دستگاه مختصات دكارتی

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه دکارتی
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

تعریف دستگاه مختصات دکارتی

در یک صفحه، دو محور x'ox و y'oy را عمود بر هم رسم می‌کنیم:

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

  • نقطه O فصل مشترک دو محور را مبدا مختصات می‌نامیم.
  • محور x'ox را محور طول‌ها می‌نامیم.
  • محور y'oy را محور عرض‌ها می‌نامیم. 

شکلی که به‌این ترتیب ساخته می‌شود، دستگاه مختصات دکارتی می‌گویند.

نقطه M را در صفحه مختصات در نظر گرفته و از آن نقطه، عمودهای MA و MB را به‌ترتیب بر دو محور x'ox و y'oy رسم می‌کنیم.

  • اندازه جبری بردار OA را طول نقطه M گوییم و با xM نشان می‌دهیم.
  • اندازه جبری بردار OB را عرض نقطه M گوییم و با yM نشان می‌دهیم.
  • نقطه M را به‌صورت MxM,yM نشان می‌دهند که آن را M به مختصات xM و yM می‌خوانند.    

نکته

هر نقطه را که مختصات آن معلوم باشد، می‌توان در صفحه مختصات پیدا کرد.

اگر MxM,yM نقطه‌ای دل‌خواه باشد برای نشان دادن نقطه M کافی است نقطه A را به طول OA¯=xA روی محور طول‌ها و نقطه B را به عرض OB¯=xB روی محور عرض‌ها معین کرده و از نقاط A و B دو عمود به‌ترتیب به محور طول و محور عرض رسم می‌کنیم تا یک‌دیگر را در نقطه‌ای قطع کنند، این نقطه تقاطع همان نقطه MxM,yM است.     

به‌این ترتیب هر نقطه صفحه مختصات با یک جفت حقیقی متناظر است و هر جفت عدد حقیقی را می‌توان با نقطه‌ای از صفحه، متناظر دانست در این‌صورت بین مجموعه نقاط واقع در صفحه مختصات و مجموعه جفت‌های مرتب از اعداد حقیقی یک تناظر یک‌به  یک وجود دارد.

تمرین

نقاطی را در صفحه پیدا می‌کنیم که مختصات آنها در زیر آمده است.

A=11  ,  B=01  ,  C=20   ,  D=22


دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

نکته

دو محور عمود بر هم x'ox و y'oy صفحه مختصات را به چهار ناحیه تقسیم می‌کنند. 

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

هر نقطه واقع بر محور طول ها، عرضش صفر است و هر نقطه واقع بر محور عرض‌ها، طولش صفر است.

اگر نقطه‌ای در ناحیه اول یا سوم باشد، طول و عرض آن نقطه هم‌علامت است.

اگر نقطه‌ای در ناحیه دوم یا چهارم باشد طول و عرض آن نقطه مختلف‌العلامت است.

تمرین

نقاط زیر را روی دستگاه مختصات نشان دهید. 

نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها صفر است.

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها صفر است.

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

نقاطی که طول آنها صفر و عرض آنها منفی است.

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

نقاطی که طول آنها صفر و عرض آنها مثبت است.

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها مثبت است. (این ناحیه را ربع اول می‌نامیم.)

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

قسمت هاشورخورده ناحیه اول می‌باشد. نقاطی از صفحه که طول و عرض آن‌ها مثبت است.

نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها مثبت است. (این ناحیه را ربع دوم می‌نامیم.)

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

قسمت هاشورخورده، ناحیه‌ دوم می‌باشد، نقاطی از صفحه که طول آنها منفی و عرض آنها مثبت است.

نقاطی که طول آنها منفی و عرض آنها منفی است. (این ناحیه را ربع سوم می‌نامیم.)

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

قسمت هاشورخورده، ناحیه‌ سوم می‌باشد، نقاطی از صفحه که طول آنها منفی و عرض آنها منفی است.

نقاطی که طول آنها مثبت و عرض آنها منفی است. (این ناحیه را ربع چهارم می‌نامیم.)

دستگاه مختصات دكارتی - پیمان گردلو

قسمت هاشورخورده، ناحیه چهارم می‌باشد، نقاطی از صفحه که طول آنها مثبت و عرض آنها منفی است.

نکته

هر نقطه از صفحه مختصات دکارتی، دقیقا توسط یک زوج مرتب مانند x,y که x,y مشخص می‌شود و هر زوج مرتب دقیقا یک نقطه را مشخص می‌کند. 

مجموعه‌ای را که شامل همه نقاط صفحه می‌باشد، به‌صورت زیر نمایش می‌دهند: 

2=x,yx,y

برای ارسال نظر وارد سایت شوید