فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

قضیه

اگر AxA,yA و BxB,yB دو نقطه در صفحه مختصات xoy باشند، فاصله این دو نقطه یعنی طول پاره خط AB بر حسب مختصات نقاط A و B به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

AB=xAxB2+yAyB2

اثبات

فاصله دو نقطه - پیمان گردلو

از نقاط A و B خطوطی بر هر دو محور عمود می‌کنیم، خواهیم داشت:

HB¯=yByAHA¯=xAxB

در مثلث ABH با توجه به رابطه فیثاغورث داریم: 

AB2=HB2+HA2AB2=yByA2+xAxB2AB2=xAxB2+yAyB2AB=xAxB2+yAyB2

تمرین

دستگاه مختصات دکارتی زیر مفروض است:

فاصله دو نقطه - پیمان گردلو 

فاصله نقطه A را تا نقطه B به‌دست آورید.

AB=xAxB2+yAyB2=342+302=12+32=1+9=10

فاصله نقطه A را تا نقطه C به‌دست آورید.

AC=xAxC2+yAyC2=332+312=62+42=36+16=52

فاصله نقطه A را تا نقطه D به‌دست آورید.

AD=xAxD2+yAyD2=312+332=22+62=4+36=40

فاصله نقطه A را تا نقطه E به‌دست آورید.

AE=xAxE2+yAyE2=312+312=42+22=16+4=20

تمرین

نقطه ای روی خط y=2x تعیین کنید که مجموع فواصل آن تا مبدا مختصات و نقطه A2,4 برابر 5 باشد. 

نقطه Mx,y روی y=2x در نظر می‌گیریم، در این‌صورت Mx,2x است:

OM¯+AM¯=5x02+2x02+x22+2x42=55x2+5x220x+20=55x220x+20=55x25x220x+202=55x225x220x+20=25+5x2105x220x+105x=55x2x=12


5x2x=12x05+x2x=1252x=12x=1252=2+52


5x2x=12x<05x2x=125+2x=12x=125+2=252

x=2+52y=2xy=2+5      ;    M2+52,2+5x=252y=2xy=25     ;    M252,25


معادله دو جواب دارد.

دریافت مثال

نکته

1- فاصله مبدا مختصات تا نقطه MxM,yM از رابطه زیر به دست می‌آید. 

O0,0MxM,yMOM=xMxO2+yMyO2OM=xM2+yM2


2-
 اگر نقاط A و B هم عرض باشند، یعنی yA=yB رابطه به صورت زیر است:

AB=xAxB2+yAyB2  AB=xAxB2AB=xAxB  


3-
  اگر نقاط A و B هم طول باشند، یعنی yA=yB رابطه به صورت زیر است: 

AB=xAxB2+yAyB2AB=yAyB2  AB=yAyB

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

فاصله دو نقطه برحسب مختصات آنها

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید