یک تابع و چند نامساوی معروف

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:
بازدید: 55 مرتبه

مقدمه: تابع fx=A+xppBx مفروض است.

در این تابع فرض می‌کنیم A+xp>0 که p0,1 و B  ,  A  , pR مقادیر ثابتی هستند، در نظر می‌گیریم، مشتق این تابع را تعیین می‌کنیم:

f'x=pA+xpp1×1pBf'x=A+xpp1B    ;     if    f'x=0A+xpp1B=0A+xpp1=BA+xpp1 1p1=B1p1A+xp=B 1p1x=PB 1p1A

مشتق دوم تابع را حساب می‌کنیم:

f''x=p1A+xpp2×1pf''x=p1pA+xpp2

علامت f''(x) را به‌صورت زیر تعیین می‌کنیم:

f''x=p1pA+xpp2>0   ;   p>1,p<0<0   ;   0<p<1

  • اگر  p<0 یا p>1 باشد، آن‌گاه تابع f در نقطه x=x0 دارای min است.
  • اگر 0<p<1 باشد، آن‌گاه تابع f در نقطه x=x0 دارای max است.

مقدار تابع را در x=x0 حساب می‌کنیم:

x0=pB 1p1Afx=A+xppBxfx0=A+pB 1p1AppBpB 1p1A

fx0=A+pB 1p-1AppB(pB 1p-1A)fx0=(B 1p-1)PpB pp1+BAfx0=B pp1pB pp1+BAfx0=(1p)B pp1+BA

چون تابع f به ازای p>1  ,  p>0 و در نقطه x0 دارای min است، پس مقدار تابع زیر:

fx=A+xppBx

در x0 کم‌ترین مقدار را داراست، یعنی کم‌ترین مقدار این تابع، به ازای x=x0 به‌دست می‌آید، پس در سایر موارد، مقدار fx از این مقدار بیش‌تر است به این ترتیب به اثبات یک نامساوی بسیار مهم می‌رسیم:

if    f(x)f(x0)A+xppBx(1p)Bpp1+BAA+xppBx+Bpp1(1p)+BA

به ازای 0<p<1 جهت این نامساوی تغییر می‌کند؛ زیرا به ازای آن تابع در نقطه x=x0 دارای max است، در نتیجه:

fxfx0

مفاهیم فوق به صورت زیر خلاصه می‌شود:

if     p<0,p>1fxfx0A+xppBx+Bpp11p+BAif    0<p<1fxfx0A+xppBx+Bpp11p+BA

نکته

نامساوی‌های مطرح شده، اطلاعات بسیاری را در اختیار ما قرار می‌دهد، این نامساوی مولد بسیاری از نامساوی‌هایی است که امروزه در حل مسائل به آنها استناد می‌شود.

 نامساوی برنولی

قضیه

نامساوی‌های زیر، تعمیمی از نامساوی برنولی است:

(1+n)p1+pn    ;    p>1  ,  p<0(1+n)p1+pn    ;    0<p<1

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

if     p<0,p>1fxfx0A+xppBx+Bpp11p+BA

if  A=pB=1P+xpp(1)x+(1)pp1(1p)+(1)p1+xppx+1      ;      xp=nx=pn1+np1+pn     ;  p>1  ,   p<0

فرمول بعدی هم شبیه روش فوق ثابت می‌شود.

تمرین

بیش‌ترین مقدار تابع زیر را پیدا می‌کنیم:

f(x)=1x3+1+x6

f(x)=1x3+1+x6f(x)=1x312+(1+x)16


یادآوری می‌کنیم که:

if    0<p<1(1+n)p1+pn

0<12<11x3121+12x3=1x60<16<11+x161+16(x)=1+x6


طرفین نامساوی‌های زیر را با هم جمع می‌کنیم:

1x312+(1+x)161x6+1+x6fx2maxfx=2

نامساوی ینسن

قضیه

نامساوی زیر، به نامساوی ینسن معروف است:

if   p>1,1p+1q=1xyxpp+yqq

اثبات

در نامساوی A+xppBx+Bpp11p+BA اگر فرض کنیم A+x=pxB=y آن‌گاه داریم: 

pxppyx+ypp11p+yApxppy(x+A)+ypp1(1p)xpy(px)+ypp1(1p)ypxxp+(p1)ypp1ypxpxpp+p1pypp1yxxpp+p1pypp1     ;      (Ι)

if    pp1=qpqq=ppq=p+qpqpq=p+qpq1=ppq+qpq1q+1p=1    Ιyxxpp+yqq             

 نامساوی هیلبر

قضیه

نامساوی زیر، به نامساوی هیلبر معروف است:

if   1p+1q=1,p>1,(xi,yi>0)i=1nxiyii=1nxip1pi=1nyiq1q

اثبات

قرار می‌دهیم:

A=i=1nxip1p      ,      B=i=1nyiq1q

از نامساوی ینسن نتیجه می‌شود:

xiyiABxippAp+yiqpBq:i=1,2,...,n

پس از جمع این نامساوی‌ها با توجه به این‌که داریم:

i=1nxip=Ap  ,    i=1nyiq=Bq

نتیجه می‌شود:

i=1nxiyiABi=1nxippAP+i=1nyiqqBq=1p+1q=1

و از آنجا نامساوی هیلبر نتیجه می‌شود.

در این‌جا، نامساوی به تساوی تبدیل می‌شود، اگر:

xiAp=yiBαxipyiq=ApBq=λ,i=1,2,...,n

نکته

نامساوی هیلبر به ازای p=q=2 به نامساوی کوشی–بونیاکوفسکی تبدیل می‌شود. 

i=1nxiyii=1nxi212i=1nyi212x1y1++xnynx12++xn212.y12++yn212x1y1++xnynx12++xn2.y12++yn212x1y1++xnyn2x21++xn2.y12++yn2

تمرین

max و min تابع زیر را تعیین کنید:

f(x,y)=6sinxcosy+2sinxsiny+3cosx

با استفاده از نامساوی کوشی – بونیا کوفسکی داریم: 

f2x,y62+22+32sin2xcos2y+sin2xsin2y+cos2xf2x,y49[sin2x(sin2y+cos2y)+cos2x]f2x,y497f(x,y)7

از همه متوازی‌السطوح‌های قائم که مجموع یال‌های آنها  مقدار ثابتی است، کدام یک کوچک‌ترین قطر را دارد؟

اگر z,y,x ابعاد متوازی‌السطوح باشد وداشته باشیم:

x+y+z=c


c مقدار ثابت و d طول قطر متوازی‌السطوح می‌باشد، داریم:

x2+y2+z2=d2


با استفاده از نامساوی کوشی – بونیا کوفسکی داریم:

c=1×x+1×y+1×z1+1+1x2+y2+z2c=1×x+1×y+1×z3dc3d


بدیهی است که d وقتی کوچک‌ترین مقدار را دارد که نامساوی به تساوی تبدیل شود و این وقتی امکان پذیر است که داشته باشیم: 

x1=y1=z1


یعنی متوازی‌السطوح به مکعب تبدیل می‌شود.

 نامساوی گیوگنس

قضیه

نامساوی زیر، به نامساوی گیوگنس معروف است:

1+x11+x2...1+xn1+x1...xnnn,xi>0

اثبات

این نامساوی را به آسانی می‌توان از ویژگی‌های واحد و نامساوی کوشی نتیجه گرفت:

1=1n(n)=1n(1+1++1)=1n1+x11+x1+1+x21+x2++1+xn1+xn=1n11+x1+x11+x1+11+x2+x21+x2++11+xn+xn1+xn=1n11+x1+11+x2++11+xn+1nx11+x1++xn1+xn                       Ι

11+x1+11+x2++11+xnn11+x111+x211+xnn=n(1+x1)(1+x2)....(1+xn)nx11+x1++xn1+xnnx11+x1xn1+xnn=nx1...xnn(1+x1)...(1+xn)n

طرفین نامساوی‌های فوق را در 1n ضرب و با هم جمع می‌کنیم و با توجه به Ι داریم:

11(1+x1)(1+xn)n+x1x2...xnn1+x1...1+xnn(1+x1)(1+x2)....(1+xn)1+x1...xnnn

نامساوی گیوگنس به تساوی تبدیل می‌شود اگر همه xi ها برابر باشند.

نکته

اگر در نامساوی گیوگنس قرار دهیم xi=biai به یک نامساوی مهم می‌رسیم: 

a1+b1a2+b2....an+bnna1a2....ann+b1b2....bnn

تمرین

اگر ai>0  ,  a1+a2++an=S نامساوی زیر را ثابت می‌کنیم:

f=1+1a11+1an1+nSn

در سمت چپ نامساوی فوق، نامساوی گیوگنس را به‌کار می‌بریم و سپس از نامساوی کوشی استفاده می‌کنیم، در نیتجه خواهیم داشت:

f1+1a1annn1+1 a1++annn=1+nSn

برای ارسال نظر وارد سایت شوید