سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه اول

نامعادلات خطی كسری و مضاعف

آخرین ویرایش: 14 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات درجه اول

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

صورت کلی نامعادلات کسری به فرم زیر است:

$\frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0$

حل نامعادلات خطی کسری به روش تحلیلی

حالت اول

$\{\begin{cases} \frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0 \\ a_{2} x + b_{2} > 0 \end{cases}$

طرفین نامساوی را در $a_{2} x + b_{2} > 0$ ضرب می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a_{2} x + b_{2}) \times \frac{a_{1} x + b_{1}}{(a_{2} x + b_{2})} > 0 \times (a_{2} x + b_{2}) \end{array}$

$\Rightarrow a x_{1} + b_{1} > 0$

دستگاهی به‌صورت $\{\begin{cases} a x_{1} + b_{1} > 0 \\ a_{2} x + b_{2} > 0 \end{cases}$ نتیجه می‌شود.

حالت دوم

$\{\begin{cases} \frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0 \\ a_{2} x + b_{2} < 0 \end{cases}$

طرفین را در $a_{2} x + b_{2} < 0$ ضرب می‌کنیم و جهت نامساوی تغییر می‌کند:

$\begin{array}{l} \frac{a x_{1} + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a_{2} x + b_{2}) \times \frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} < 0 \times (a_{2} x + b_{2}) \end{array}$

$\Rightarrow a_{1} x + b_{1} < 0$

دستگاهی به‌صورت $\{\begin{cases} a x_{1} + b_{1} < 0 \\ a_{2} x + b_{2} < 0 \end{cases}$ نتیجه می‌شود.

تمرین

نامعادلات زير را به روش تحليلی حل كنيد.

$\begin{array}{l} \frac{5 x + 4}{3 x - 2} \leq 0 \end{array}$

حالت اول) اگر $3 x - 2 > 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{5 x + 4}{(3 x - 2)} \leq 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 x - 2) \times \frac{5 x + 4}{(3 x - 2)} \leq 0 \times (3 x - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x + 4 \leq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x + 4 \leq 0 \Rightarrow 5 x \leq - 4 \Rightarrow x \leq - \frac{4}{5} \\ 3 x - 2 > 0 \Rightarrow 3 x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3} \end{cases} \end{array}$

دستگاه فوق، جواب ندارد.

حالت دوم) اگر $3 x - 2 < 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{5 x + 4}{(3 x - 2)} \leq 0 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 x - 2) \times \frac{5 x + 4}{(3 x - 2)} \geq 0 \times (3 x - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x + 4 \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq - \frac{4}{5} \\ 3 x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \end{cases}〉 \frac{- 4}{5} \leq x < \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = [- \frac{4}{5}, \frac{2}{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{3 - x} > 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x + 2}{3 - x} > 2 \\ \Rightarrow \frac{x + 2}{3 - x} - 2 > 0 \\ \Rightarrow \frac{x + 2 - 2 (3 - x)}{3 - x} > 0 \\ \Rightarrow \frac{x + 2 - 6 + 2 x}{3 - x} > 0 \\ \Rightarrow \frac{3 x - 4}{3 - x} > 0 \end{array}$

حالت اول) اگر $3 - x > 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \frac{3 x - 4}{3 - x} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 - x) \times \frac{(3 x - 4)}{(3 - x)} > 0 \times (3 - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x - 4 > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3} \\ 3 - x > 0 \Rightarrow x < 3 \end{cases}〉 \frac{4}{3} < x < 3 \end{array}$

حالت دوم) اگر $3 - x < 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} \frac{(3 x - 4)}{3 - x} > 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 - x) \times \frac{(3 x - 4)}{3 - x} < 0 \times (3 - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (3 x - 4) < 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 3 x - 4 < 0 \Rightarrow x < \frac{4}{3} \\ 3 - x < 0 \Rightarrow x > 3 \end{cases} \end{array}$

دستگاه فوق جواب ندارد.

جواب نهایی برابر است با:

$D = (\frac{4}{3}, 3)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حل نامعادلات خطی کسری به روش منطقی

صورت و مخرج کسر نامعادله زیر را در نظر می‌گیریم:

$\frac{a_{1} x + b_{1}}{a_{2} x + b_{2}} > 0$

با توجه به این‌که حاصل کسر مثبت شده است:

1) اگر مخرج کسر مثبت باشد، صورتش هم مثبت است یعنی:

$\{\begin{cases} a x_{1} + b_{1} > 0 \\ a_{2} x + b_{2} > 0 \end{cases}$

2) اگر مخرج کسر منفی باشد، صورتش هم باید منفی باشد تا حاصل کسر مثبت باشد یعنی:

$\{\begin{cases} a x_{1} + b_{1} < 0 \\ a_{2} x + b_{2} < 0 \end{cases}$

باز هم دستگاه‌های حاصل، آنهایی هستند که از روش تحلیلی به دست می‌آمد.

تمرین

نامعادلات زیر را حل کنید.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$

$\{\begin{cases} i f x > 0 \Rightarrow x > 3 \\ i f x < 0 \Rightarrow ? \end{cases}$

نامعادله به‌ازای $x < 0$ همواره برقرار است:

$D = (- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$

$\frac{1}{x + 2} < \frac{1}{4}$

$i f x + 2 < 0 \Rightarrow x < - 2$

نامعادله همواره برقرار است.

$i f x + 2 > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ x + 2 > 4 \Rightarrow x > 2 \end{cases}$

جواب نامعادله:

$D = (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

$\frac{1}{x^{2} - 9} > - \frac{1}{5}$

$i f x^{2} - 9 > 0 \Rightarrow x^{2} > 9 \Rightarrow |x| > 3 \Rightarrow \{\begin{cases} x > 3 \\ x < - 3 \end{cases}$

به‌ازای $x^{2} - 9 > 0$ نامساوی همواره برقرار است.

$i f x^{2} - 9 < 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} < 9 \Rightarrow |x| < 3 \Rightarrow - 3 < x < 3 \\ x^{2} - 9 > - 5 \Rightarrow x^{2} > 4 \Rightarrow |x| > 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ x < - 2 \end{cases} \end{cases}$

جواب نامعادله:

$D = (- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, + \infty)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نامعادلات مضاعف

نامعادلات از نوع $f (x) < α (x) < g (x)$ را مضاعف می‌نامند. این نا‌معادله با دستگاه زیر هم ارز است:

$\{\begin{cases} f (x) < α (x) \\ α (x) < g (x) \end{cases}$

تمرین

نامعادلات مضاعف زیر را حل کنید:

$- 2 < 2 x - 3 < 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 + 3 < 2 x - 3 + 3 < 1 + 3 \\ \Rightarrow 1 < 2 x < 4 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{4}{2} \end{array}$

جواب نامعادله:

$D = (\frac{1}{2}, 2)$

$3 x < 2 x - 3 < 4 x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x + 3 < 2 x - 3 + 3 < 4 x + 3 \\ \Rightarrow 3 x + 3 < 2 x < 4 x + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 3 x + 3 < 2 x \Rightarrow x < - 3 \Rightarrow D_{1} = (- \infty, - 3) \\ 2 x < 4 x + 3 \Rightarrow 2 x > - 3 \Rightarrow x > - \frac{3}{2} \Rightarrow D_{2} = (- \frac{3}{2}, + \infty) \end{cases} \end{array}$

جواب نامعادله:

$D = D_{1} \cap D_{2} = \emptyset$

$- 6 \leq 2 (x - 5) < 7$

$\Rightarrow - 6 \leq 2 x - 10 < 7$

$\begin{matrix} 4 \leq 2 x < 17 \end{matrix}$

$\Rightarrow 2 \leq x < \frac{17}{2}$

$D = [2, \frac{17}{2})$

$- 3 < \frac{3}{2} (2 - x) \leq 5$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 6 < 3 (2 - x) \leq 10 \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 6 < 6 - 3 x \leq 10 \end{matrix}$

$\Rightarrow - 12 < - 3 x \leq 4$

$\Rightarrow 4 > x \geq - \frac{4}{3}$

$\Rightarrow - \frac{4}{3} \leq x < 4$

$D = [- \frac{4}{3}, 4)$

$- 14 < - 7 (3 x + 2) < 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow - 14 < - 21 x - 14 < 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow 0 < - 21 x < 15$

$\begin{matrix} \Rightarrow 0 > x > - \frac{15}{21} \end{matrix}$

$\Rightarrow - \frac{5}{7} < x < 0$

$D = (- \frac{5}{7}, 0)$

$8 \leq 3 - 5 z < 12$

$\Rightarrow 5 \leq - 5 z < 9$

$\Rightarrow - \frac{9}{5} < z \leq - 1$

$\Rightarrow D = (- \frac{9}{5}, - 1]$

$2 < \frac{1}{6} - \frac{1}{2} x \leq 4$

$\Rightarrow \frac{11}{6} < - \frac{1}{2} x \leq \frac{23}{6}$

$\Rightarrow - \frac{23}{3} \leq x < - \frac{11}{3}$

$\Rightarrow D = [- \frac{23}{3}, - \frac{11}{3})$

تمرین

اگر $- 1 < x < 4$ باشد مقادیر $a, b$ را در نامعادله زیر به‌دست آورید:

$a < 2 x + 3 < b$

$- 1 < x < 4$

$\Rightarrow - 2 < 2 x < 8$

$\Rightarrow 1 < 2 x + 3 < 11$

$\Rightarrow a = 1, b = 11$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

نامعادلات خطی كسری و مضاعف

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه اول

نامعادلات خطی كسری و مضاعف

حل نامعادلات خطی کسری به روش تحلیلی

حالت اول

حالت دوم

حل نامعادلات خطی کسری به روش منطقی

نامعادلات مضاعف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟