سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه اول

انواع دیگری از دستگاه‌ های درجه اول

آخرین ویرایش: 23 آبان 1403

دسته‌بندی: عبارات درجه اول

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

دستگاه های سه معادله سه مجهول

روش کلی برای حل این‌گونه دستگاه‌ها وجود ندارد، لذا نمونه‌های خاصی از این دستگاه‌ها را با تمرین مطرح می‌کنیم:

صورت کلی این دستگاه به‌فرم زیر است:

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$

برای حل این دستگاه‌ ها می‌توان روش‌هایی را که برای دستگاه دو معادله دو مجهولی بیان شد، به‌کار برد.

تمرین

دستگاه های زیر را حل کنید.

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2 x + y + z & = 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 3 x + 2 y - 2 z & = - 10 \end{aligned} \end{matrix} \begin{aligned} \end{aligned}$

$\begin{matrix} 2 \times \end{matrix} \{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 2 x + y + z & = 4 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 3 x + 2 y - 2 z & = - 10 \end{aligned} \end{matrix} \begin{aligned} \end{aligned}$

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 4 x + 2 y + 2 z & = 8 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 3 x + 2 y - 2 z & = - 10 \end{aligned} \end{matrix} \begin{aligned} \end{aligned}$

معادله دوم را با مجموع معادلات اول و دوم و معادله سوم را با مجموع معادلات اول و سوم جایگزین می‌کنیم.

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 5 x + 5 z & = 15 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 2 x + z & = - 3 \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} - 5 \times \end{matrix} \{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 5 x + 5 z & = 15 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 2 x + z & = - 3 \end{aligned} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 5 x + 5 z & = 15 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 10 x - 5 z & = 15 \end{aligned} \end{matrix}$

معادله سوم را با مجموع معادله دوم و سوم جایگزین می‌کنیم:

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} x - 2 y + 3 z & = 7 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 5 x + 5 z & = 15 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 15 x & = 30 \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{aligned} 15 x & = 30 \end{aligned} \Rightarrow x = 2$

$\begin{aligned} 5 (2) + 5 z & = 15 \Rightarrow \begin{aligned} z & = 1 \end{aligned} \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 - 2 y + 3 (1) & = 7 \Rightarrow \begin{aligned} y & = - 1 \end{aligned} \end{aligned}$

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} 2 x - 4 y + 5 z & = - 33 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 4 x - y & = - 5 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 2 x + 2 y - 3 z & = 19 \end{aligned} \end{matrix}$

از معادله دوم داریم:

$\begin{aligned} 4 x - y & = - 5 \end{aligned} \Rightarrow y = 4 x + 5$

مقدار $y$ را در معادله اول و سوم قرار می‌دهیم:

$\begin{aligned} 2 x - 4 (4 x + 5) + 5 z & = - 33 \end{aligned} \Rightarrow 2 x - 16 x - 20 + 5 z = - 33 \Rightarrow - 14 x + 5 z = - 13$

$- 2 x + 2 (4 x + 5) - 3 z = 19 \Rightarrow - 2 x + 8 x + 10 - 3 z = 19 \Rightarrow 6 x - 3 z = 9$

$\begin{matrix} 3 \times \\ 5 \times \end{matrix} \{\begin{cases} \begin{aligned} - 14 x + 5 z & = - 13 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 6 x - 3 z & = 9 \end{aligned} \end{cases} \begin{aligned} \end{aligned}$

$\{\begin{cases} \begin{aligned} - 42 x + 15 z & = - 39 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 30 x - 15 z & = 45 \end{aligned} \end{cases} \begin{aligned} \end{aligned}$

طرفین دو معادله فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$- 12 x = 6 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$

$\begin{aligned} 6 (- \frac{1}{2}) - 3 z & = 9 \Rightarrow \begin{aligned} z & = - 4 \end{aligned} \end{aligned}$

$y = 4 x + 5 \Rightarrow y = 4 (- \frac{1}{2}) + 5 \Rightarrow y = 3$

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} 2 x + 5 y + 2 z & = - 38 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 3 x - 2 y + 4 z & = 17 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 6 x + y - 7 z & = - 12 \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3 \times \\ 2 \times \end{matrix} \{\begin{matrix} \begin{aligned} 2 x + 5 y + 2 z & = - 38 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 3 x - 2 y + 4 z & = 17 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 6 x + y - 7 z & = - 12 \end{aligned} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} 6 x + 15 y + 6 z & = - 114 \end{aligned} \\ \begin{aligned} 6 x - 4 y + 8 z & = 34 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 6 x + y - 7 z & = - 12 \end{aligned} \end{matrix}$

اکنون معادله اول را با مجموع معادله اول و سوم و معادله دوم را با مجموع معادله دوم و سوم جایگزین می‌کنیم.

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} 16 y - z & = - 126 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 3 y + z & = 22 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 6 x + y - 7 z & = - 12 \end{aligned} \end{matrix}$

معادله اول را با مجموع معادله اول و دوم جایگزین می‌کنیم.

$\{\begin{matrix} \begin{aligned} 13 y & = - 104 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 3 y + z & = 22 \end{aligned} \\ \begin{aligned} - 6 x + y - 7 z & = - 12 \end{aligned} \end{matrix}$

$\begin{aligned} 13 y & = - 104 \end{aligned} \Rightarrow y = - 8$

$- 3 (- 8) + z = 22 \Rightarrow z = - 2$

$\begin{aligned} - 6 x + (- 8) - 7 (- 2) & = - 12 \Rightarrow x = 3 \end{aligned}$

$\{\begin{cases} 2 x + y + z + w + u = 6 \\ x + 2 y + z + w + u = 12 \\ x + y + 2 z + w + u = 24 \\ x + y + z + 2 w + u = 48 \\ x + y + z + w + 2 u = 96 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x + y + z + w + u = 6; 1 \\ x + 2 y + z + w + u = 12; 2 \\ x + y + 2 z + w + u = 24; 3 \\ x + y + z + 2 w + u = 48; 4 \\ x + y + z + w + 2 u = 96; 5 \end{cases}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 6 x + 6 y + 6 z + 6 w + 6 u = 186 \Rightarrow x + y + z + w + u = 31; 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} 1 - 6 : 2 x + y + z + w + u - (x + y + z + w + u) = 6 - 31 \Rightarrow x = - 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 - 6 : (x + 2 y + z + w + u) - (x + y + z + w + u) = 12 - 31 \Rightarrow y = - 19 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 - 6 : (x + y + 2 z + w + u) - (x + y + z + w + u) = 24 - 31 \Rightarrow z = - 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 - 6 : (x + y + z + 2 w + u) - (x + y + z + w + u) = 48 - 31 \Rightarrow w = 17 \end{array}$

$5 - 6 : (x + y + z + w + 2 u) - (x + y + z + w + u) = 96 - 31 \Rightarrow u = 65$

$\{\begin{cases} x + y + x y z = 13 \\ x + z + x y z = 16 \\ y + z + x y z = 17 \end{cases}$

طرفین معادله دوم را از معادله اول کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x + z + x y z - (x + y + x y z) = 16 - 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow z - y = 3 \end{array}$

$\Rightarrow z = y + 3$

طرفین معادله سوم را از معادله دوم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} y + z + x y z - (x + z + x y z) = 17 - 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y - x = 1 \end{array}$

$\Rightarrow x = y - 1$

طرفین معادله سوم را از معادله دوم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x + y + x y z = 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - 1) + y + (y - 1) y (y + 3) = 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 y - 1 + y^{3} + 2 y^{2} - 3 y = 13 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{3} + 2 y^{2} - y - 14 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y^{3} - 2 y^{2}) + 4 y^{2} - 8 y + (7 y - 14) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{2} (y - 2) + 4 y (y - 2) + 7 (y - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - 2) (y^{2} + 4 y + 7) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y^{2} + 4 y + 7 = 0; Δ < 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$

$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x = y - 1 = 2 - 1 = 1 \\ z = y + 3 = 2 + 3 = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x (y + z) = - 1 \\ y (z + x) = - 4 \\ z (x + y) = - 9 \end{cases}$

طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (x y + x z) + (y z + x y) + (x z + y z) = (- 1) + (- 4) + (- 9) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x y + 2 x z + 2 y z = - 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (x y + x z + y z) = - 14 \end{array}$

$\Rightarrow x y + x z + y z = - 7$

$\{\begin{cases} x y + x z = - 1 \Rightarrow - 7 - y z = - 1 \Rightarrow y z = - 6 \\ y z + x y = - 4 \Rightarrow - 7 - x z = - 4 \Rightarrow z x = - 3 \\ z x + y z = - 9 \Rightarrow - 7 - x y = - 9 \Rightarrow x y = 2 \end{cases}$

طرفین تساوی های فوق را در هم ضرب می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x^{2} y^{2} z^{2} = 36 \Rightarrow {(x y z)}^{2} = 36 \Rightarrow x y z = \pm 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x y z = 6 \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \\ z = 3 \end{cases} \end{array}$

$i f x y z = - 6 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$

تمرین

اعداد حقیقی $d, c, b, a$ در تساوی زیر صدق می‌کنند:

$\{\begin{cases} a b = 2 \\ b + c = 3 \\ c d = 4 \\ d + a = 5 \end{cases}$

چند مقدار ممکن برای $a$ وجود دارد؟

$\begin{array}{l} a b = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{b} \\ c d = 4 \Rightarrow c = \frac{4}{d} \end{array}$

از جای گذاری $a$ و $c$ در تساوی دوم و چهارم داریم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b + c = 3 \Rightarrow b + \frac{4}{d} = 3 \\ d + a = 5 \Rightarrow d + \frac{2}{b} = 5 \Rightarrow d = 5 - \frac{2}{b} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} b + \frac{4}{d} = 3; d = 5 - \frac{2}{b} \\ \Rightarrow b + \frac{4}{5 - \frac{2}{b}} = 3 \\ \Rightarrow b + \frac{4}{\frac{5 b - 2}{b}} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b + \frac{4 b}{5 b - 2} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 b^{2} - 2 b + 4 b = 3 (5 b - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 b^{2} - 13 b + 6 = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} b = 2 \\ b = \frac{3}{5} \end{cases}$

از جای گذاری مقدارهای $b$ به‌دست آمده به دو دسته جواب برای $a$ می‌رسیم.

تمرین

سه خواهر مرغ‌های خود را برای فروش به بازار آوردند. اولی ده مرغ، دومی شانزده مرغ و سومی بیست‌و‌شش مرغ.

تا نیم روز آنها قسمتی از مرغ‌های خود را به یک قیمت به‌فروش رساندند.

بعد از نیم روز از ترس آن‌که تمامی مرغ‌ها فروخته نخواهند شد، آنها قیمت مرغ‌ها را پایین آوردند و مرغ‌های باقی‌مانده را باز هم به یک قیمت فروختند.

هر سه خواهر با دخل مساوی به خانه بازگشتند. هرکدام، از فروش مرغ‌ها مبلغ $35$ دلار دریافت کردند.

آنها به چه قیمتی مرغ‌ها را قبل و بعد از نیم روز به فروش رساندند؟

تعداد مرغ‌هایی که هر سه خواهر تا نیم‌روز به فروش رسانیدند را به $z, y, x$ نمایش می‌دهیم:

$\{\begin{cases} m x + n (10 - x) = 35 \\ m y + n (16 - y) = 35 \\ m z + n (26 - z) = 35 \end{cases}〉 \{\begin{cases} (m - n) x + 10 n = 35 \\ (m - n) y + 16 n = 35 \\ (m - n) z + 26 n = 35 \end{cases}$

معادله اول و دوم را به‌ترتیب از معادله سوم کم می‌کنیم:

$\{\begin{cases} (m - n) (z - x) + 16 n = 0 \\ (m - n) (z - y) + 10 n = 0 \end{cases}〉 \{\begin{cases} (m - n) (x - z) = 16 n \\ (m - n) (y - z) = 10 n \end{cases}$

در دستگاه فوق، معادله اول را بر معادله دوم تقسیم می‌کنیم:

$\frac{x - z}{y - z} = \frac{8}{5} \Rightarrow \frac{x - z}{8} = \frac{y - z}{5}$

چون $z, y, x$ اعداد صحیح هستند، بنابراین تفاوت‌های صورتشان هم اعداد صحیح هستند و برای آن‌که تساوی فوق برقرار باشد، ضروری است که صورت‌ها بر مخرج هایشان قابل قسمت باشد:

$\frac{x - z}{8} = \frac{y - z}{5} = t \Rightarrow \{\begin{cases} x = 8 t + z \\ y = 5 t + z \end{cases}$

عدد $t$ نه تنها صحیحT بلکه مثبت می‌باشد، زیرا $x > z$ است. (در غیر این‌صورت خواهر اول نمی‌توانست پولی به مقدار خواهر سوم دریافت کند.)

از آنجایی که $x < 10$ است، لذا داریم:

$\{\begin{cases} 8 t + z = x \\ x < 10 \end{cases}〉 8 t + z < 10$

به‌ازای $t, z$ صحیح مثبت، نابرابری فوق فقط به‌ازای مقادیر زیر صادق است:

$\{\begin{cases} t = 1 \\ z = 1 \end{cases}$

بعد از گذاشتن مقادیر در معادلات:

$\{\begin{cases} x = z + 8 t = (1) + 8 (1) = 9 \\ y = z + 5 t = (1) + 5 (1) = 6 \end{cases}$

حالا به دستگاه معادلات مراجعه می‌کنیم:

$\{\begin{cases} m x + n (10 - x) = 35 \\ m y + n (16 - y) = 35 \\ m z + n (26 - z) = 35 \end{cases}〉 \{\begin{cases} 9 m + n = 35 \\ 6 m + 10 n = 35 \\ m + 25 n = 35 \end{cases}$

طرفین سمت راست دو معادله اول باهم برابرند، پس طرفین راست آنها باهم برابرند:

$\begin{array}{l} 9 m + n = 6 m + 10 n \\ \Rightarrow 3 m = 9 n \\ \Rightarrow m = 3 n \end{array}$

تساوی فوق را در معادله سوم قرار می‌دهیم:

$\begin{array}{l} m + 25 n = 35 \\ \Rightarrow (3 n) + 25 n = 35 \\ \Rightarrow 28 n = 35 \\ \Rightarrow n = \frac{35}{28} \\ \Rightarrow n = \frac{28 + 7}{28} \\ \Rightarrow n = 1 \frac{1}{4} \\ m = 3 n \Rightarrow m = 3 (1 \frac{1}{4}) \Rightarrow m = 3 \frac{3}{4} \end{array}$

به این‌ ترتیب مرغ‌ها در نیمه اول روز به‌قیمت $3$ دلار و $75$ سنت و در نیمه دوم روز به‌قیمت $1$ دلار و $25$ سنت، به‌فروش رفتند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

دستگاه‌هایی که به دستگاه‌های درجه اول قابل تبدیل هستند

دستگاه‌هایی مانند:

$\{\begin{cases} \frac{a}{b x + c} + \frac{a^{'}}{b^{'} y + c^{'}} = k \\ \frac{e}{b x + c} + \frac{e^{'}}{b^{'} y + c^{'}} = k^{'} \end{cases}$

یا به طور کلی‌تر دستگاه‌ هایی مانند:

$\{\begin{cases} \frac{a}{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}} + \frac{a^{'}}{a_{2} x + b_{2} y + c_{2}} = k \\ \frac{b}{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}} + \frac{b^{'}}{a_{2} + b_{2} y + c_{2}} = k^{'} \end{cases}$

که با تغییر متغیر به دستگاه‌های دو معادله دو مجهولی درجه اول تبدیل می‌شوند.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

در دستگاه‌های به‌صورت زیر:

$\{\begin{cases} \frac{a x + b}{m} = \frac{c y + d}{n} = \frac{e z + f}{k} \\ α x + β y + γ z = l \end{cases}$

توجه شود که در معادلات اول، مجهولات می‌توانند در مخرج نیز باشند.

معادله دوم نیز می‌تواند به‌صورت زیر باشند:

$\frac{α}{x} + \frac{β}{y} + \frac{γ}{z} = l$

برای حل دستگاه‌های فوق، مقدار مشترک معادلات اول را $t$ فرض کرده، هریک را برحسب $t$ پیدا می‌کنیم و در معادله دوم قرار می‌دهیم، $t$ به‌دست می‌آید، سپس هر یک از $x$ و $y$ و $z$ محاسبه می‌شود.

تمرین

$i f \{\begin{cases} a x = b y = c z = 3 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 5 \end{cases}〉 a + b + c = ?$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{a} \\ b y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{b} \\ c z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{c} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\frac{3}{a}} + \frac{1}{\frac{3}{b}} + \frac{1}{\frac{3}{z}} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = 5 \end{array}$

$\Rightarrow a + b + c = 15$

تمرین

فرض کنید $x$ و $y$ اعدادی حقیقی و ناصفر باشند که:

$\{\begin{cases} x + \frac{1}{y} = 10 \\ y + \frac{1}{x} = \frac{5}{12} \end{cases}$

مقدار مثبت $x$ را بیابید.

$\begin{array}{l} x + \frac{1}{y} = 10 \\ \Rightarrow x y + 1 = 10 y \\ \Rightarrow 10 y - x y = 1 \\ \Rightarrow y (10 - x) = 1 \\ \Rightarrow y = \frac{1}{10 - x} \end{array}$

مقدار $y$ را در معادله دوم جای گذاری می‌کنیم:

$\begin{array}{l} y + \frac{1}{x} = \frac{5}{12} \\ \Rightarrow \frac{1}{10 - x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{12} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x + (10 - x) = \frac{5}{12} x (10 - x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 10 x + 24 = 0 \\ \Rightarrow (x - 6) (x - 4) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 6 \\ x = 4 \end{cases} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

در دستگاه زیر مقدار $a + b + c$ کدام گزینه است؟

$\{\begin{cases} a, b, c \in ℤ \\ a b + c = 1403 \\ a + b c = 1402 \end{cases}$

$2804$
$2805$
$2806$
$2807$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

موسسه فناوری کالیفرنیا

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} \frac{a c}{a + b} + \frac{b a}{b + c} + \frac{c b}{c + a} = - 9 \\ \frac{b c}{a + b} + \frac{c a}{b + c} + \frac{a b}{c + a} = 10 \end{cases}$

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$\frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a}$

$11$
$13$
$15$
$17$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

انواع دیگری از دستگاه‌های درجه اول

12,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات درجه اول

انواع دیگری از دستگاه‌ های درجه اول

دستگاه های سه معادله سه مجهول

دستگاه‌هایی که به دستگاه‌های درجه اول قابل تبدیل هستند

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟