مختصات وسط پاره خط

آخرین ویرایش: 19 مهر 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:

قضیه

اگر AxA,yA و BxB,yB دو نقطه در صفحه مختصات xoy باشند، مختصات نقطه M وسط پاره‌ خط AB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

MxM=xA+xB2yM=yA+yB2

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو

از نقاط A و B و M خطوطی بر دو محور عمود می‌کنیم تا به ترتیب محور طول را در نقاط A' و B' و M' و محور عرض را در نقاط A'' و B'' و M'' قطع کند.  

نقطه M' وسط پاره خط A'B' است، بنابراین:

B'M'¯=M'A'¯OM'¯OB'¯=OA'¯OM'¯2OM'¯=OA'¯+OB'¯OM'¯=OA'¯+OB'¯2xM'=xA'+xB'2xM=xA+xB2

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود:

yM=yA+yB2

یادآوری

مطالب فوق را در شکل زیر مشاهده می‌کنید:

هندسه دکارتی - پیمان گردلو

تمرین

اگر A1,4 و B5,2 دو سر يک پاره خط باشند، مختصات نقطه M وسط پاره خط AB را به‌دست آورید.

xM=xA+xB2=1+52=42=2yM=yA+yB2=4+22=62=3M2,3

دریافت مثال

قضیه

در یک دستگاه مختصات دکارتی، اگر چهار ضلعی ABCD متوازی الاضلاع باشد، آن‌گاه:

xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو

xM=xA+xC2xM=xB+xD2xA+xC2=xB+xD2xA+xC=xB+xD

yM=yA+yC2yM=yB+yD2yA+yC2=yB+yD2yA+yC=yB+yD

تمرین

اگر Aa+2,2b و B5,a و Cb,2a و D4,11 رئوس يک متوازی الاضلاع باشند، a و b را به‌دست آوريد.

xA+xC=xB+xDa+2+b=5+4a+b=7yA+yC=yB+yD2b+2a=a+112b+a=11a=3b=4

دریافت مثال

قضیه

اگر G نقطه تلاقی میانه‌های مثلث ABC باشد، آن‌گاه مختصات نقطه G به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

xG=xA+xB+xC3yG=yA+yB+yC3

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو  

می‌دانیم نقطه برخورد میانه‌های سه راس، هر میانه را به نسبت 2 و 1 تقسیم می کند، یعنی:  

AGGM=21

فرض کنیم D وسط AG باشد: 

xG=xD+xM2xG=xA+xG2+xB+xC22xG=xA+xG+xB+xC44xG=xA+xG+xB+xC3xG=xA+xB+xCxG=xA+xB+xC3

به‌همین ترتیب yG=yA+yB+yC3 ثابت می‌شود.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مختصات وسط پاره خط

1,700تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید