سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

مقدمه‌‌ ای بر توان

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما! برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر.

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم.

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوا دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

مقدمه

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

برای آسان شدن محاسبه، عبارت فوق را به صورت $2^{5}$ می‌نویسیم.

$2^{5}$ را به‌صورت( $2$ به توان $5$ )می‌خوانیم.
$2^{5}$ یعنی $2$ را $5$ بار در خودش ضرب کنیم.
عدد $2$ را پایه ( $B a s e$ ) می‌نامیم.
عدد $5$ را توان ( $E x p o n e n t$ ) یا نمای آن عدد می‌نامیم.

اگر $a$ عدد حقیقی و $n$ عددی صحیح فرض شود، بنابر تعریف داریم:

$\forall a \in R, n \in Z; a^{n} = a \times a \times a \times \dots \times a$

در تساوی فوق $a$ به تعداد $n$ بار، تکرار شده است.

تذکر

هر عدد حقیقی که دارای توان نباشد، توان آن را عدد $(1)$ منظور می‌کنیم.

$a^{1} = a$

نکته

یکی از کاربردهای استفاده از اعداد توان دار، خلاصه‌نویسی است.

اگر بخواهیم عدد $2$ را $1000$ بار در خودش ضرب کنیم، کافی است به جای ضرب کردن این تعداد عدد درهم، آن را به صورت $2^{1000}$ نمایش دهیم.

این خلاصه نویسی هم در فضای نوشتن، صرفه جویی می‌کند و هم سرعت محاسبات را افزایش می‌دهد.

تمرین

اعداد زير را بخوانيد و مفهوم آنها را بنويسيد.

$2^{7}$

$2^{7} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

$2$ به‌توان $7$

$1^{5}$

$1^{5} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1$

$1$ به‌توان $5$

${(\frac{4}{5})}^{3}$

${(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}$

$\frac{4}{5}$ به‌توان $3$

تمرین

حاصل هر يک از عبارات زير را حساب كنيد.

$2^{4} + 5^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \\ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \end{array}〉 2^{4} + 5^{2} = (16) + (25) = 41$

$2^{3} \times 3^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8 \\ 3^{2} = 3 \times 3 = 9 \end{array}〉 2^{3} \times 3^{2} = (8) \times (9) = 72$

$3^{3} - 4^{2}$

$\{\begin{array}{l} 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \\ 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \end{array}〉 3^{3} - 4^{2} = (27) - (16) = 11$

$10^{3} \div 5^{2}$

$\{\begin{array}{l} 10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \\ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \end{array}〉 10^{3} \div 5^{2} = (1000) \div (25) = 40$

$3^{3} + 4^{3} + 5^{3}$

$\{\begin{array}{l} 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \\ 4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64 \\ 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 \end{array}〉 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = (27) + (64) + (125) = 216$

$2^{6} - 6^{2} + 4^{2}$

$\{\begin{array}{l} 2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \\ 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \\ 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \end{array}〉 2^{6} - 6^{2} + 4^{2} = (64) - (36) + (16) = 44$

$2^{5} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

$\{\begin{array}{l} 2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \\ {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{array}〉 2^{5} + {(\frac{1}{2})}^{3} = 32 + \frac{1}{8} = \frac{(32 \times 8) + 1}{8} = \frac{256 + 1}{8} = \frac{257}{8}$

$- 6^{2} + 4 \cdot 3^{2}$

$\begin{matrix} = - (36) + 4 \cdot (9) \\ = - 36 + 36 \\ = 0 \end{matrix}$

$\frac{{(- 2)}^{4}}{{(3^{2} + 2^{2})}^{2}}$

$= \frac{16}{{(9 + 4)}^{2}}$

$= \frac{16}{{(13)}^{2}}$

$= \frac{16}{169}$

یادآوری

در ادامه به بررسی قوانین توان می‌پردازیم.

قوانین توان - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

توان

مقدمه‌‌ ای بر توان

مقدمه

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟