیر صدق می‌کند، بنابراین مثلث، قائم‌ الزاویه است.

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} \\ \Rightarrow {(5)}^{2} = {(\sqrt{20})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} \\ \Rightarrow 25 = 20 + 5 \end{array}$

تمرین

نقطه ای روی خط زیر بيابيد كه فاصله آن از نقطه $A (5, - 1)$ برابر $5$ باشد.

$L : y = x + 1$

فرض كنيم نقطه مورد نظر به مختصات $B (α,)$ باشد.

چون اين نقطه روی خط $L$ قرار دارد، در معادله خط صدق می‌کند و عرض آن $α + 1$ است و داریم:

$\{\begin{cases} A (5, - 1) \\ B (α, α + 1) \end{cases}$

$\begin{array}{l} A B = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{{(5 - α)}^{2} + {[- 1 - (α + 1)]}^{2}} = 5 \\ \Rightarrow {(5 - α)}^{2} + {(- 2 - α)}^{2} = 25 \\ \Rightarrow {(5 - α)}^{2} + {(α + 2)}^{2} = 25 \\ \Rightarrow (25 - 10 α + α^{2}) + (α^{2} + 4 α + 4) = 25 \\ \Rightarrow 2 α^{2} - 6 α + 4 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} α = 1 \\ α = 2 \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} i f α = 1 \overset{B (α, α + 1)}{\to} B (1, 2) \\ i f α = 2 \overset{B (α, α + 1)}{\to} B^{'} (2, 3) \end{cases}$

پس مساله دو جواب دارد.

تمرین

نقطه $A$ به عرض $(3)$ را روی محور $y$ ها در نظر می‌گیریم.

دو نقطه $B, C$ را روی محور $x$ ها طوری پیدا کنید که مثلث $A B C$ در راس $A$ متساوی الساقین باشد.

پیمان گردلو

در مثلث متساوی الساقین، داریم:

$\begin{array}{l} A B = A C \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{b})}^{2}} = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{{(0 - x_{B})}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(0 - x_{C})}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{{x_{B}}^{2} + 9} = \sqrt{{x_{C}}^{2} + 9} \\ \Rightarrow {[\sqrt{{x_{B}}^{2} + 9}]}^{2} = {[\sqrt{{x_{C}}^{2} + 9}]}^{2} \\ \Rightarrow {x_{B}}^{2} + 9 = {x_{C}}^{2} + 9 \\ \Rightarrow {x_{B}}^{2} = {x_{C}}^{2} \\ \Rightarrow x_{B} = \pm x_{C} \\ \Rightarrow x_{B} = - x_{C} \end{array}$

$x_{B} = x_{C}$ قابل قبول نیست زیرا هر دو نقطه $B, C$ روی هم می‌افتند.

به‌ازای هر دو مقدار قرینه روی محور $x$ ها نسبت به مبدا مختصات طول نقطه $B$ با قرینه‌ طول نقطه $C$ برابر است و به‌ازای بی ‌نهایت مقدار پاره‌ خط $A B = A C$ می‌باشد، بنابراین مسئله بی‌ نهایت جواب دارد.

تمرین

نقطه ای روی خط $y = 2 x$ تعیین کنید که مجموع فواصل آن تا مبدا مختصات و نقطه $A (2, 4)$ برابر $5$ باشد.

نقطه $M (x, y)$ روی $y = 2 x$ در نظر می‌گیریم، در این‌صورت $M (x, 2 x)$ است:

$\begin{array}{l} \bar{O M} + \bar{A M} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(2 x - 0)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(2 x - 4)}^{2}} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{5 x^{2}} + \sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20} = 5 - \sqrt{5 x^{2}} \\ \Rightarrow {(\sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20})}^{2} = {(5 - \sqrt{5 x^{2}})}^{2} \\ \Rightarrow 5 x^{2} - 20 x + 20 = 25 + 5 x^{2} - 10 \sqrt{5 x^{2}} \\ \Rightarrow - 20 x + 10 \sqrt{5} |x| = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \overset{x \geq 0}{\to} \sqrt{5} (+ x) - 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow (\sqrt{5} - 2) x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2 (\sqrt{5} - 2)} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \overset{x < 0}{\to} \sqrt{5} (- x) - 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow - (\sqrt{5} + 2) x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{- 2 (\sqrt{5} + 2)} = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$

$\{\begin{cases} x = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \overset{y = 2 x}{\to} y = 2 + \sqrt{5}; M (\frac{2 + \sqrt{5}}{2}, 2 + \sqrt{5}) \\ x = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \overset{y = 2 x}{\to} y = 2 - \sqrt{5}; M (\frac{2 - \sqrt{5}}{2}, 2 - \sqrt{5}) \end{cases}$

معادله دو جواب دارد.

تمرین

مركز دايره ای را پيدا كنيد كه آن دايره از سه نقطه زیر می‌گذرد.

$A (- 3, - 8), B (2, 7), C (4, 3)$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} C M = B M \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{C})}^{2} + {(y_{M} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt{{(α - 4)}^{2} + {(β - 3)}^{2}} = \sqrt{{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}} \\ \Rightarrow [{(α - 4)}^{2} + {(β - 3)}^{2}] = [{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}] \\ \Rightarrow (α^{2} - 8 α + 16) + (β^{2} - 6 β + 9) = (α^{2} - 4 α + 4) + (β^{2} - 14 β + 49) \\ \Rightarrow - 8 α + 4 α - 6 β + 14 β + 25 - 53 = 0 \\ \Rightarrow - 4 α + 8 β - 28 = 0 \\ \Rightarrow - α + 2 β - 7 = 0; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} A M = B M \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{A})}^{2} + {(y_{M} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} \\ \Rightarrow [{(α + 3)}^{2} + {(β + 8)}^{2}] = [{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}] \\ \Rightarrow (α^{2} + 6 α + 9) + (β^{2} + 16 β + 64) = (α^{2} - 4 α + 4) + (β^{2} - 14 β + 49) \\ \Rightarrow 10 α + 30 β + 20 = 0 \\ \Rightarrow α + 3 β + 2 = 0; (2) \end{array}$

$(1), (2) : \{\begin{cases} - α + 2 β - 7 = 0 \\ α + 3 β + 2 = 0 \end{cases}〉 \begin{matrix} (- 1) \times \end{matrix} \{\begin{cases} α - 2 β = - 7 \\ α + 3 β = - 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} α - 2 β = - 7 \\ - α - 3 β = 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} α = - 5 \\ β = 1 \end{cases}$

$M (- 5, 1)$ مرکز دايره فوق می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- فاصله مبدا مختصات تا نقطه $M (x_{M}, y_{M})$ از رابطه زیر به دست می‌آید.

$\{\begin{cases} O (0, 0) \\ M (x_{M}, y_{M}) \end{cases}〉 O M = \sqrt{{(x_{M} - x_{O})}^{2} + {(y_{M} - y_{O})}^{2}} \Rightarrow O M = \sqrt{{x_{M}}^{2} + {y_{M}}^{2}}$

2- اگر نقاط $A$ و $B$ هم عرض باشند، یعنی $y_{A} = y_{B}$ رابطه به صورت زیر است:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = |x_{A} - x_{B}|$

3- اگر نقاط $A$ و $B$ هم طول باشند، یعنی $y_{A} = y_{B}$ رابطه به صورت زیر است:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = \sqrt{{(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = |y_{A} - y_{B}|$

تمرین

فاصله نقطه $A (3 \sqrt{2}, \sqrt{7})$ از مبدا مختصات را به‌دست آوريد.

$O A = \sqrt{{x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2}} = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست کنکور ریاضی 1401

فاصله نقطه $A$ روی خط $x + y = a$ از دو نقطه $C (- 1, 4), B (- 3, 2)$ و به‌ترتیب برابر $\sqrt{29}$ و $5$ است. مقدار $a$ چقدر است؟

$2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$- 2$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

1,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری

هندسه دکارتی

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

تست‌های این مبحث

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟