مختصات وسط پاره خط

آخرین ویرایش: 26 بهمن 1402
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:

قضیه اول

قضیه

اگر AxA,yA و BxB,yB دو نقطه در صفحه مختصات xoy باشند، مختصات نقطه M وسط پاره‌ خط AB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

MxM=xA+xB2yM=yA+yB2

اثبات

از نقاط A و B و M خطوطی بر دو محور عمود می‌کنیم تا به ترتیب محور طول را در نقاط A' و B' و M' و محور عرض را در نقاط A'' و B'' و M'' قطع کند.  

نقطه M' وسط پاره خط A'B' است، بنابراین:

B'M'¯=M'A'¯OM'¯OB'¯=OA'¯OM'¯2OM'¯=OA'¯+OB'¯

OM'¯=OA'¯+OB'¯2xM'=xA'+xB'2xM=xA+xB2

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود:

yM=yA+yB2

یادآوری

خلاصه مطالب فوق را در شکل زیر مشاهده می‌کنید:

هندسه دکارتی - پیمان گردلو

تمرین

اگر نقاط زیر دو سر يک پاره خط باشند، مختصات نقطه M وسط پاره خط AB را بیابید.

A1,4  ,  B5,2

xM=xA+xB2=1+52=42=2

yM=yA+yB2=4+22=62=3


M2,3 وسط پاره خط AB است.

تمرین

نقاط زیر سه راس مثلث OAB هستند. 

A4,1  ,  B8,2  ,  O0,0

طول پاره خطی كه وسط OA را به وسط OB وصل می‌كند، به‌دست آوريد. 

پاره خطی كه وسط OA را به وسط OB وصل می‌كند، نصف AB است.


12AB=12xBxA2+yByA2=12842+212=52

تمرین

اگر نقاط زیر وسط های اضلاع يک مثلث باشند، مختصات رئوس مثلث را پيدا كنيد. 

P1,2  ,  N3,1  ,  M1,1



xM=xA+xB2xM=1xA+xB=2yM=yA+yB2yM=1yA+yB=2


xN=xB+xC2xN=3xB+xC=6yN=yB+yC2yN=1yB+yC=2


xP=xA+xC2xP=1xA+xC=2yP=yA+yC2yP=2yA+yC=4


xA+xB=2                               xB+xC=6xB=6xCxA+6xC=2xAxC=4xA+xC=2xA=3xC=1xB=5


yA+yB=2                               yB+yC=2yB=2yCyA+2yC=2yAyC=4yA+yC=4yA=0yC=4yB=2A3,0  ,  B5,2  ,  C1,4

تمرین

نقاط زیر را در نظر بگیرید:

Aa1,2  ,  B2a+b,ab  ,  C6,2

مقادیر a,b را چنان بيابيد كه نقطه B وسط پاره خط AC باشد. 

xB=xA+xC22a+b=a1+622a+b=a+524a+2b=a+53a+2b=5


yB=yA+yC2ab=222ab=0


3a+2b=5ab=0a=1b=1

تمرین

دو نقطه ثابت A,B را در صفحه در نظر بگیرید.

مكان هندسی نقاطی را به‌دست آورید كه مجموع مربعات فواصل آن از دو نقطه، برابر مقدار ثابت k2 باشد.

محور x ها را بر امتداد AB در نظر می‌گیریم.


محور y ها را عمود منصف AB در نظر می‌گيريم.


اگر AB=2A باشدمختصات نقاط A,B به‌صورت زیر است:


Aa,0   ,   Ba,0


فرض كنيم Mx,y يكی از نقاط مكان باشد.



مجموع مربعات فواصل دو A,B برابر مقدار ثابت k2 است.


MA2+MB2=k2


xa2+y02+x+a2+y02=k2


2x2+2y2+2a2=k2x2+y2=k22a22


يعنی مكانِ نقطه M دايره ای است به مركز وسط AB و شعاع زیر:


r=k22a22


تمرین

دو نقطه ثابت A,B را در صفحه در نظر بگیرید.

مكان هندسی نقاطی را به‌دست آورید كه تفاضل مربعات فواصل آن از دو نقطه، برابر مقدار ثابت k2 باشد.

محور x ها را بر امتداد AB در نظر می‌گیریم.


محور y ها را عمود منصف AB در نظر می‌گيريم.


اگر AB=2A باشدمختصات نقاط A,B به‌صورت زیر است:


Aa,0   ,   Ba,0


فرض كنيم Mx,y يكی از نقاط مكان باشد.



MA2MB2=k2


xa2+y02x+a2+y02=k2


4ax=k2x=k24a


يعنی مكانِ نقطه M خطی است عمود بر AB و به فاصله k24a از وسط AB.


  

تمرین

خط متغيری از نقطه -2,1 می‌گذرد.

این خط محورهای مختصات را در نقاط A,B قطع می‌كند.

معادله مكان هندسه وسط AB بيابيد.

فرض كنيد y=mx+d معادله خط متغير باشد.



چون اين خط از نقطه -2,1 می‌گذرد، مختصات اين نقطه در معادله صدق می‌كند:


d:y=mx+d    ;    2,1d1=2m+dd=1+2m    ;    y=mx+dy=mx+1+2m


پس معادله اين خط به شكل زیر است:


y=mx+1+2m


if   x=0y=1+2m    ;    B0,1+2m


if   y=0x=1+2mm    ;    A1+2mm,0


مختصات وسط پاره خط AB به‌صورت زیر است:


M12m1+2m  ,  121+2m


برای یافتن معادله مکان هندسی وسط AB پارامتر m را بين معادله های زير حذف می‌کنيم:


xM=12m1+2mx=12m1


yM=121+2m2y=1+2m2m=2y1


if  x=12m1x=12y11    ;    2m=2y1

x=12y12y1x2y1=12y1

x2y1+2y+11=0x2y1+2y=0

دریافت مثال

قضیه دوم

قضیه

در یک دستگاه مختصات دکارتی، اگر چهار ضلعی ABCD متوازی الاضلاع باشد، آن‌گاه:

xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو

xM=xA+xC2xM=xB+xD2xA+xC2=xB+xD2xA+xC=xB+xD

yM=yA+yC2yM=yB+yD2yA+yC2=yB+yD2yA+yC=yB+yD

تمرین

نقاط زیر چهار راس متوازی الاضلاع ABCD می‌باشند.

Aa+2,2bB5,a        Cb,2a     D4,11     

a و b را به‌دست آوريد.

xA+xC=xB+xDa+2+b=5+4a+b=7


yA+yC=yB+yD2b+2a=a+112b+a=11


از حل دستگاه دو معادله و دو مجهول فوق، a و b به‌دست می‌آید:


a=3b=4

تمرین

نقاط زیر سه راس متوازی الاضلاع ABCD می‌باشند.

A2,4B1,2C3,1

مختصات راس D را پيدا كنيد.

xA+xC=xB+xD2+3=1+xDxD=0


yA+yC=yB+yD4+1=2+yDyD=3


مختصات راس D0,3 می‌باشد.

دریافت مثال

قضیه سوم

قضیه

اگر G نقطه تلاقی میانه‌های مثلث ABC باشد، آن‌گاه مختصات نقطه G به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

xG=xA+xB+xC3yG=yA+yB+yC3

اثبات

مختصات وسط پاره خط - پیمان گردلو  

می‌دانیم نقطه برخورد میانه‌های سه راس، هر میانه را به نسبت 2 و 1 تقسیم می کند، یعنی:  

AGGM=21

فرض کنیم D وسط AG باشد: 

xG=xD+xM2xG=xA+xG2+xB+xC22xG=xA+xG+xB+xC4

4xG=xA+xG+xB+xC3xG=xA+xB+xCxG=xA+xB+xC3

به‌همین ترتیب yG=yA+yB+yC3 ثابت می‌شود.  

تمرین

نقطه G2,1 محل برخورد ميانه های مثلث ABC است.

اگر B3,0,   A0,4 باشد، مختصات راس C را محاسبه كنيد.

xG=xA+xB+xC32=0+3+xC3xC=3


yG=yA+yB+yC31=4+0+yC3yC=7


مختصات راس C3,7 می‌باشد.

تمرین

نقاط زیر رئوس مثلث ABC هستند.

A2sinα,2cosα2B1,cosα1C1+sinα,3

طول بردار مكان G  (مركز ثقل مثلث) را محاسبه كنيد.

OG طول بردار مکان G (مرکز ثقل مثلث) است.


OG=xG  2+yG  2


xG=xA+xB+xC3=2sinα+1+1+sinα3=sinα


yG=yA+yB+yC3=2cosα2+cosα1+33=cosα


OG=xG  2+yG  2OG=sin2α+cos2αOG=1OG=1

تمرین

نقاط زیر دو راس مثلثی هستند.

A1,2  ,  B4,1

راس سوم آن روی محور طول ها و محل تلاقی ميانه های آن روی نيمساز ربع اول است.

مختصات راس سوم را پيدا كنيد.

راس سوم يعنی نقطه C روی محور طول هاست.


عرض این نقطه صفر است و داریم Cα,0.



مختصات ميانه (مرکز ثقل مثلث) روی خط y=x است، يعنی:


xG=yG

xA+xB+xC3=yA+yB+yC3

1+4+α3=2+1+03

5+α=3α=2if  α=2Cα,0C2,0

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مختصات وسط پاره خط

1,700تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید