سرفصل‌های این مبحث

هندسه دکارتی

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402

دسته‌بندی: هندسه دکارتی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

در این بخش می‏‌خواهیم فاصله دو نقطه در دستگاه مختصات دکارتی را محاسبه کنیم.

قضیه

$A (x_{A}, y_{A})$ و $B (x_{B}, y_{B})$ دو نقطه در صفحه مختصات $x o y$ می‌باشند.

فاصله این دو نقطه یعنی طول پاره خط $A B$ بر حسب مختصات نقاط $A$ و $B$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

اثبات

از نقاط $A$ و $B$ خطوطی بر هر دو محور عمود می‌کنیم، خواهیم داشت:

$\{\begin{cases} \bar{H B} = y_{B} - y_{A} \\ \bar{H A} = x_{A} - x_{B} \end{cases}$

در مثلث $A B H$ با توجه به رابطه فیثاغورث داریم:

$\begin{array}{l} A B^{2} = H B^{2} + H A^{2} \end{array}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(x_{A} - x_{B})}^{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A B^{2} = {(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$

تمرین

دستگاه مختصات دکارتی زیر مفروض است:

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $B$ به‌دست آورید.

$\begin{matrix} A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A B = \sqrt{{(3 - 4)}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A B = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A B = \sqrt{1 + 9} \end{matrix}$

$\Rightarrow A B = \sqrt{10}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $C$ به‌دست آورید.

$\begin{matrix} A C = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A C = \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {[3 - (- 1)]}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A C = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} \\ \Rightarrow A C = \sqrt{36 + 16} \\ \Rightarrow A C = \sqrt{52} \end{matrix}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $D$ به‌دست آورید.

$\begin{matrix} A D = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{matrix} \Rightarrow A D = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {[3 - (- 3)]}^{2}} \end{matrix} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A D = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} \\ \Rightarrow A D = \sqrt{4 + 36} \\ \Rightarrow A D = \sqrt{40} \end{matrix}$

فاصله نقطه $A$ را تا نقطه $E$ به‌دست آورید.

$\begin{matrix} A E = \sqrt{{(x_{A} - x_{E})}^{2} + {(y_{A} - y_{E})}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A E = \sqrt{{[3 - (- 1)]}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow A E = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} \\ \Rightarrow A E = \sqrt{16 + 4} \\ \Rightarrow A E = \sqrt{20} \end{matrix}$

تمرین

سه نقطه زیر را راس های یک مثلث در نظر می‌گیریم:

$A = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}]$

مثلث را رسم کنید.

طول اضلاع و محیطش را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(- 1 + 0)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(1 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \end{array}$

$B C = \sqrt{{(x_{B} - x_{C})}^{2} + {(y_{B} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(0 - 3)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$P = A B + A C + B C = \sqrt{5} + \sqrt{20} + 5 = \sqrt{5} + \sqrt{4 \times 5} + 5 = \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5 = 3 \sqrt{5} + 5$

نوع این مثلث را مشخص کنید.

طول اضلاع مثلث در قضیه‌ فیثاغورس زیر صدق می‌کند، بنابراین مثلث، قائم‌ الزاویه است.

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} \\ \Rightarrow {(5)}^{2} = {(\sqrt{20})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} \\ \Rightarrow 25 = 20 + 5 \end{array}$

تمرین

نقطه ای روی خط زیر بيابيد كه فاصله آن از نقطه $A (5, - 1)$ برابر $5$ باشد.

$L : y = x + 1$

فرض كنيم نقطه مورد نظر به مختصات $B (α,)$ باشد.

چون اين نقطه روی خط $L$ قرار دارد، در معادله خط صدق می‌کند و عرض آن $α + 1$ است و داریم:

$\{\begin{cases} A (5, - 1) \\ B (α, α + 1) \end{cases}$

$\begin{array}{l} A B = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{{(5 - α)}^{2} + {[- 1 - (α + 1)]}^{2}} = 5 \\ \Rightarrow {(5 - α)}^{2} + {(- 2 - α)}^{2} = 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(5 - α)}^{2} + {(α + 2)}^{2} = 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (25 - 10 α + α^{2}) + (α^{2} + 4 α + 4) = 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 α^{2} - 6 α + 4 = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} α = 1 \\ α = 2 \end{cases} \end{array}$

$\{\begin{cases} i f α = 1 \overset{B (α, α + 1)}{\to} B (1, 2) \\ i f α = 2 \overset{B (α, α + 1)}{\to} B^{'} (2, 3) \end{cases}$

پس مساله دو جواب دارد.

تمرین

خط زیر را در نظر بگیرید:

$d : y = x + 4$

روی خط نقطه ای پيدا كنيد كه از دو نقطه $B (3, - 4), A (1, 4)$ برابر باشند.

فرض می‌کنیم نقطه مورد نظر به مختصات $M (α,)$ باشد.

چون این نقطه روی خط قرار دارد، عرض آن $α + 4$ است:

$M (α, α + 4) \in d$

$\begin{array}{l} A M = B M \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{A})}^{2} + {(y_{M} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(α - 1)}^{2} + {(α + 4 - 4)}^{2}} = \sqrt{{(α - 3)}^{2} + {(α + 4 + 4)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (α^{2} - 2 α + 1) + α^{2} = (α^{2} - 6 α + 9) + (α^{2} + 16 α + 64) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 72 = 12 α \\ \Rightarrow α = - 6 \end{array}$

$i f α = - 6 \overset{M (α, α + 4)}{\to} M (- 6, - 2) \in d$

تمرین

نقطه $A$ را روی محور طول ها در نظر بگیرید.

مختصات این نقطه را چنان تعيين كنيد كه از دو نقطه $C (2, 1), B (4, 1)$ يک فاصله باشد.

هر نقطه روی محور طول ها مانند $M$ ، عرضش صفر است يعنی $M (α, 0)$ .

$\begin{array}{l} M B = M C \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{C})}^{2} + {(y_{M} - y_{C})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(4 - α)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(2 - α)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(4 - α)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} = {(2 - α)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 16 - 8 α + α^{2} + 1 = 4 - 4 α + α^{2} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 12 = 4 α \\ \Rightarrow α = 3 \\ i f α = 3 \overset{M (α, 0)}{\to} M (3, 0) \end{array}$

تمرین

نقطه ای به طول $3$ در صفحه مختصات در نظر بگیرید.

مختصات این نقطه را طوری پیدا کنید كه فاصله آن از نقطه $A (- 3, 6)$ برابر $10$ باشد.

فرض می‌کنيم آن نقطه $B$ و به مختصات $B (3, y_{B})$ باشد:

$\begin{array}{l} A B = 10 \\ \Rightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = 10 \\ \Rightarrow \sqrt{{(- 3 - 3)}^{2} + {(6 - y_{B})}^{2}} = 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 3 - 3)}^{2} + {(6 - y_{B})}^{2} = 100 \\ \Rightarrow 36 + {(6 - y_{B})}^{2} = 100 \\ \Rightarrow {(6 - y_{B})}^{2} = 64 \\ \Rightarrow 6 - y_{B} = \pm 8 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 6 - y_{B} = 8 \Rightarrow y_{B} = - 2 \Rightarrow B = (3, - 2) \\ 6 - y_{B} = - 8 \Rightarrow y_{B} = 14 \Rightarrow B (3, 14) \end{cases}$

تمرین

نقاط زیر رئوس مثلث $A B C$ هستند.

$C (0, 4), B (2, - 1), A (- 3, 1)$

نوع مثلث را تعيين كنيد.

$\begin{array}{l} A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 + 3)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \sqrt{29} \end{array}$

$\begin{array}{l} A C = \sqrt{{(x_{C} - x_{A})}^{2} + {(y_{C} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(0 + 3)}^{2} + {(4 - 1)}^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \end{array}$

$B C = \sqrt{{(x_{C} - x_{B})}^{2} + {(y_{C} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(4 + 1)}^{2}} = \sqrt{29}$

در راس $B$ مثلث متساوی الساقين است، زيرا دو ساق آن با هم برابر است:

$A B = B C = \sqrt{29}$

تمرین

نقطه $A$ به عرض $(3)$ را روی محور $y$ ها در نظر می‌گیریم.

دو نقطه $B, C$ را روی محور $x$ ها طوری پیدا کنید که مثلث $A B C$ در راس $A$ متساوی الساقین باشد.

پیمان گردلو

در مثلث متساوی الساقین، داریم:

$\begin{array}{l} A B = A C \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{b})}^{2}} = \sqrt{{(x_{A} - x_{C})}^{2} + {(y_{A} - y_{C})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(0 - x_{B})}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(0 - x_{C})}^{2} + {(3 - 0)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{x_{B}}^{2} + 9} = \sqrt{{x_{C}}^{2} + 9} \\ \Rightarrow {[\sqrt{{x_{B}}^{2} + 9}]}^{2} = {[\sqrt{{x_{C}}^{2} + 9}]}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x_{B}}^{2} + 9 = {x_{C}}^{2} + 9 \\ \Rightarrow {x_{B}}^{2} = {x_{C}}^{2} \\ \Rightarrow x_{B} = \pm x_{C} \\ \Rightarrow x_{B} = - x_{C} \end{array}$

$x_{B} = x_{C}$ قابل قبول نیست زیرا هر دو نقطه $B, C$ روی هم می‌افتند.

به‌ازای هر دو مقدار قرینه روی محور $x$ ها نسبت به مبدا مختصات طول نقطه $B$ با قرینه‌ طول نقطه $C$ برابر است.

به‌ازای بی ‌نهایت مقدار پاره‌ خط $A B = A C$ می‌باشد، بنابراین مسئله بی‌ نهایت جواب دارد.

تمرین

نقطه ای روی خط $y = 2 x$ تعیین کنید که مجموع فواصل آن تا مبدا مختصات و نقطه $A (2, 4)$ برابر $5$ باشد.

نقطه $M (x, y)$ روی $y = 2 x$ در نظر می‌گیریم، در این‌صورت $M (x, 2 x)$ است:

$\begin{array}{l} \bar{O M} + \bar{A M} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(2 x - 0)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(2 x - 4)}^{2}} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{5 x^{2}} + \sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20} = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20} = 5 - \sqrt{5 x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sqrt{5 x^{2} - 20 x + 20})}^{2} = {(5 - \sqrt{5 x^{2}})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x^{2} - 20 x + 20 = 25 + 5 x^{2} - 10 \sqrt{5 x^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 20 x + 10 \sqrt{5} |x| = 5 \\ \Rightarrow \sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \end{array}$

$\sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \overset{x \geq 0}{\to} \sqrt{5} (+ x) - 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow (\sqrt{5} - 2) x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2 (\sqrt{5} - 2)} = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5} |x| - 2 x = \frac{1}{2} \overset{x < 0}{\to} \sqrt{5} (- x) - 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow - (\sqrt{5} + 2) x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{- 2 (\sqrt{5} + 2)} = \frac{2 - \sqrt{5}}{2}$

$\begin{array}{l} x = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \overset{y = 2 x}{\to} y = 2 + \sqrt{5}; M (\frac{2 + \sqrt{5}}{2}, 2 + \sqrt{5}) \end{array}$

$\begin{array}{l} x = \frac{2 - \sqrt{5}}{2} \overset{y = 2 x}{\to} y = 2 - \sqrt{5}; M (\frac{2 - \sqrt{5}}{2}, 2 - \sqrt{5}) \end{array}$

معادله دو جواب دارد.

تمرین

خط زیر را در نظر بگیرید:

$L : y = 2 x + 1$

نقطه ای روی این خط بیابید که از دو نقطه $B (- 1, 0), A (3, 0)$ به یک فاصله باشد.

برای درک بهتر مسئله، شکلی رسم می‌کنیم که مشخصات مسئله در آن دیده شود.

نقطه دل‌خواهی روی خط در نظر می‌گیریم.

اگر این نقطه را $M$ بنامیم ،چون روی خط $y = 2 x + 1$ قرار دارد، مختصات آن باید به شکل زیر باشد:

$M (a, 2 a + 1) \in L$

بنابراین داریم:

$\begin{array}{l} M A = M B \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(2 a + 1 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(2 a + 1 - 0)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(a - 3)}^{2} + {(2 a + 1)}^{2} = {(a + 1)}^{2} + {(2 a + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} - 6 a + 9 = a^{2} + 2 a + 1 \\ \Rightarrow a = 1 \end{array}$

پس جواب مسئله نقطه $M (1, 3)$ است.

این مسئله را می‌توانیم به‌صورت هندسی حل کنیم:

نقاطی که از دو نقطه $A, B$ به یک فاصله اند، روی عمود منصف پاره خط واصل آن دو نقطه قرار دارند.

نقطه $M$ روی عمود منصف $A B$ است.

از طرف دیگر $M$ روی خط است، پس محل برخورد این دو خط است.

تمرین

نقاط $C (- 4, - 5), A (2, 3)$ دو راس مربع $A B C D$ می‌باشند.

مساحت مربع را تعيين كنيد.

$\begin{array}{l} d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} d = A C \\ \Rightarrow d = \sqrt{{(x_{C} - x_{A})}^{2} + {(y_{C} - y_{A})}^{2}} \\ \Rightarrow d = \sqrt{{(- 4 - 2)}^{2} + {(- 5 - 3)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d = \sqrt{36 + 64} \\ \Rightarrow d = \sqrt{100} \\ \Rightarrow d = 10 \end{array}$

با داشتن $d$ طول ضلع مربع یعنی $a$ را محاسبه می‌کنیم:

$\begin{array}{l} d = a \sqrt{2}; d = 10 \\ \Rightarrow 10 = a \sqrt{2} \\ \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow a = \frac{10 \sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow a = 5 \sqrt{2} \end{array}$

مساحت مربع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{l} S = a^{2}; 5 \sqrt{2} \\ \Rightarrow S = {(5 \sqrt{2})}^{2} \\ \Rightarrow S = 25 \times 2 \\ \Rightarrow S = 50 \end{array}$

تمرین

مركز دايره ای را پيدا كنيد كه آن دايره از سه نقطه زیر می‌گذرد.

$A (- 3, - 8), B (2, 7), C (4, 3)$

پیمان گردلو

$\begin{array}{l} C M = B M \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{C})}^{2} + {(y_{M} - y_{C})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(α - 4)}^{2} + {(β - 3)}^{2}} = \sqrt{{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(α - 4)}^{2} + {(β - 3)}^{2}] = [{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (α^{2} - 8 α + 16) + (β^{2} - 6 β + 9) = (α^{2} - 4 α + 4) + (β^{2} - 14 β + 49) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 8 α + 4 α - 6 β + 14 β + 25 - 53 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 4 α + 8 β - 28 = 0 \\ \Rightarrow - α + 2 β - 7 = 0; (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} A M = B M \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt{{(x_{M} - x_{A})}^{2} + {(y_{M} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(x_{M} - x_{B})}^{2} + {(y_{M} - y_{B})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(α + 3)}^{2} + {(β + 8)}^{2}] = [{(α - 2)}^{2} + {(β - 7)}^{2}] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (α^{2} + 6 α + 9) + (β^{2} + 16 β + 64) = (α^{2} - 4 α + 4) + (β^{2} - 14 β + 49) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 10 α + 30 β + 20 = 0 \\ \Rightarrow α + 3 β + 2 = 0; (2) \end{array}$

$(1), (2) : \{\begin{cases} - α + 2 β - 7 = 0 \\ α + 3 β + 2 = 0 \end{cases}〉 \begin{matrix} (- 1) \times \end{matrix} \{\begin{cases} α - 2 β = - 7 \\ α + 3 β = - 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} α - 2 β = - 7 \\ - α - 3 β = 2 \end{cases}〉 \{\begin{cases} α = - 5 \\ β = 1 \end{cases}$

$M (- 5, 1)$ مرکز دايره فوق می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

1- فاصله مبدا مختصات تا نقطه $M (x_{M}, y_{M})$ از رابطه زیر به دست می‌آید.

$\{\begin{cases} O (0, 0) \\ M (x_{M}, y_{M}) \end{cases}〉 O M = \sqrt{{(x_{M} - x_{O})}^{2} + {(y_{M} - y_{O})}^{2}} \Rightarrow O M = \sqrt{{x_{M}}^{2} + {y_{M}}^{2}}$

2- اگر نقاط $A$ و $B$ هم عرض باشند، یعنی $y_{A} = y_{B}$ رابطه به صورت زیر است:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = |x_{A} - x_{B}|$

3- اگر نقاط $A$ و $B$ هم طول باشند، یعنی $y_{A} = y_{B}$ رابطه به صورت زیر است:

$A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = \sqrt{{(y_{A} - y_{B})}^{2}} \Rightarrow A B = |y_{A} - y_{B}|$

تمرین

فاصله نقطه $A (3 \sqrt{2}, \sqrt{7})$ از مبدا مختصات را به‌دست آوريد.

$O A = \sqrt{{x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2}} = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}} = \sqrt{18 + 7} = \sqrt{25} = 5$

تمرین

نقطه $A$ واقع بر نيمساز ربع دوم و چهارم می‌باشد.

$A$ را چنان تعيين كنيد كه فاصله اش از مبدا مختصات برابر $5 \sqrt{2}$ باشد.

معادله خط نيمساز ربع دوم و چهارم به‌صورت زير است:

$L : y = - x$

فرض کنیم نقطه $A (α,)$ روی خط $L$ واقع باشد:

$i f x = α \overset{y = - x}{\to} y = - α \Rightarrow A (α, - α) \in L$

$\begin{array}{l} O A = \sqrt{{x_{A}}^{2} + {y_{A}}^{2}} \\ \Rightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{α^{2} + {(- α)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{2 α^{2}} \\ \Rightarrow 5 \sqrt{2} = |α| \sqrt{2} \\ \Rightarrow |α| = 5 \\ \Rightarrow α = \pm 5 \end{array}$

$i f A (α, - α) \in L \overset{α = \pm 5}{\to} A_{1} (5, - 5), A_{2} (- 5, 5)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست کنکور ریاضی 1401

فاصله نقطه $A$ روی خط $x + y = a$ از دو نقطه $C (- 1, 4), B (- 3, 2)$ و به‌ترتیب برابر $\sqrt{29}$ و $5$ است. مقدار $a$ چقدر است؟

$2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$- 2$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

1,500تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه دکارتی

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

مقدمه

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟